Решете 3wleft(w+8right)+wleft(w-4right)/2-3=5-w^2

$$\frac{ 3w \left( w+8 \right) +w \left( w-4 \right) }{ 2 } -3 = 5- { w }^{ 2 }$$

Решаване за w

$$w=-4$$

$$w=\frac{2}{3}\approx 0,666666667$$

Стъпки с разлагане на множители чрез групиране

Умножете и двете страни на уравнението по 2.

$$3w\left(w+8\right)+w\left(w-4\right)-6=10-2w^{2}$$

Използвайте дистрибутивното свойство, за да умножите 3w по w+8.

$$3w^{2}+24w+w\left(w-4\right)-6=10-2w^{2}$$

Използвайте дистрибутивното свойство, за да умножите w по w-4.

$$3w^{2}+24w+w^{2}-4w-6=10-2w^{2}$$

Групирайте 3w^{2} и w^{2}, за да получите 4w^{2}.

$$4w^{2}+24w-4w-6=10-2w^{2}$$

Групирайте 24w и -4w, за да получите 20w.

$$4w^{2}+20w-6=10-2w^{2}$$

Извадете 10 и от двете страни.

$$4w^{2}+20w-6-10=-2w^{2}$$

Извадете 10 от -6, за да получите -16.

$$4w^{2}+20w-16=-2w^{2}$$

Добавете 2w^{2} от двете страни.

$$4w^{2}+20w-16+2w^{2}=0$$

Групирайте 4w^{2} и 2w^{2}, за да получите 6w^{2}.

$$6w^{2}+20w-16=0$$

Разделете двете страни на 2.

$$3w^{2}+10w-8=0$$

За да се реши уравнението, коефициентът е от лявата страна по групи. Първо, лявата страна трябва да бъде пренаписана като 3w^{2}+aw+bw-8. За да намерите a и b, настройте система, която да бъде решена.

$$a+b=10 ab=3\left(-8\right)=-24$$

Тъй като ab е отрицателен, a и b имат противоположни знаци. Тъй като a+b е положително, положителното число има по-голяма абсолютна стойност от отрицателното. Изброяване на всички тези целочислени двойки, които придават -24 на продукта.

$$-1,24 -2,12 -3,8 -4,6$$

Изчислете сумата за всяка двойка.

$$-1+24=23 -2+12=10 -3+8=5 -4+6=2$$

Решението е двойката, която дава сума 10.

$$a=-2 b=12$$

Напишете 3w^{2}+10w-8 като \left(3w^{2}-2w\right)+\left(12w-8\right).

$$\left(3w^{2}-2w\right)+\left(12w-8\right)$$

Фактор, w в първата и 4 във втората група.

$$w\left(3w-2\right)+4\left(3w-2\right)$$

Разложете на множители общия член 3w-2, като използвате разпределителното свойство.

$$\left(3w-2\right)\left(w+4\right)$$

За да намерите решения за уравнение, решете 3w-2=0 и w+4=0.

$$w=\frac{2}{3} w=-4$$

Стъпки с използване на формулата за квадратно уравнение

Умножете и двете страни на уравнението по 2.

$$3w\left(w+8\right)+w\left(w-4\right)-6=10-2w^{2}$$

Използвайте дистрибутивното свойство, за да умножите 3w по w+8.

$$3w^{2}+24w+w\left(w-4\right)-6=10-2w^{2}$$

Използвайте дистрибутивното свойство, за да умножите w по w-4.

$$3w^{2}+24w+w^{2}-4w-6=10-2w^{2}$$

Групирайте 3w^{2} и w^{2}, за да получите 4w^{2}.

$$4w^{2}+24w-4w-6=10-2w^{2}$$

Групирайте 24w и -4w, за да получите 20w.

$$4w^{2}+20w-6=10-2w^{2}$$

Извадете 10 и от двете страни.

$$4w^{2}+20w-6-10=-2w^{2}$$

Извадете 10 от -6, за да получите -16.

$$4w^{2}+20w-16=-2w^{2}$$

Добавете 2w^{2} от двете страни.

$$4w^{2}+20w-16+2w^{2}=0$$

Групирайте 4w^{2} и 2w^{2}, за да получите 6w^{2}.

$$6w^{2}+20w-16=0$$

Това уравнение е в стандартна форма: ax^{2}+bx+c=0. Заместете 6 вместо a, 20 вместо b и -16 вместо c във формулата на квадратното уравнение, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$w=\frac{-20±\sqrt{20^{2}-4\times 6\left(-16\right)}}{2\times 6}$$

Повдигане на квадрат на 20.

