Решете 4/x-2-x-3/x-4=0

$$\frac{ 4 }{ x-2 } - \frac{ x-3 }{ x-4 } =0$$

Решаване за x (complex solution)

$$x=\frac{-\sqrt{7}i+9}{2}\approx 4,5-1,322875656i$$

$$x=\frac{9+\sqrt{7}i}{2}\approx 4,5+1,322875656i$$

Стъпки с използване на формулата за квадратно уравнение

Променливата x не може да бъде равна на никоя от стойностите 2,4, тъй като делението на нула не е дефинирано. Умножете и двете страни на уравнението с \left(x-4\right)\left(x-2\right) – най-малкия общ множител на x-2,x-4.

$$\left(x-4\right)\times 4-\left(x-2\right)\left(x-3\right)=0$$

Използвайте дистрибутивното свойство, за да умножите x-4 по 4.

$$4x-16-\left(x-2\right)\left(x-3\right)=0$$

Използвайте дистрибутивното свойство, за да умножите x-2 по x-3 и да групирате подобните членове.

$$4x-16-\left(x^{2}-5x+6\right)=0$$

За да намерите противоположната стойност на x^{2}-5x+6, намерете противоположната стойност на всеки член.

$$4x-16-x^{2}+5x-6=0$$

Групирайте 4x и 5x, за да получите 9x.

$$9x-16-x^{2}-6=0$$

Извадете 6 от -16, за да получите -22.

$$9x-22-x^{2}=0$$

Всички формули във форма ax^{2}+bx+c=0 може да се решат чрез използване на формулата за корени на квадратното уравнение: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Формулата за корени на квадратното уравнение дава две решения, когато ± е събиране, и едно, когато е изваждане.

$$-x^{2}+9x-22=0$$

Това уравнение е в стандартна форма: ax^{2}+bx+c=0. Заместете -1 вместо a, 9 вместо b и -22 вместо c във формулата на квадратното уравнение, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-9±\sqrt{9^{2}-4\left(-1\right)\left(-22\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Повдигане на квадрат на 9.

$$x=\frac{-9±\sqrt{81-4\left(-1\right)\left(-22\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Умножете -4 по -1.

$$x=\frac{-9±\sqrt{81+4\left(-22\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Умножете 4 по -22.

$$x=\frac{-9±\sqrt{81-88}}{2\left(-1\right)}$$

Съберете 81 с -88.

$$x=\frac{-9±\sqrt{-7}}{2\left(-1\right)}$$

Получете корен квадратен от -7.

$$x=\frac{-9±\sqrt{7}i}{2\left(-1\right)}$$

Умножете 2 по -1.

$$x=\frac{-9±\sqrt{7}i}{-2}$$

Сега решете уравнението x=\frac{-9±\sqrt{7}i}{-2}, когато ± е плюс. Съберете -9 с i\sqrt{7}.

$$x=\frac{-9+\sqrt{7}i}{-2}$$

Разделете -9+i\sqrt{7} на -2.

$$x=\frac{-\sqrt{7}i+9}{2}$$

Сега решете уравнението x=\frac{-9±\sqrt{7}i}{-2}, когато ± е минус. Извадете i\sqrt{7} от -9.

$$x=\frac{-\sqrt{7}i-9}{-2}$$

Разделете -9-i\sqrt{7} на -2.

$$x=\frac{9+\sqrt{7}i}{2}$$

Уравнението сега е решено.

$$x=\frac{-\sqrt{7}i+9}{2} x=\frac{9+\sqrt{7}i}{2}$$

Стъпки за допълване до пълен квадрат

Променливата x не може да бъде равна на никоя от стойностите 2,4, тъй като делението на нула не е дефинирано. Умножете и двете страни на уравнението с \left(x-4\right)\left(x-2\right) – най-малкия общ множител на x-2,x-4.

$$\left(x-4\right)\times 4-\left(x-2\right)\left(x-3\right)=0$$

Използвайте дистрибутивното свойство, за да умножите x-4 по 4.

$$4x-16-\left(x-2\right)\left(x-3\right)=0$$

Използвайте дистрибутивното свойство, за да умножите x-2 по x-3 и да групирате подобните членове.

$$4x-16-\left(x^{2}-5x+6\right)=0$$

За да намерите противоположната стойност на x^{2}-5x+6, намерете противоположната стойност на всеки член.

$$4x-16-x^{2}+5x-6=0$$

Групирайте 4x и 5x, за да получите 9x.

$$9x-16-x^{2}-6=0$$

Извадете 6 от -16, за да получите -22.

$$9x-22-x^{2}=0$$

Добавете 22 от двете страни. Нещо плюс нула дава същото нещо.

$$9x-x^{2}=22$$

Квадратни уравнения като това могат да бъде решени чрез допълване до пълен квадрат. За да допълните до пълен квадрат, уравнението трябва първо да бъде във форма x^{2}+bx=c.

$$-x^{2}+9x=22$$

Разделете двете страни на -1.

$$\frac{-x^{2}+9x}{-1}=\frac{22}{-1}$$

Делението на -1 отменя умножението по -1.

$$x^{2}+\frac{9}{-1}x=\frac{22}{-1}$$

Разделете 9 на -1.

$$x^{2}-9x=\frac{22}{-1}$$

Разделете 22 на -1.

$$x^{2}-9x=-22$$

Разделете -9 – коефициента на члена на x – на 2, за да получите -\frac{9}{2}. След това съберете квадрата на -\frac{9}{2} с двете страни на уравнението. С тази стъпка лявата страна на уравнението става точен квадрат.

$$x^{2}-9x+\left(-\frac{9}{2}\right)^{2}=-22+\left(-\frac{9}{2}\right)^{2}$$

Повдигнете на квадрат -\frac{9}{2}, като повдигнете на квадрат и числителя, и знаменателя на дробта.

$$x^{2}-9x+\frac{81}{4}=-22+\frac{81}{4}$$

Съберете -22 с \frac{81}{4}.

$$x^{2}-9x+\frac{81}{4}=-\frac{7}{4}$$

Разложете на множител x^{2}-9x+\frac{81}{4}. Като цяло, когато x^{2}+bx+c е точен квадрат, той винаги може да бъде разложен на множител като \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{9}{2}\right)^{2}=-\frac{7}{4}$$

Получете корен квадратен от двете страни на равенството.

$$\sqrt{\left(x-\frac{9}{2}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{7}{4}}$$

Опростявайте.

$$x-\frac{9}{2}=\frac{\sqrt{7}i}{2} x-\frac{9}{2}=-\frac{\sqrt{7}i}{2}$$

Съберете \frac{9}{2} към двете страни на уравнението.

$$x=\frac{9+\sqrt{7}i}{2} x=\frac{-\sqrt{7}i+9}{2}$$