Решете 1/6(4x+5)-2/3(2x+7)=3

$$\frac{ 1 }{ 6 } (4x+5) \frac{ -2 }{ 3 } (2x+7)=3$$

Решаване за x (complex solution)

$$x=\frac{-19+3\sqrt{15}i}{8}\approx -2,375+1,452368755i$$

$$x=\frac{-3\sqrt{15}i-19}{8}\approx -2,375-1,452368755i$$

Стъпки с използване на формулата за квадратно уравнение

Дробта \frac{-2}{3} може да бъде написана като -\frac{2}{3} чрез изваждане на знака минус.

$$\frac{1}{6}\left(4x+5\right)\left(-\frac{2}{3}\right)\left(2x+7\right)=3$$

Умножете \frac{1}{6} по -\frac{2}{3}, за да получите -\frac{1}{9}.

$$-\frac{1}{9}\left(4x+5\right)\left(2x+7\right)=3$$

Използвайте дистрибутивното свойство, за да умножите -\frac{1}{9} по 4x+5.

$$\left(-\frac{4}{9}x-\frac{5}{9}\right)\left(2x+7\right)=3$$

Използвайте дистрибутивното свойство, за да умножите -\frac{4}{9}x-\frac{5}{9} по 2x+7 и да групирате подобните членове.

$$-\frac{8}{9}x^{2}-\frac{38}{9}x-\frac{35}{9}=3$$

Извадете 3 и от двете страни.

$$-\frac{8}{9}x^{2}-\frac{38}{9}x-\frac{35}{9}-3=0$$

Извадете 3 от -\frac{35}{9}, за да получите -\frac{62}{9}.

$$-\frac{8}{9}x^{2}-\frac{38}{9}x-\frac{62}{9}=0$$

Това уравнение е в стандартна форма: ax^{2}+bx+c=0. Заместете -\frac{8}{9} вместо a, -\frac{38}{9} вместо b и -\frac{62}{9} вместо c във формулата на квадратното уравнение, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-\frac{38}{9}\right)±\sqrt{\left(-\frac{38}{9}\right)^{2}-4\left(-\frac{8}{9}\right)\left(-\frac{62}{9}\right)}}{2\left(-\frac{8}{9}\right)}$$

Повдигнете на квадрат -\frac{38}{9}, като повдигнете на квадрат и числителя, и знаменателя на дробта.

$$x=\frac{-\left(-\frac{38}{9}\right)±\sqrt{\frac{1444}{81}-4\left(-\frac{8}{9}\right)\left(-\frac{62}{9}\right)}}{2\left(-\frac{8}{9}\right)}$$

Умножете -4 по -\frac{8}{9}.

$$x=\frac{-\left(-\frac{38}{9}\right)±\sqrt{\frac{1444}{81}+\frac{32}{9}\left(-\frac{62}{9}\right)}}{2\left(-\frac{8}{9}\right)}$$

Умножете \frac{32}{9} по -\frac{62}{9}, като умножавате числител по числител и знаменател по знаменател. След това съкратете дробта до най-малкия възможен брой членове.

$$x=\frac{-\left(-\frac{38}{9}\right)±\sqrt{\frac{1444-1984}{81}}}{2\left(-\frac{8}{9}\right)}$$

Съберете \frac{1444}{81} и -\frac{1984}{81}, като намерите общ знаменател и съберете числителите. След това съкращавате дробта до най-прости членове, ако е възможно.

$$x=\frac{-\left(-\frac{38}{9}\right)±\sqrt{-\frac{20}{3}}}{2\left(-\frac{8}{9}\right)}$$

Получете корен квадратен от -\frac{20}{3}.

$$x=\frac{-\left(-\frac{38}{9}\right)±\frac{2\sqrt{15}i}{3}}{2\left(-\frac{8}{9}\right)}$$

Противоположното на -\frac{38}{9} е \frac{38}{9}.

$$x=\frac{\frac{38}{9}±\frac{2\sqrt{15}i}{3}}{2\left(-\frac{8}{9}\right)}$$

Умножете 2 по -\frac{8}{9}.

$$x=\frac{\frac{38}{9}±\frac{2\sqrt{15}i}{3}}{-\frac{16}{9}}$$

Сега решете уравнението x=\frac{\frac{38}{9}±\frac{2\sqrt{15}i}{3}}{-\frac{16}{9}}, когато ± е плюс. Съберете \frac{38}{9} с \frac{2i\sqrt{15}}{3}.

$$x=\frac{\frac{2\sqrt{15}i}{3}+\frac{38}{9}}{-\frac{16}{9}}$$

Разделете \frac{38}{9}+\frac{2i\sqrt{15}}{3} на -\frac{16}{9} чрез умножаване на \frac{38}{9}+\frac{2i\sqrt{15}}{3} по обратната стойност на -\frac{16}{9}.

