Решете 5x+1/x+2+x-1/x=2

$$\frac{ 5x+1 }{ x+2 } + \frac{ x-1 }{ x } =2$$

Решаване за x

$$x=-\frac{1}{2}=-0,5$$

$$x=1$$

Стъпки с разлагане на множители чрез групиране

Променливата x не може да бъде равна на никоя от стойностите -2,0, тъй като делението на нула не е дефинирано. Умножете и двете страни на уравнението с x\left(x+2\right) – най-малкия общ множител на x+2,x.

$$x\left(5x+1\right)+\left(x+2\right)\left(x-1\right)=2x\left(x+2\right)$$

Използвайте дистрибутивното свойство, за да умножите x по 5x+1.

$$5x^{2}+x+\left(x+2\right)\left(x-1\right)=2x\left(x+2\right)$$

Използвайте дистрибутивното свойство, за да умножите x+2 по x-1 и да групирате подобните членове.

$$5x^{2}+x+x^{2}+x-2=2x\left(x+2\right)$$

Групирайте 5x^{2} и x^{2}, за да получите 6x^{2}.

$$6x^{2}+x+x-2=2x\left(x+2\right)$$

Групирайте x и x, за да получите 2x.

$$6x^{2}+2x-2=2x\left(x+2\right)$$

Използвайте дистрибутивното свойство, за да умножите 2x по x+2.

$$6x^{2}+2x-2=2x^{2}+4x$$

Извадете 2x^{2} и от двете страни.

$$6x^{2}+2x-2-2x^{2}=4x$$

Групирайте 6x^{2} и -2x^{2}, за да получите 4x^{2}.

$$4x^{2}+2x-2=4x$$

Извадете 4x и от двете страни.

$$4x^{2}+2x-2-4x=0$$

Групирайте 2x и -4x, за да получите -2x.

$$4x^{2}-2x-2=0$$

Разделете двете страни на 2.

$$2x^{2}-x-1=0$$

За да се реши уравнението, коефициентът е от лявата страна по групи. Първо, лявата страна трябва да бъде пренаписана като 2x^{2}+ax+bx-1. За да намерите a и b, настройте система, която да бъде решена.

$$a+b=-1 ab=2\left(-1\right)=-2$$

Тъй като ab е отрицателен, a и b имат противоположни знаци. Тъй като a+b е отрицателно, отрицателното число има по-голяма абсолютна стойност от положителното. Единствената такава двойка е системното решение.

$$a=-2 b=1$$

Напишете 2x^{2}-x-1 като \left(2x^{2}-2x\right)+\left(x-1\right).

$$\left(2x^{2}-2x\right)+\left(x-1\right)$$

Разложете на множители 2x в 2x^{2}-2x.

$$2x\left(x-1\right)+x-1$$

Разложете на множители общия член x-1, като използвате разпределителното свойство.

$$\left(x-1\right)\left(2x+1\right)$$

За да намерите решения за уравнение, решете x-1=0 и 2x+1=0.

$$x=1 x=-\frac{1}{2}$$

Стъпки с използване на формулата за квадратно уравнение

Променливата x не може да бъде равна на никоя от стойностите -2,0, тъй като делението на нула не е дефинирано. Умножете и двете страни на уравнението с x\left(x+2\right) – най-малкия общ множител на x+2,x.

$$x\left(5x+1\right)+\left(x+2\right)\left(x-1\right)=2x\left(x+2\right)$$

Използвайте дистрибутивното свойство, за да умножите x по 5x+1.

$$5x^{2}+x+\left(x+2\right)\left(x-1\right)=2x\left(x+2\right)$$

Използвайте дистрибутивното свойство, за да умножите x+2 по x-1 и да групирате подобните членове.

$$5x^{2}+x+x^{2}+x-2=2x\left(x+2\right)$$

Групирайте 5x^{2} и x^{2}, за да получите 6x^{2}.

$$6x^{2}+x+x-2=2x\left(x+2\right)$$

Групирайте x и x, за да получите 2x.

$$6x^{2}+2x-2=2x\left(x+2\right)$$

Използвайте дистрибутивното свойство, за да умножите 2x по x+2.

$$6x^{2}+2x-2=2x^{2}+4x$$

Извадете 2x^{2} и от двете страни.

$$6x^{2}+2x-2-2x^{2}=4x$$

Групирайте 6x^{2} и -2x^{2}, за да получите 4x^{2}.

$$4x^{2}+2x-2=4x$$

Извадете 4x и от двете страни.

$$4x^{2}+2x-2-4x=0$$

Групирайте 2x и -4x, за да получите -2x.

$$4x^{2}-2x-2=0$$

Това уравнение е в стандартна форма: ax^{2}+bx+c=0. Заместете 4 вместо a, -2 вместо b и -2 вместо c във формулата на квадратното уравнение, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\times 4\left(-2\right)}}{2\times 4}$$

