Решете frac{2+sqrt{5}}{2-sqrt{5}}+frac{2-sqrt{5}}{2+sqrt{5}}=a+sqrt{5b}

$$\frac{ 2+ \sqrt{ 5 } }{ 2- \sqrt{ 5 } } + \frac{ 2- \sqrt{ 5 } }{ 2+ \sqrt{ 5 } } = a+ \sqrt{ 5b }$$

Решаване за b

$$b=\frac{\left(a+18\right)^{2}}{5}$$

$$a\leq -18$$

Стъпки за решаване на уравнения с радикали

Рационализиране на знаменателя на \frac{2+\sqrt{5}}{2-\sqrt{5}}, като се умножи числител и знаменател по 2+\sqrt{5}.

$$\frac{\left(2+\sqrt{5}\right)\left(2+\sqrt{5}\right)}{\left(2-\sqrt{5}\right)\left(2+\sqrt{5}\right)}+\frac{2-\sqrt{5}}{2+\sqrt{5}}=a+\sqrt{5b}$$

Сметнете \left(2-\sqrt{5}\right)\left(2+\sqrt{5}\right). Умножението може да бъде преобразувано в разлика на квадрати с помощта на правилото: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$\frac{\left(2+\sqrt{5}\right)\left(2+\sqrt{5}\right)}{2^{2}-\left(\sqrt{5}\right)^{2}}+\frac{2-\sqrt{5}}{2+\sqrt{5}}=a+\sqrt{5b}$$

Повдигане на квадрат на 2. Повдигане на квадрат на \sqrt{5}.

$$\frac{\left(2+\sqrt{5}\right)\left(2+\sqrt{5}\right)}{4-5}+\frac{2-\sqrt{5}}{2+\sqrt{5}}=a+\sqrt{5b}$$

Извадете 5 от 4, за да получите -1.

$$\frac{\left(2+\sqrt{5}\right)\left(2+\sqrt{5}\right)}{-1}+\frac{2-\sqrt{5}}{2+\sqrt{5}}=a+\sqrt{5b}$$

Умножете 2+\sqrt{5} по 2+\sqrt{5}, за да получите \left(2+\sqrt{5}\right)^{2}.

$$\frac{\left(2+\sqrt{5}\right)^{2}}{-1}+\frac{2-\sqrt{5}}{2+\sqrt{5}}=a+\sqrt{5b}$$

Използвайте Нютоновия бином \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}, за да разложите \left(2+\sqrt{5}\right)^{2}.

$$\frac{4+4\sqrt{5}+\left(\sqrt{5}\right)^{2}}{-1}+\frac{2-\sqrt{5}}{2+\sqrt{5}}=a+\sqrt{5b}$$

Квадратът на \sqrt{5} е 5.

$$\frac{4+4\sqrt{5}+5}{-1}+\frac{2-\sqrt{5}}{2+\sqrt{5}}=a+\sqrt{5b}$$

Съберете 4 и 5, за да се получи 9.

$$\frac{9+4\sqrt{5}}{-1}+\frac{2-\sqrt{5}}{2+\sqrt{5}}=a+\sqrt{5b}$$

Всяко число, разделено на -1, е равно на неговото противоположно число. За да намерите противоположната стойност на 9+4\sqrt{5}, намерете противоположната стойност на всеки член.

$$-9-4\sqrt{5}+\frac{2-\sqrt{5}}{2+\sqrt{5}}=a+\sqrt{5b}$$

Рационализиране на знаменателя на \frac{2-\sqrt{5}}{2+\sqrt{5}}, като се умножи числител и знаменател по 2-\sqrt{5}.

$$-9-4\sqrt{5}+\frac{\left(2-\sqrt{5}\right)\left(2-\sqrt{5}\right)}{\left(2+\sqrt{5}\right)\left(2-\sqrt{5}\right)}=a+\sqrt{5b}$$

Сметнете \left(2+\sqrt{5}\right)\left(2-\sqrt{5}\right). Умножението може да бъде преобразувано в разлика на квадрати с помощта на правилото: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$-9-4\sqrt{5}+\frac{\left(2-\sqrt{5}\right)\left(2-\sqrt{5}\right)}{2^{2}-\left(\sqrt{5}\right)^{2}}=a+\sqrt{5b}$$

Повдигане на квадрат на 2. Повдигане на квадрат на \sqrt{5}.

$$-9-4\sqrt{5}+\frac{\left(2-\sqrt{5}\right)\left(2-\sqrt{5}\right)}{4-5}=a+\sqrt{5b}$$

Извадете 5 от 4, за да получите -1.

$$-9-4\sqrt{5}+\frac{\left(2-\sqrt{5}\right)\left(2-\sqrt{5}\right)}{-1}=a+\sqrt{5b}$$

Умножете 2-\sqrt{5} по 2-\sqrt{5}, за да получите \left(2-\sqrt{5}\right)^{2}.

$$-9-4\sqrt{5}+\frac{\left(2-\sqrt{5}\right)^{2}}{-1}=a+\sqrt{5b}$$

Използвайте Нютоновия бином \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}, за да разложите \left(2-\sqrt{5}\right)^{2}.

$$-9-4\sqrt{5}+\frac{4-4\sqrt{5}+\left(\sqrt{5}\right)^{2}}{-1}=a+\sqrt{5b}$$

Квадратът на \sqrt{5} е 5.

$$-9-4\sqrt{5}+\frac{4-4\sqrt{5}+5}{-1}=a+\sqrt{5b}$$

Съберете 4 и 5, за да се получи 9.

$$-9-4\sqrt{5}+\frac{9-4\sqrt{5}}{-1}=a+\sqrt{5b}$$

Всяко число, разделено на -1, е равно на неговото противоположно число. За да намерите противоположната стойност на 9-4\sqrt{5}, намерете противоположната стойност на всеки член.

$$-9-4\sqrt{5}-9+4\sqrt{5}=a+\sqrt{5b}$$

Извадете 9 от -9, за да получите -18.

$$-18-4\sqrt{5}+4\sqrt{5}=a+\sqrt{5b}$$

Групирайте -4\sqrt{5} и 4\sqrt{5}, за да получите 0.

$$-18=a+\sqrt{5b}$$

Разменете страните, така че всички променливи членове да са от лявата страна.

$$a+\sqrt{5b}=-18$$

Извадете a и от двете страни.

$$\sqrt{5b}=-18-a$$

Повдигнете на квадрат и двете страни на уравнението.

$$5b=\left(a+18\right)^{2}$$

Разделете двете страни на 5.

$$\frac{5b}{5}=\frac{\left(a+18\right)^{2}}{5}$$

Делението на 5 отменя умножението по 5.

$$b=\frac{\left(a+18\right)^{2}}{5}$$

Решаване за a

$$a=-\left(\sqrt{5b}+18\right)$$

$$b\geq 0$$