Решете 2x+1/x+4x/2x+1=5

$$\frac{ 2x+1 }{ x } + \frac{ 4x }{ 2x+1 } =5$$

Решаване за x

$$x=\frac{1}{2}=0,5$$

$$x=-1$$

Стъпки с разлагане на множители чрез групиране

Променливата x не може да бъде равна на никоя от стойностите -\frac{1}{2},0, тъй като делението на нула не е дефинирано. Умножете и двете страни на уравнението с x\left(2x+1\right) – най-малкия общ множител на x,2x+1.

$$\left(2x+1\right)\left(2x+1\right)+x\times 4x=5x\left(2x+1\right)$$

Умножете 2x+1 по 2x+1, за да получите \left(2x+1\right)^{2}.

$$\left(2x+1\right)^{2}+x\times 4x=5x\left(2x+1\right)$$

Използвайте Нютоновия бином \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}, за да разложите \left(2x+1\right)^{2}.

$$4x^{2}+4x+1+x\times 4x=5x\left(2x+1\right)$$

Умножете x по x, за да получите x^{2}.

$$4x^{2}+4x+1+x^{2}\times 4=5x\left(2x+1\right)$$

Групирайте 4x^{2} и x^{2}\times 4, за да получите 8x^{2}.

$$8x^{2}+4x+1=5x\left(2x+1\right)$$

Използвайте дистрибутивното свойство, за да умножите 5x по 2x+1.

$$8x^{2}+4x+1=10x^{2}+5x$$

Извадете 10x^{2} и от двете страни.

$$8x^{2}+4x+1-10x^{2}=5x$$

Групирайте 8x^{2} и -10x^{2}, за да получите -2x^{2}.

$$-2x^{2}+4x+1=5x$$

Извадете 5x и от двете страни.

$$-2x^{2}+4x+1-5x=0$$

Групирайте 4x и -5x, за да получите -x.

$$-2x^{2}-x+1=0$$

За да се реши уравнението, коефициентът е от лявата страна по групи. Първо, лявата страна трябва да бъде пренаписана като -2x^{2}+ax+bx+1. За да намерите a и b, настройте система, която да бъде решена.

$$a+b=-1 ab=-2=-2$$

Тъй като ab е отрицателен, a и b имат противоположни знаци. Тъй като a+b е отрицателно, отрицателното число има по-голяма абсолютна стойност от положителното. Единствената такава двойка е системното решение.

$$a=1 b=-2$$

Напишете -2x^{2}-x+1 като \left(-2x^{2}+x\right)+\left(-2x+1\right).

$$\left(-2x^{2}+x\right)+\left(-2x+1\right)$$

Фактор, -x в първата и -1 във втората група.

$$-x\left(2x-1\right)-\left(2x-1\right)$$

Разложете на множители общия член 2x-1, като използвате разпределителното свойство.

$$\left(2x-1\right)\left(-x-1\right)$$

За да намерите решения за уравнение, решете 2x-1=0 и -x-1=0.

$$x=\frac{1}{2} x=-1$$

Стъпки с използване на формулата за квадратно уравнение

Променливата x не може да бъде равна на никоя от стойностите -\frac{1}{2},0, тъй като делението на нула не е дефинирано. Умножете и двете страни на уравнението с x\left(2x+1\right) – най-малкия общ множител на x,2x+1.

$$\left(2x+1\right)\left(2x+1\right)+x\times 4x=5x\left(2x+1\right)$$

Умножете 2x+1 по 2x+1, за да получите \left(2x+1\right)^{2}.

$$\left(2x+1\right)^{2}+x\times 4x=5x\left(2x+1\right)$$

Използвайте Нютоновия бином \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}, за да разложите \left(2x+1\right)^{2}.

$$4x^{2}+4x+1+x\times 4x=5x\left(2x+1\right)$$

Умножете x по x, за да получите x^{2}.

$$4x^{2}+4x+1+x^{2}\times 4=5x\left(2x+1\right)$$

Групирайте 4x^{2} и x^{2}\times 4, за да получите 8x^{2}.

$$8x^{2}+4x+1=5x\left(2x+1\right)$$

Използвайте дистрибутивното свойство, за да умножите 5x по 2x+1.

$$8x^{2}+4x+1=10x^{2}+5x$$

Извадете 10x^{2} и от двете страни.

$$8x^{2}+4x+1-10x^{2}=5x$$

Групирайте 8x^{2} и -10x^{2}, за да получите -2x^{2}.

$$-2x^{2}+4x+1=5x$$

Извадете 5x и от двете страни.

$$-2x^{2}+4x+1-5x=0$$

Групирайте 4x и -5x, за да получите -x.

