Решете 400/x+20+400/52/x+20+frac{400/53}{x}=11

$$\frac{ 400 }{ x+20 } + \frac{ \frac{ 400 }{ 5 } 2 }{ x+20 } + \frac{ \frac{ 400 }{ 5 } 3 }{ x } = 11$$

Решаване за x

$$x = -\frac{80}{11} = -7\frac{3}{11} \approx -7,272727273$$

$$x=60$$

Стъпки с разлагане на множители чрез групиране

Променливата x не може да бъде равна на никоя от стойностите -20,0, тъй като делението на нула не е дефинирано. Умножете и двете страни на уравнението с x\left(x+20\right) – най-малкия общ множител на x+20,x.

$$x\times 400+x\times \frac{400}{5}\times 2+\left(x+20\right)\times \frac{400}{5}\times 3=11x\left(x+20\right)$$

Разделете 400 на 5, за да получите 80.

$$x\times 400+x\times 80\times 2+\left(x+20\right)\times \frac{400}{5}\times 3=11x\left(x+20\right)$$

Умножете 80 по 2, за да получите 160.

$$x\times 400+x\times 160+\left(x+20\right)\times \frac{400}{5}\times 3=11x\left(x+20\right)$$

Групирайте x\times 400 и x\times 160, за да получите 560x.

$$560x+\left(x+20\right)\times \frac{400}{5}\times 3=11x\left(x+20\right)$$

Разделете 400 на 5, за да получите 80.

$$560x+\left(x+20\right)\times 80\times 3=11x\left(x+20\right)$$

Умножете 80 по 3, за да получите 240.

$$560x+\left(x+20\right)\times 240=11x\left(x+20\right)$$

Използвайте дистрибутивното свойство, за да умножите x+20 по 240.

$$560x+240x+4800=11x\left(x+20\right)$$

Групирайте 560x и 240x, за да получите 800x.

$$800x+4800=11x\left(x+20\right)$$

Използвайте дистрибутивното свойство, за да умножите 11x по x+20.

$$800x+4800=11x^{2}+220x$$

Извадете 11x^{2} и от двете страни.

$$800x+4800-11x^{2}=220x$$

Извадете 220x и от двете страни.

$$800x+4800-11x^{2}-220x=0$$

Групирайте 800x и -220x, за да получите 580x.

$$580x+4800-11x^{2}=0$$

Преобразувайте полинома в стандартна форма. Поставете членовете в ред от най-висока до най-ниска степен.

$$-11x^{2}+580x+4800=0$$

За да се реши уравнението, коефициентът е от лявата страна по групи. Първо, лявата страна трябва да бъде пренаписана като -11x^{2}+ax+bx+4800. За да намерите a и b, настройте система, която да бъде решена.

$$a+b=580 ab=-11\times 4800=-52800$$

Тъй като ab е отрицателен, a и b имат противоположни знаци. Тъй като a+b е положително, положителното число има по-голяма абсолютна стойност от отрицателното. Изброяване на всички тези целочислени двойки, които придават -52800 на продукта.

$$-1,52800 -2,26400 -3,17600 -4,13200 -5,10560 -6,8800 -8,6600 -10,5280 -11,4800 -12,4400 -15,3520 -16,3300 -20,2640 -22,2400 -24,2200 -25,2112 -30,1760 -32,1650 -33,1600 -40,1320 -44,1200 -48,1100 -50,1056 -55,960 -60,880 -64,825 -66,800 -75,704 -80,660 -88,600 -96,550 -100,528 -110,480 -120,440 -132,400 -150,352 -160,330 -165,320 -176,300 -192,275 -200,264 -220,240$$

Изчислете сумата за всяка двойка.

$$-1+52800=52799 -2+26400=26398 -3+17600=17597 -4+13200=13196 -5+10560=10555 -6+8800=8794 -8+6600=6592 -10+5280=5270 -11+4800=4789 -12+4400=4388 -15+3520=3505 -16+3300=3284 -20+2640=2620 -22+2400=2378 -24+2200=2176 -25+2112=2087 -30+1760=1730 -32+1650=1618 -33+1600=1567 -40+1320=1280 -44+1200=1156 -48+1100=1052 -50+1056=1006 -55+960=905 -60+880=820 -64+825=761 -66+800=734 -75+704=629 -80+660=580 -88+600=512 -96+550=454 -100+528=428 -110+480=370 -120+440=320 -132+400=268 -150+352=202 -160+330=170 -165+320=155 -176+300=124 -192+275=83 -200+264=64 -220+240=20$$

