Решете 2/x-3+3/x-2=3

$$\frac{ 2 }{ x-3 } + \frac{ 3 }{ x-2 } =3$$

Решаване за x

$$x = \frac{\sqrt{7} + 10}{3} \approx 4,215250437$$

$$x = \frac{10 - \sqrt{7}}{3} \approx 2,45141623$$

Стъпки с използване на формулата за квадратно уравнение

Променливата x не може да бъде равна на никоя от стойностите 2,3, тъй като делението на нула не е дефинирано. Умножете и двете страни на уравнението с \left(x-3\right)\left(x-2\right) – най-малкия общ множител на x-3,x-2.

$$\left(x-2\right)\times 2+\left(x-3\right)\times 3=3\left(x-3\right)\left(x-2\right)$$

Използвайте дистрибутивното свойство, за да умножите x-2 по 2.

$$2x-4+\left(x-3\right)\times 3=3\left(x-3\right)\left(x-2\right)$$

Използвайте дистрибутивното свойство, за да умножите x-3 по 3.

$$2x-4+3x-9=3\left(x-3\right)\left(x-2\right)$$

Групирайте 2x и 3x, за да получите 5x.

$$5x-4-9=3\left(x-3\right)\left(x-2\right)$$

Извадете 9 от -4, за да получите -13.

$$5x-13=3\left(x-3\right)\left(x-2\right)$$

Използвайте дистрибутивното свойство, за да умножите 3 по x-3.

$$5x-13=\left(3x-9\right)\left(x-2\right)$$

Използвайте дистрибутивното свойство, за да умножите 3x-9 по x-2 и да групирате подобните членове.

$$5x-13=3x^{2}-15x+18$$

Извадете 3x^{2} и от двете страни.

$$5x-13-3x^{2}=-15x+18$$

Добавете 15x от двете страни.

$$5x-13-3x^{2}+15x=18$$

Групирайте 5x и 15x, за да получите 20x.

$$20x-13-3x^{2}=18$$

Извадете 18 и от двете страни.

$$20x-13-3x^{2}-18=0$$

Извадете 18 от -13, за да получите -31.

$$20x-31-3x^{2}=0$$

Всички формули във форма ax^{2}+bx+c=0 може да се решат чрез използване на формулата за корени на квадратното уравнение: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Формулата за корени на квадратното уравнение дава две решения, когато ± е събиране, и едно, когато е изваждане.

$$-3x^{2}+20x-31=0$$

Това уравнение е в стандартна форма: ax^{2}+bx+c=0. Заместете -3 вместо a, 20 вместо b и -31 вместо c във формулата на квадратното уравнение, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-20±\sqrt{20^{2}-4\left(-3\right)\left(-31\right)}}{2\left(-3\right)}$$

Повдигане на квадрат на 20.

$$x=\frac{-20±\sqrt{400-4\left(-3\right)\left(-31\right)}}{2\left(-3\right)}$$

Умножете -4 по -3.

$$x=\frac{-20±\sqrt{400+12\left(-31\right)}}{2\left(-3\right)}$$

Умножете 12 по -31.

$$x=\frac{-20±\sqrt{400-372}}{2\left(-3\right)}$$

Съберете 400 с -372.

$$x=\frac{-20±\sqrt{28}}{2\left(-3\right)}$$

Получете корен квадратен от 28.

$$x=\frac{-20±2\sqrt{7}}{2\left(-3\right)}$$

Умножете 2 по -3.

$$x=\frac{-20±2\sqrt{7}}{-6}$$

Сега решете уравнението x=\frac{-20±2\sqrt{7}}{-6}, когато ± е плюс. Съберете -20 с 2\sqrt{7}.

$$x=\frac{2\sqrt{7}-20}{-6}$$

Разделете -20+2\sqrt{7} на -6.

$$x=\frac{10-\sqrt{7}}{3}$$

Сега решете уравнението x=\frac{-20±2\sqrt{7}}{-6}, когато ± е минус. Извадете 2\sqrt{7} от -20.

$$x=\frac{-2\sqrt{7}-20}{-6}$$

Разделете -20-2\sqrt{7} на -6.

$$x=\frac{\sqrt{7}+10}{3}$$

Уравнението сега е решено.

