Решете frac{2+sqrt{3}}{2-sqrt{3}}-frac{2-sqrt{3}}{2+sqrt{3}}

$$\frac{ 2+ \sqrt{ 3 } }{ 2- \sqrt{ 3 } } - \frac{ 2- \sqrt{ 3 } }{ 2+ \sqrt{ 3 } }$$

Изчисляване

$$8\sqrt{3}\approx 13,856406461$$

Стъпки на решението

Рационализиране на знаменателя на \frac{2+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}, като се умножи числител и знаменател по 2+\sqrt{3}.

$$\frac{\left(2+\sqrt{3}\right)\left(2+\sqrt{3}\right)}{\left(2-\sqrt{3}\right)\left(2+\sqrt{3}\right)}-\frac{2-\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}$$

Сметнете \left(2-\sqrt{3}\right)\left(2+\sqrt{3}\right). Умножението може да бъде преобразувано в разлика на квадрати с помощта на правилото: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$\frac{\left(2+\sqrt{3}\right)\left(2+\sqrt{3}\right)}{2^{2}-\left(\sqrt{3}\right)^{2}}-\frac{2-\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}$$

Повдигане на квадрат на 2. Повдигане на квадрат на \sqrt{3}.

$$\frac{\left(2+\sqrt{3}\right)\left(2+\sqrt{3}\right)}{4-3}-\frac{2-\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}$$

Извадете 3 от 4, за да получите 1.

$$\frac{\left(2+\sqrt{3}\right)\left(2+\sqrt{3}\right)}{1}-\frac{2-\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}$$

Всяко число, разделено на едно, дава себе си.

$$\left(2+\sqrt{3}\right)\left(2+\sqrt{3}\right)-\frac{2-\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}$$

Умножете 2+\sqrt{3} по 2+\sqrt{3}, за да получите \left(2+\sqrt{3}\right)^{2}.

$$\left(2+\sqrt{3}\right)^{2}-\frac{2-\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}$$

Рационализиране на знаменателя на \frac{2-\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}, като се умножи числител и знаменател по 2-\sqrt{3}.

$$\left(2+\sqrt{3}\right)^{2}-\frac{\left(2-\sqrt{3}\right)\left(2-\sqrt{3}\right)}{\left(2+\sqrt{3}\right)\left(2-\sqrt{3}\right)}$$

Сметнете \left(2+\sqrt{3}\right)\left(2-\sqrt{3}\right). Умножението може да бъде преобразувано в разлика на квадрати с помощта на правилото: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$\left(2+\sqrt{3}\right)^{2}-\frac{\left(2-\sqrt{3}\right)\left(2-\sqrt{3}\right)}{2^{2}-\left(\sqrt{3}\right)^{2}}$$

Повдигане на квадрат на 2. Повдигане на квадрат на \sqrt{3}.

$$\left(2+\sqrt{3}\right)^{2}-\frac{\left(2-\sqrt{3}\right)\left(2-\sqrt{3}\right)}{4-3}$$

Извадете 3 от 4, за да получите 1.

$$\left(2+\sqrt{3}\right)^{2}-\frac{\left(2-\sqrt{3}\right)\left(2-\sqrt{3}\right)}{1}$$

Всяко число, разделено на едно, дава себе си.

$$\left(2+\sqrt{3}\right)^{2}-\left(2-\sqrt{3}\right)\left(2-\sqrt{3}\right)$$

Умножете 2-\sqrt{3} по 2-\sqrt{3}, за да получите \left(2-\sqrt{3}\right)^{2}.

$$\left(2+\sqrt{3}\right)^{2}-\left(2-\sqrt{3}\right)^{2}$$

Използвайте Нютоновия бином \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}, за да разложите \left(2+\sqrt{3}\right)^{2}.

$$4+4\sqrt{3}+\left(\sqrt{3}\right)^{2}-\left(2-\sqrt{3}\right)^{2}$$

Квадратът на \sqrt{3} е 3.

$$4+4\sqrt{3}+3-\left(2-\sqrt{3}\right)^{2}$$

Съберете 4 и 3, за да се получи 7.

$$7+4\sqrt{3}-\left(2-\sqrt{3}\right)^{2}$$

Използвайте Нютоновия бином \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}, за да разложите \left(2-\sqrt{3}\right)^{2}.

$$7+4\sqrt{3}-\left(4-4\sqrt{3}+\left(\sqrt{3}\right)^{2}\right)$$

Квадратът на \sqrt{3} е 3.

$$7+4\sqrt{3}-\left(4-4\sqrt{3}+3\right)$$

Съберете 4 и 3, за да се получи 7.

$$7+4\sqrt{3}-\left(7-4\sqrt{3}\right)$$

За да намерите противоположната стойност на 7-4\sqrt{3}, намерете противоположната стойност на всеки член.

$$7+4\sqrt{3}-7-\left(-4\sqrt{3}\right)$$

Противоположното на -4\sqrt{3} е 4\sqrt{3}.

$$7+4\sqrt{3}-7+4\sqrt{3}$$

Извадете 7 от 7, за да получите 0.

$$4\sqrt{3}+4\sqrt{3}$$

Групирайте 4\sqrt{3} и 4\sqrt{3}, за да получите 8\sqrt{3}.

$$8\sqrt{3}$$