Решете 1/x-3+18/x^2-9=x/x+3

$$\frac{ 1 }{ x-3 } + \frac{ 18 }{ { x }^{ 2 } -9 } = \frac{ x }{ x+3 }$$

Решаване за x

$$x=7$$

Стъпки с разлагане на множители чрез групиране

Променливата x не може да бъде равна на никоя от стойностите -3,3, тъй като делението на нула не е дефинирано. Умножете и двете страни на уравнението с \left(x-3\right)\left(x+3\right) – най-малкия общ множител на x-3,x^{2}-9,x+3.

$$x+3+18=\left(x-3\right)x$$

Съберете 3 и 18, за да се получи 21.

$$x+21=\left(x-3\right)x$$

Използвайте дистрибутивното свойство, за да умножите x-3 по x.

$$x+21=x^{2}-3x$$

Извадете x^{2} и от двете страни.

$$x+21-x^{2}=-3x$$

Добавете 3x от двете страни.

$$x+21-x^{2}+3x=0$$

Групирайте x и 3x, за да получите 4x.

$$4x+21-x^{2}=0$$

Преобразувайте полинома в стандартна форма. Поставете членовете в ред от най-висока до най-ниска степен.

$$-x^{2}+4x+21=0$$

За да се реши уравнението, коефициентът е от лявата страна по групи. Първо, лявата страна трябва да бъде пренаписана като -x^{2}+ax+bx+21. За да намерите a и b, настройте система, която да бъде решена.

$$a+b=4 ab=-21=-21$$

Тъй като ab е отрицателен, a и b имат противоположни знаци. Тъй като a+b е положително, положителното число има по-голяма абсолютна стойност от отрицателното. Изброяване на всички тези целочислени двойки, които придават -21 на продукта.

$$-1,21 -3,7$$

Изчислете сумата за всяка двойка.

$$-1+21=20 -3+7=4$$

Решението е двойката, която дава сума 4.

$$a=7 b=-3$$

Напишете -x^{2}+4x+21 като \left(-x^{2}+7x\right)+\left(-3x+21\right).

$$\left(-x^{2}+7x\right)+\left(-3x+21\right)$$

Фактор, -x в първата и -3 във втората група.

$$-x\left(x-7\right)-3\left(x-7\right)$$

Разложете на множители общия член x-7, като използвате разпределителното свойство.

$$\left(x-7\right)\left(-x-3\right)$$

За да намерите решения за уравнение, решете x-7=0 и -x-3=0.

$$x=7 x=-3$$

Променливата x не може да бъде равна на -3.

$$x=7$$

Стъпки с използване на формулата за квадратно уравнение

Променливата x не може да бъде равна на никоя от стойностите -3,3, тъй като делението на нула не е дефинирано. Умножете и двете страни на уравнението с \left(x-3\right)\left(x+3\right) – най-малкия общ множител на x-3,x^{2}-9,x+3.

$$x+3+18=\left(x-3\right)x$$

Съберете 3 и 18, за да се получи 21.

$$x+21=\left(x-3\right)x$$

Използвайте дистрибутивното свойство, за да умножите x-3 по x.

$$x+21=x^{2}-3x$$

Извадете x^{2} и от двете страни.

$$x+21-x^{2}=-3x$$

Добавете 3x от двете страни.

$$x+21-x^{2}+3x=0$$

Групирайте x и 3x, за да получите 4x.

$$4x+21-x^{2}=0$$

Всички формули във форма ax^{2}+bx+c=0 може да се решат чрез използване на формулата за корени на квадратното уравнение: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Формулата за корени на квадратното уравнение дава две решения, когато ± е събиране, и едно, когато е изваждане.

$$-x^{2}+4x+21=0$$

Това уравнение е в стандартна форма: ax^{2}+bx+c=0. Заместете -1 вместо a, 4 вместо b и 21 вместо c във формулата на квадратното уравнение, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-4±\sqrt{4^{2}-4\left(-1\right)\times 21}}{2\left(-1\right)}$$