Решението е двойката, която дава сума 580.

$$a=660 b=-80$$

Напишете -11x^{2}+580x+4800 като \left(-11x^{2}+660x\right)+\left(-80x+4800\right).

$$\left(-11x^{2}+660x\right)+\left(-80x+4800\right)$$

Фактор, 11x в първата и 80 във втората група.

$$11x\left(-x+60\right)+80\left(-x+60\right)$$

Разложете на множители общия член -x+60, като използвате разпределителното свойство.

$$\left(-x+60\right)\left(11x+80\right)$$

За да намерите решения за уравнение, решете -x+60=0 и 11x+80=0.

$$x=60 x=-\frac{80}{11}$$

Стъпки с използване на формулата за квадратно уравнение

Променливата x не може да бъде равна на никоя от стойностите -20,0, тъй като делението на нула не е дефинирано. Умножете и двете страни на уравнението с x\left(x+20\right) – най-малкия общ множител на x+20,x.

$$x\times 400+x\times \frac{400}{5}\times 2+\left(x+20\right)\times \frac{400}{5}\times 3=11x\left(x+20\right)$$

Разделете 400 на 5, за да получите 80.

$$x\times 400+x\times 80\times 2+\left(x+20\right)\times \frac{400}{5}\times 3=11x\left(x+20\right)$$

Умножете 80 по 2, за да получите 160.

$$x\times 400+x\times 160+\left(x+20\right)\times \frac{400}{5}\times 3=11x\left(x+20\right)$$

Групирайте x\times 400 и x\times 160, за да получите 560x.

$$560x+\left(x+20\right)\times \frac{400}{5}\times 3=11x\left(x+20\right)$$

Разделете 400 на 5, за да получите 80.

$$560x+\left(x+20\right)\times 80\times 3=11x\left(x+20\right)$$

Умножете 80 по 3, за да получите 240.

$$560x+\left(x+20\right)\times 240=11x\left(x+20\right)$$

Използвайте дистрибутивното свойство, за да умножите x+20 по 240.

$$560x+240x+4800=11x\left(x+20\right)$$

Групирайте 560x и 240x, за да получите 800x.

$$800x+4800=11x\left(x+20\right)$$

Използвайте дистрибутивното свойство, за да умножите 11x по x+20.

$$800x+4800=11x^{2}+220x$$

Извадете 11x^{2} и от двете страни.

$$800x+4800-11x^{2}=220x$$

Извадете 220x и от двете страни.

$$800x+4800-11x^{2}-220x=0$$

Групирайте 800x и -220x, за да получите 580x.

$$580x+4800-11x^{2}=0$$

Всички формули във форма ax^{2}+bx+c=0 може да се решат чрез използване на формулата за корени на квадратното уравнение: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Формулата за корени на квадратното уравнение дава две решения, когато ± е събиране, и едно, когато е изваждане.

$$-11x^{2}+580x+4800=0$$

Това уравнение е в стандартна форма: ax^{2}+bx+c=0. Заместете -11 вместо a, 580 вместо b и 4800 вместо c във формулата на квадратното уравнение, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-580±\sqrt{580^{2}-4\left(-11\right)\times 4800}}{2\left(-11\right)}$$

Повдигане на квадрат на 580.

$$x=\frac{-580±\sqrt{336400-4\left(-11\right)\times 4800}}{2\left(-11\right)}$$

Умножете -4 по -11.

$$x=\frac{-580±\sqrt{336400+44\times 4800}}{2\left(-11\right)}$$

Умножете 44 по 4800.

$$x=\frac{-580±\sqrt{336400+211200}}{2\left(-11\right)}$$

Съберете 336400 с 211200.

$$x=\frac{-580±\sqrt{547600}}{2\left(-11\right)}$$

Получете корен квадратен от 547600.

$$x=\frac{-580±740}{2\left(-11\right)}$$

Умножете 2 по -11.

$$x=\frac{-580±740}{-22}$$

Сега решете уравнението x=\frac{-580±740}{-22}, когато ± е плюс. Съберете -580 с 740.

$$x=\frac{160}{-22}$$

Намаляване на дробта \frac{160}{-22} до най-малките членове чрез извличане на корен и съкращаване на 2.

$$x=-\frac{80}{11}$$

Сега решете уравнението x=\frac{-580±740}{-22}, когато ± е минус. Извадете 740 от -580.

$$x=-\frac{1320}{-22}$$

Разделете -1320 на -22.

$$x=60$$

Уравнението сега е решено.