$$w=\frac{-20±\sqrt{400-4\times 6\left(-16\right)}}{2\times 6}$$

Умножете -4 по 6.

$$w=\frac{-20±\sqrt{400-24\left(-16\right)}}{2\times 6}$$

Умножете -24 по -16.

$$w=\frac{-20±\sqrt{400+384}}{2\times 6}$$

Съберете 400 с 384.

$$w=\frac{-20±\sqrt{784}}{2\times 6}$$

Получете корен квадратен от 784.

$$w=\frac{-20±28}{2\times 6}$$

Умножете 2 по 6.

$$w=\frac{-20±28}{12}$$

Сега решете уравнението w=\frac{-20±28}{12}, когато ± е плюс. Съберете -20 с 28.

$$w=\frac{8}{12}$$

Намаляване на дробта \frac{8}{12} до най-малките членове чрез извличане на корен и съкращаване на 4.

$$w=\frac{2}{3}$$

Сега решете уравнението w=\frac{-20±28}{12}, когато ± е минус. Извадете 28 от -20.

$$w=-\frac{48}{12}$$

Разделете -48 на 12.

$$w=-4$$

Уравнението сега е решено.

$$w=\frac{2}{3} w=-4$$

Стъпки за допълване до пълен квадрат

Умножете и двете страни на уравнението по 2.

$$3w\left(w+8\right)+w\left(w-4\right)-6=10-2w^{2}$$

Използвайте дистрибутивното свойство, за да умножите 3w по w+8.

$$3w^{2}+24w+w\left(w-4\right)-6=10-2w^{2}$$

Използвайте дистрибутивното свойство, за да умножите w по w-4.

$$3w^{2}+24w+w^{2}-4w-6=10-2w^{2}$$

Групирайте 3w^{2} и w^{2}, за да получите 4w^{2}.

$$4w^{2}+24w-4w-6=10-2w^{2}$$

Групирайте 24w и -4w, за да получите 20w.

$$4w^{2}+20w-6=10-2w^{2}$$

Добавете 2w^{2} от двете страни.

$$4w^{2}+20w-6+2w^{2}=10$$

Групирайте 4w^{2} и 2w^{2}, за да получите 6w^{2}.

$$6w^{2}+20w-6=10$$

Добавете 6 от двете страни.

$$6w^{2}+20w=10+6$$

Съберете 10 и 6, за да се получи 16.

$$6w^{2}+20w=16$$

Разделете двете страни на 6.

$$\frac{6w^{2}+20w}{6}=\frac{16}{6}$$

Делението на 6 отменя умножението по 6.

$$w^{2}+\frac{20}{6}w=\frac{16}{6}$$

Намаляване на дробта \frac{20}{6} до най-малките членове чрез извличане на корен и съкращаване на 2.

$$w^{2}+\frac{10}{3}w=\frac{16}{6}$$

Намаляване на дробта \frac{16}{6} до най-малките членове чрез извличане на корен и съкращаване на 2.

$$w^{2}+\frac{10}{3}w=\frac{8}{3}$$

Разделете \frac{10}{3} – коефициента на члена на x – на 2, за да получите \frac{5}{3}. След това съберете квадрата на \frac{5}{3} с двете страни на уравнението. С тази стъпка лявата страна на уравнението става точен квадрат.

$$w^{2}+\frac{10}{3}w+\left(\frac{5}{3}\right)^{2}=\frac{8}{3}+\left(\frac{5}{3}\right)^{2}$$

Повдигнете на квадрат \frac{5}{3}, като повдигнете на квадрат и числителя, и знаменателя на дробта.

$$w^{2}+\frac{10}{3}w+\frac{25}{9}=\frac{8}{3}+\frac{25}{9}$$

Съберете \frac{8}{3} и \frac{25}{9}, като намерите общ знаменател и съберете числителите. След това съкращавате дробта до най-прости членове, ако е възможно.

$$w^{2}+\frac{10}{3}w+\frac{25}{9}=\frac{49}{9}$$

Разложете на множител w^{2}+\frac{10}{3}w+\frac{25}{9}. Като цяло, когато x^{2}+bx+c е точен квадрат, той винаги може да бъде разложен на множител като \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(w+\frac{5}{3}\right)^{2}=\frac{49}{9}$$

Получете корен квадратен от двете страни на равенството.

$$\sqrt{\left(w+\frac{5}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{9}}$$

Опростявайте.

$$w+\frac{5}{3}=\frac{7}{3} w+\frac{5}{3}=-\frac{7}{3}$$

Извадете \frac{5}{3} и от двете страни на уравнението.

$$w=\frac{2}{3} w=-4$$