Повдигане на квадрат на 4.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-4\left(-1\right)\times 21}}{2\left(-1\right)}$$

Умножете -4 по -1.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16+4\times 21}}{2\left(-1\right)}$$

Умножете 4 по 21.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16+84}}{2\left(-1\right)}$$

Съберете 16 с 84.

$$x=\frac{-4±\sqrt{100}}{2\left(-1\right)}$$

Получете корен квадратен от 100.

$$x=\frac{-4±10}{2\left(-1\right)}$$

Умножете 2 по -1.

$$x=\frac{-4±10}{-2}$$

Сега решете уравнението x=\frac{-4±10}{-2}, когато ± е плюс. Съберете -4 с 10.

$$x=\frac{6}{-2}$$

Разделете 6 на -2.

$$x=-3$$

Сега решете уравнението x=\frac{-4±10}{-2}, когато ± е минус. Извадете 10 от -4.

$$x=-\frac{14}{-2}$$

Разделете -14 на -2.

$$x=7$$

Уравнението сега е решено.

$$x=-3 x=7$$

Променливата x не може да бъде равна на -3.

$$x=7$$

Стъпки за допълване до пълен квадрат

Променливата x не може да бъде равна на никоя от стойностите -3,3, тъй като делението на нула не е дефинирано. Умножете и двете страни на уравнението с \left(x-3\right)\left(x+3\right) – най-малкия общ множител на x-3,x^{2}-9,x+3.

$$x+3+18=\left(x-3\right)x$$

Съберете 3 и 18, за да се получи 21.

$$x+21=\left(x-3\right)x$$

Използвайте дистрибутивното свойство, за да умножите x-3 по x.

$$x+21=x^{2}-3x$$

Извадете x^{2} и от двете страни.

$$x+21-x^{2}=-3x$$

Добавете 3x от двете страни.

$$x+21-x^{2}+3x=0$$

Групирайте x и 3x, за да получите 4x.

$$4x+21-x^{2}=0$$

Извадете 21 и от двете страни. Нещо, извадено от нула, дава отрицателната му стойност.

$$4x-x^{2}=-21$$

Квадратни уравнения като това могат да бъде решени чрез допълване до пълен квадрат. За да допълните до пълен квадрат, уравнението трябва първо да бъде във форма x^{2}+bx=c.

$$-x^{2}+4x=-21$$

Разделете двете страни на -1.

$$\frac{-x^{2}+4x}{-1}=-\frac{21}{-1}$$

Делението на -1 отменя умножението по -1.

$$x^{2}+\frac{4}{-1}x=-\frac{21}{-1}$$

Разделете 4 на -1.

$$x^{2}-4x=-\frac{21}{-1}$$

Разделете -21 на -1.

$$x^{2}-4x=21$$

Разделете -4 – коефициента на члена на x – на 2, за да получите -2. След това съберете квадрата на -2 с двете страни на уравнението. С тази стъпка лявата страна на уравнението става точен квадрат.

$$x^{2}-4x+\left(-2\right)^{2}=21+\left(-2\right)^{2}$$

Повдигане на квадрат на -2.

$$x^{2}-4x+4=21+4$$

Съберете 21 с 4.

$$x^{2}-4x+4=25$$

Разложете на множител x^{2}-4x+4. Като цяло, когато x^{2}+bx+c е точен квадрат, той винаги може да бъде разложен на множител като \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-2\right)^{2}=25$$

Получете корен квадратен от двете страни на равенството.

$$\sqrt{\left(x-2\right)^{2}}=\sqrt{25}$$

Опростявайте.

$$x-2=5 x-2=-5$$

Съберете 2 към двете страни на уравнението.

$$x=7 x=-3$$

Променливата x не може да бъде равна на -3.

$$x=7$$