$$-2x^{2}-x+1=0$$

Това уравнение е в стандартна форма: ax^{2}+bx+c=0. Заместете -2 вместо a, -1 вместо b и 1 вместо c във формулата на квадратното уравнение, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4\left(-2\right)}}{2\left(-2\right)}$$

Умножете -4 по -2.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1+8}}{2\left(-2\right)}$$

Съберете 1 с 8.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{9}}{2\left(-2\right)}$$

Получете корен квадратен от 9.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±3}{2\left(-2\right)}$$

Противоположното на -1 е 1.

$$x=\frac{1±3}{2\left(-2\right)}$$

Умножете 2 по -2.

$$x=\frac{1±3}{-4}$$

Сега решете уравнението x=\frac{1±3}{-4}, когато ± е плюс. Съберете 1 с 3.

$$x=\frac{4}{-4}$$

Разделете 4 на -4.

$$x=-1$$

Сега решете уравнението x=\frac{1±3}{-4}, когато ± е минус. Извадете 3 от 1.

$$x=-\frac{2}{-4}$$

Намаляване на дробта \frac{-2}{-4} до най-малките членове чрез извличане на корен и съкращаване на 2.

$$x=\frac{1}{2}$$

Уравнението сега е решено.

$$x=-1 x=\frac{1}{2}$$

Стъпки за допълване до пълен квадрат

Променливата x не може да бъде равна на никоя от стойностите -\frac{1}{2},0, тъй като делението на нула не е дефинирано. Умножете и двете страни на уравнението с x\left(2x+1\right) – най-малкия общ множител на x,2x+1.

$$\left(2x+1\right)\left(2x+1\right)+x\times 4x=5x\left(2x+1\right)$$

Умножете 2x+1 по 2x+1, за да получите \left(2x+1\right)^{2}.

$$\left(2x+1\right)^{2}+x\times 4x=5x\left(2x+1\right)$$

Използвайте Нютоновия бином \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}, за да разложите \left(2x+1\right)^{2}.

$$4x^{2}+4x+1+x\times 4x=5x\left(2x+1\right)$$

Умножете x по x, за да получите x^{2}.

$$4x^{2}+4x+1+x^{2}\times 4=5x\left(2x+1\right)$$

Групирайте 4x^{2} и x^{2}\times 4, за да получите 8x^{2}.

$$8x^{2}+4x+1=5x\left(2x+1\right)$$

Използвайте дистрибутивното свойство, за да умножите 5x по 2x+1.

$$8x^{2}+4x+1=10x^{2}+5x$$

Извадете 10x^{2} и от двете страни.

$$8x^{2}+4x+1-10x^{2}=5x$$

Групирайте 8x^{2} и -10x^{2}, за да получите -2x^{2}.

$$-2x^{2}+4x+1=5x$$

Извадете 5x и от двете страни.

$$-2x^{2}+4x+1-5x=0$$

Групирайте 4x и -5x, за да получите -x.

$$-2x^{2}-x+1=0$$

Извадете 1 и от двете страни. Нещо, извадено от нула, дава отрицателната му стойност.

$$-2x^{2}-x=-1$$

Разделете двете страни на -2.

$$\frac{-2x^{2}-x}{-2}=-\frac{1}{-2}$$

Делението на -2 отменя умножението по -2.

$$x^{2}+\left(-\frac{1}{-2}\right)x=-\frac{1}{-2}$$

Разделете -1 на -2.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x=-\frac{1}{-2}$$

Разделете -1 на -2.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x=\frac{1}{2}$$

Разделете \frac{1}{2} – коефициента на члена на x – на 2, за да получите \frac{1}{4}. След това съберете квадрата на \frac{1}{4} с двете страни на уравнението. С тази стъпка лявата страна на уравнението става точен квадрат.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x+\left(\frac{1}{4}\right)^{2}=\frac{1}{2}+\left(\frac{1}{4}\right)^{2}$$

Повдигнете на квадрат \frac{1}{4}, като повдигнете на квадрат и числителя, и знаменателя на дробта.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=\frac{1}{2}+\frac{1}{16}$$

Съберете \frac{1}{2} и \frac{1}{16}, като намерите общ знаменател и съберете числителите. След това съкращавате дробта до най-прости членове, ако е възможно.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=\frac{9}{16}$$

Разложете на множител x^{2}+\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}. Като цяло, когато x^{2}+bx+c е точен квадрат, той винаги може да бъде разложен на множител като \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{4}\right)^{2}=\frac{9}{16}$$

Получете корен квадратен от двете страни на равенството.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{9}{16}}$$

Опростявайте.

$$x+\frac{1}{4}=\frac{3}{4} x+\frac{1}{4}=-\frac{3}{4}$$

Извадете \frac{1}{4} и от двете страни на уравнението.

$$x=\frac{1}{2} x=-1$$