$$x=-\frac{80}{11} x=60$$

Стъпки за допълване до пълен квадрат

Променливата x не може да бъде равна на никоя от стойностите -20,0, тъй като делението на нула не е дефинирано. Умножете и двете страни на уравнението с x\left(x+20\right) – най-малкия общ множител на x+20,x.

$$x\times 400+x\times \frac{400}{5}\times 2+\left(x+20\right)\times \frac{400}{5}\times 3=11x\left(x+20\right)$$

Разделете 400 на 5, за да получите 80.

$$x\times 400+x\times 80\times 2+\left(x+20\right)\times \frac{400}{5}\times 3=11x\left(x+20\right)$$

Умножете 80 по 2, за да получите 160.

$$x\times 400+x\times 160+\left(x+20\right)\times \frac{400}{5}\times 3=11x\left(x+20\right)$$

Групирайте x\times 400 и x\times 160, за да получите 560x.

$$560x+\left(x+20\right)\times \frac{400}{5}\times 3=11x\left(x+20\right)$$

Разделете 400 на 5, за да получите 80.

$$560x+\left(x+20\right)\times 80\times 3=11x\left(x+20\right)$$

Умножете 80 по 3, за да получите 240.

$$560x+\left(x+20\right)\times 240=11x\left(x+20\right)$$

Използвайте дистрибутивното свойство, за да умножите x+20 по 240.

$$560x+240x+4800=11x\left(x+20\right)$$

Групирайте 560x и 240x, за да получите 800x.

$$800x+4800=11x\left(x+20\right)$$

Използвайте дистрибутивното свойство, за да умножите 11x по x+20.

$$800x+4800=11x^{2}+220x$$

Извадете 11x^{2} и от двете страни.

$$800x+4800-11x^{2}=220x$$

Извадете 220x и от двете страни.

$$800x+4800-11x^{2}-220x=0$$

Групирайте 800x и -220x, за да получите 580x.

$$580x+4800-11x^{2}=0$$

Извадете 4800 и от двете страни. Нещо, извадено от нула, дава отрицателната му стойност.

$$580x-11x^{2}=-4800$$

Квадратни уравнения като това могат да бъде решени чрез допълване до пълен квадрат. За да допълните до пълен квадрат, уравнението трябва първо да бъде във форма x^{2}+bx=c.

$$-11x^{2}+580x=-4800$$

Разделете двете страни на -11.

$$\frac{-11x^{2}+580x}{-11}=-\frac{4800}{-11}$$

Делението на -11 отменя умножението по -11.

$$x^{2}+\frac{580}{-11}x=-\frac{4800}{-11}$$

Разделете 580 на -11.

$$x^{2}-\frac{580}{11}x=-\frac{4800}{-11}$$

Разделете -4800 на -11.

$$x^{2}-\frac{580}{11}x=\frac{4800}{11}$$

Разделете -\frac{580}{11} – коефициента на члена на x – на 2, за да получите -\frac{290}{11}. След това съберете квадрата на -\frac{290}{11} с двете страни на уравнението. С тази стъпка лявата страна на уравнението става точен квадрат.

$$x^{2}-\frac{580}{11}x+\left(-\frac{290}{11}\right)^{2}=\frac{4800}{11}+\left(-\frac{290}{11}\right)^{2}$$

Повдигнете на квадрат -\frac{290}{11}, като повдигнете на квадрат и числителя, и знаменателя на дробта.

$$x^{2}-\frac{580}{11}x+\frac{84100}{121}=\frac{4800}{11}+\frac{84100}{121}$$

Съберете \frac{4800}{11} и \frac{84100}{121}, като намерите общ знаменател и съберете числителите. След това съкращавате дробта до най-прости членове, ако е възможно.

$$x^{2}-\frac{580}{11}x+\frac{84100}{121}=\frac{136900}{121}$$

Разложете на множител x^{2}-\frac{580}{11}x+\frac{84100}{121}. Като цяло, когато x^{2}+bx+c е точен квадрат, той винаги може да бъде разложен на множител като \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{290}{11}\right)^{2}=\frac{136900}{121}$$

Получете корен квадратен от двете страни на равенството.

$$\sqrt{\left(x-\frac{290}{11}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{136900}{121}}$$

Опростявайте.

$$x-\frac{290}{11}=\frac{370}{11} x-\frac{290}{11}=-\frac{370}{11}$$

Съберете \frac{290}{11} към двете страни на уравнението.

$$x=60 x=-\frac{80}{11}$$