$$x=\frac{10-\sqrt{7}}{3} x=\frac{\sqrt{7}+10}{3}$$

Стъпки за допълване до пълен квадрат

Променливата x не може да бъде равна на никоя от стойностите 2,3, тъй като делението на нула не е дефинирано. Умножете и двете страни на уравнението с \left(x-3\right)\left(x-2\right) – най-малкия общ множител на x-3,x-2.

$$\left(x-2\right)\times 2+\left(x-3\right)\times 3=3\left(x-3\right)\left(x-2\right)$$

Използвайте дистрибутивното свойство, за да умножите x-2 по 2.

$$2x-4+\left(x-3\right)\times 3=3\left(x-3\right)\left(x-2\right)$$

Използвайте дистрибутивното свойство, за да умножите x-3 по 3.

$$2x-4+3x-9=3\left(x-3\right)\left(x-2\right)$$

Групирайте 2x и 3x, за да получите 5x.

$$5x-4-9=3\left(x-3\right)\left(x-2\right)$$

Извадете 9 от -4, за да получите -13.

$$5x-13=3\left(x-3\right)\left(x-2\right)$$

Използвайте дистрибутивното свойство, за да умножите 3 по x-3.

$$5x-13=\left(3x-9\right)\left(x-2\right)$$

Използвайте дистрибутивното свойство, за да умножите 3x-9 по x-2 и да групирате подобните членове.

$$5x-13=3x^{2}-15x+18$$

Извадете 3x^{2} и от двете страни.

$$5x-13-3x^{2}=-15x+18$$

Добавете 15x от двете страни.

$$5x-13-3x^{2}+15x=18$$

Групирайте 5x и 15x, за да получите 20x.

$$20x-13-3x^{2}=18$$

Добавете 13 от двете страни.

$$20x-3x^{2}=18+13$$

Съберете 18 и 13, за да се получи 31.

$$20x-3x^{2}=31$$

Квадратни уравнения като това могат да бъде решени чрез допълване до пълен квадрат. За да допълните до пълен квадрат, уравнението трябва първо да бъде във форма x^{2}+bx=c.

$$-3x^{2}+20x=31$$

Разделете двете страни на -3.

$$\frac{-3x^{2}+20x}{-3}=\frac{31}{-3}$$

Делението на -3 отменя умножението по -3.

$$x^{2}+\frac{20}{-3}x=\frac{31}{-3}$$

Разделете 20 на -3.

$$x^{2}-\frac{20}{3}x=\frac{31}{-3}$$

Разделете 31 на -3.

$$x^{2}-\frac{20}{3}x=-\frac{31}{3}$$

Разделете -\frac{20}{3} – коефициента на члена на x – на 2, за да получите -\frac{10}{3}. След това съберете квадрата на -\frac{10}{3} с двете страни на уравнението. С тази стъпка лявата страна на уравнението става точен квадрат.

$$x^{2}-\frac{20}{3}x+\left(-\frac{10}{3}\right)^{2}=-\frac{31}{3}+\left(-\frac{10}{3}\right)^{2}$$

Повдигнете на квадрат -\frac{10}{3}, като повдигнете на квадрат и числителя, и знаменателя на дробта.

$$x^{2}-\frac{20}{3}x+\frac{100}{9}=-\frac{31}{3}+\frac{100}{9}$$

Съберете -\frac{31}{3} и \frac{100}{9}, като намерите общ знаменател и съберете числителите. След това съкращавате дробта до най-прости членове, ако е възможно.

$$x^{2}-\frac{20}{3}x+\frac{100}{9}=\frac{7}{9}$$

Разложете на множител x^{2}-\frac{20}{3}x+\frac{100}{9}. Като цяло, когато x^{2}+bx+c е точен квадрат, той винаги може да бъде разложен на множител като \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{10}{3}\right)^{2}=\frac{7}{9}$$

Получете корен квадратен от двете страни на равенството.

$$\sqrt{\left(x-\frac{10}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{7}{9}}$$

Опростявайте.

$$x-\frac{10}{3}=\frac{\sqrt{7}}{3} x-\frac{10}{3}=-\frac{\sqrt{7}}{3}$$

Съберете \frac{10}{3} към двете страни на уравнението.

$$x=\frac{\sqrt{7}+10}{3} x=\frac{10-\sqrt{7}}{3}$$