$$x=\frac{-3\sqrt{15}i-19}{8}$$

Сега решете уравнението x=\frac{\frac{38}{9}±\frac{2\sqrt{15}i}{3}}{-\frac{16}{9}}, когато ± е минус. Извадете \frac{2i\sqrt{15}}{3} от \frac{38}{9}.

$$x=\frac{-\frac{2\sqrt{15}i}{3}+\frac{38}{9}}{-\frac{16}{9}}$$

Разделете \frac{38}{9}-\frac{2i\sqrt{15}}{3} на -\frac{16}{9} чрез умножаване на \frac{38}{9}-\frac{2i\sqrt{15}}{3} по обратната стойност на -\frac{16}{9}.

$$x=\frac{-19+3\sqrt{15}i}{8}$$

Уравнението сега е решено.

$$x=\frac{-3\sqrt{15}i-19}{8} x=\frac{-19+3\sqrt{15}i}{8}$$

Стъпки за допълване до пълен квадрат

Дробта \frac{-2}{3} може да бъде написана като -\frac{2}{3} чрез изваждане на знака минус.

$$\frac{1}{6}\left(4x+5\right)\left(-\frac{2}{3}\right)\left(2x+7\right)=3$$

Умножете \frac{1}{6} по -\frac{2}{3}, за да получите -\frac{1}{9}.

$$-\frac{1}{9}\left(4x+5\right)\left(2x+7\right)=3$$

Използвайте дистрибутивното свойство, за да умножите -\frac{1}{9} по 4x+5.

$$\left(-\frac{4}{9}x-\frac{5}{9}\right)\left(2x+7\right)=3$$

Използвайте дистрибутивното свойство, за да умножите -\frac{4}{9}x-\frac{5}{9} по 2x+7 и да групирате подобните членове.

$$-\frac{8}{9}x^{2}-\frac{38}{9}x-\frac{35}{9}=3$$

Добавете \frac{35}{9} от двете страни.

$$-\frac{8}{9}x^{2}-\frac{38}{9}x=3+\frac{35}{9}$$

Съберете 3 и \frac{35}{9}, за да се получи \frac{62}{9}.

$$-\frac{8}{9}x^{2}-\frac{38}{9}x=\frac{62}{9}$$

Разделете двете страни на уравнението на -\frac{8}{9}, което е същото като умножаване на двете страни по обратната стойност на дробта.

$$\frac{-\frac{8}{9}x^{2}-\frac{38}{9}x}{-\frac{8}{9}}=\frac{\frac{62}{9}}{-\frac{8}{9}}$$

Делението на -\frac{8}{9} отменя умножението по -\frac{8}{9}.

$$x^{2}+\left(-\frac{\frac{38}{9}}{-\frac{8}{9}}\right)x=\frac{\frac{62}{9}}{-\frac{8}{9}}$$

Разделете -\frac{38}{9} на -\frac{8}{9} чрез умножаване на -\frac{38}{9} по обратната стойност на -\frac{8}{9}.

$$x^{2}+\frac{19}{4}x=\frac{\frac{62}{9}}{-\frac{8}{9}}$$

Разделете \frac{62}{9} на -\frac{8}{9} чрез умножаване на \frac{62}{9} по обратната стойност на -\frac{8}{9}.

$$x^{2}+\frac{19}{4}x=-\frac{31}{4}$$

Разделете \frac{19}{4} – коефициента на члена на x – на 2, за да получите \frac{19}{8}. След това съберете квадрата на \frac{19}{8} с двете страни на уравнението. С тази стъпка лявата страна на уравнението става точен квадрат.

$$x^{2}+\frac{19}{4}x+\left(\frac{19}{8}\right)^{2}=-\frac{31}{4}+\left(\frac{19}{8}\right)^{2}$$

Повдигнете на квадрат \frac{19}{8}, като повдигнете на квадрат и числителя, и знаменателя на дробта.

$$x^{2}+\frac{19}{4}x+\frac{361}{64}=-\frac{31}{4}+\frac{361}{64}$$

Съберете -\frac{31}{4} и \frac{361}{64}, като намерите общ знаменател и съберете числителите. След това съкращавате дробта до най-прости членове, ако е възможно.

$$x^{2}+\frac{19}{4}x+\frac{361}{64}=-\frac{135}{64}$$

Разложете на множител x^{2}+\frac{19}{4}x+\frac{361}{64}. Като цяло, когато x^{2}+bx+c е точен квадрат, той винаги може да бъде разложен на множител като \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{19}{8}\right)^{2}=-\frac{135}{64}$$

Получете корен квадратен от двете страни на равенството.

$$\sqrt{\left(x+\frac{19}{8}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{135}{64}}$$

Опростявайте.

$$x+\frac{19}{8}=\frac{3\sqrt{15}i}{8} x+\frac{19}{8}=-\frac{3\sqrt{15}i}{8}$$

Извадете \frac{19}{8} и от двете страни на уравнението.

$$x=\frac{-19+3\sqrt{15}i}{8} x=\frac{-3\sqrt{15}i-19}{8}$$