Повдигане на квадрат на -2.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-4\times 4\left(-2\right)}}{2\times 4}$$

Умножете -4 по 4.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-16\left(-2\right)}}{2\times 4}$$

Умножете -16 по -2.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4+32}}{2\times 4}$$

Съберете 4 с 32.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{36}}{2\times 4}$$

Получете корен квадратен от 36.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±6}{2\times 4}$$

Противоположното на -2 е 2.

$$x=\frac{2±6}{2\times 4}$$

Умножете 2 по 4.

$$x=\frac{2±6}{8}$$

Сега решете уравнението x=\frac{2±6}{8}, когато ± е плюс. Съберете 2 с 6.

$$x=\frac{8}{8}$$

Разделете 8 на 8.

$$x=1$$

Сега решете уравнението x=\frac{2±6}{8}, когато ± е минус. Извадете 6 от 2.

$$x=-\frac{4}{8}$$

Намаляване на дробта \frac{-4}{8} до най-малките членове чрез извличане на корен и съкращаване на 4.

$$x=-\frac{1}{2}$$

Уравнението сега е решено.

$$x=1 x=-\frac{1}{2}$$

Стъпки за допълване до пълен квадрат

Променливата x не може да бъде равна на никоя от стойностите -2,0, тъй като делението на нула не е дефинирано. Умножете и двете страни на уравнението с x\left(x+2\right) – най-малкия общ множител на x+2,x.

$$x\left(5x+1\right)+\left(x+2\right)\left(x-1\right)=2x\left(x+2\right)$$

Използвайте дистрибутивното свойство, за да умножите x по 5x+1.

$$5x^{2}+x+\left(x+2\right)\left(x-1\right)=2x\left(x+2\right)$$

Използвайте дистрибутивното свойство, за да умножите x+2 по x-1 и да групирате подобните членове.

$$5x^{2}+x+x^{2}+x-2=2x\left(x+2\right)$$

Групирайте 5x^{2} и x^{2}, за да получите 6x^{2}.

$$6x^{2}+x+x-2=2x\left(x+2\right)$$

Групирайте x и x, за да получите 2x.

$$6x^{2}+2x-2=2x\left(x+2\right)$$

Използвайте дистрибутивното свойство, за да умножите 2x по x+2.

$$6x^{2}+2x-2=2x^{2}+4x$$

Извадете 2x^{2} и от двете страни.

$$6x^{2}+2x-2-2x^{2}=4x$$

Групирайте 6x^{2} и -2x^{2}, за да получите 4x^{2}.

$$4x^{2}+2x-2=4x$$

Извадете 4x и от двете страни.

$$4x^{2}+2x-2-4x=0$$

Групирайте 2x и -4x, за да получите -2x.

$$4x^{2}-2x-2=0$$

Добавете 2 от двете страни. Нещо плюс нула дава същото нещо.

$$4x^{2}-2x=2$$

Разделете двете страни на 4.

$$\frac{4x^{2}-2x}{4}=\frac{2}{4}$$

Делението на 4 отменя умножението по 4.

$$x^{2}+\left(-\frac{2}{4}\right)x=\frac{2}{4}$$

Намаляване на дробта \frac{-2}{4} до най-малките членове чрез извличане на корен и съкращаване на 2.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x=\frac{2}{4}$$

Намаляване на дробта \frac{2}{4} до най-малките членове чрез извличане на корен и съкращаване на 2.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x=\frac{1}{2}$$

Разделете -\frac{1}{2} – коефициента на члена на x – на 2, за да получите -\frac{1}{4}. След това съберете квадрата на -\frac{1}{4} с двете страни на уравнението. С тази стъпка лявата страна на уравнението става точен квадрат.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x+\left(-\frac{1}{4}\right)^{2}=\frac{1}{2}+\left(-\frac{1}{4}\right)^{2}$$

Повдигнете на квадрат -\frac{1}{4}, като повдигнете на квадрат и числителя, и знаменателя на дробта.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=\frac{1}{2}+\frac{1}{16}$$

Съберете \frac{1}{2} и \frac{1}{16}, като намерите общ знаменател и съберете числителите. След това съкращавате дробта до най-прости членове, ако е възможно.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=\frac{9}{16}$$

Разложете на множител x^{2}-\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}. Като цяло, когато x^{2}+bx+c е точен квадрат, той винаги може да бъде разложен на множител като \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{4}\right)^{2}=\frac{9}{16}$$

Получете корен квадратен от двете страни на равенството.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{9}{16}}$$

Опростявайте.

$$x-\frac{1}{4}=\frac{3}{4} x-\frac{1}{4}=-\frac{3}{4}$$

Съберете \frac{1}{4} към двете страни на уравнението.

$$x=1 x=-\frac{1}{2}$$