Решете frac{1/3+sqrt{3}}{1-1/3*sqrt{3}}

$$\frac{ \frac{ 1 }{ 3 } + \sqrt{ 3 } }{ 1- \frac{ 1 }{ 3 } \times \sqrt{ 3 } }$$

Изчисляване

$$\frac{5\sqrt{3}}{3}+2\approx 4,886751346$$

Стъпки на решението

Рационализиране на знаменателя на \frac{\frac{1}{3}+\sqrt{3}}{1-\frac{1}{3}\sqrt{3}}, като се умножи числител и знаменател по 1+\frac{1}{3}\sqrt{3}.

$$\frac{\left(\frac{1}{3}+\sqrt{3}\right)\left(1+\frac{1}{3}\sqrt{3}\right)}{\left(1-\frac{1}{3}\sqrt{3}\right)\left(1+\frac{1}{3}\sqrt{3}\right)}$$

Сметнете \left(1-\frac{1}{3}\sqrt{3}\right)\left(1+\frac{1}{3}\sqrt{3}\right). Умножението може да бъде преобразувано в разлика на квадрати с помощта на правилото: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$\frac{\left(\frac{1}{3}+\sqrt{3}\right)\left(1+\frac{1}{3}\sqrt{3}\right)}{1^{2}-\left(-\frac{1}{3}\sqrt{3}\right)^{2}}$$

Изчислявате 2 на степен 1 и получавате 1.

$$\frac{\left(\frac{1}{3}+\sqrt{3}\right)\left(1+\frac{1}{3}\sqrt{3}\right)}{1-\left(-\frac{1}{3}\sqrt{3}\right)^{2}}$$

Разложете \left(-\frac{1}{3}\sqrt{3}\right)^{2}.

$$\frac{\left(\frac{1}{3}+\sqrt{3}\right)\left(1+\frac{1}{3}\sqrt{3}\right)}{1-\left(-\frac{1}{3}\right)^{2}\left(\sqrt{3}\right)^{2}}$$

Изчислявате 2 на степен -\frac{1}{3} и получавате \frac{1}{9}.

$$\frac{\left(\frac{1}{3}+\sqrt{3}\right)\left(1+\frac{1}{3}\sqrt{3}\right)}{1-\frac{1}{9}\left(\sqrt{3}\right)^{2}}$$

Квадратът на \sqrt{3} е 3.

$$\frac{\left(\frac{1}{3}+\sqrt{3}\right)\left(1+\frac{1}{3}\sqrt{3}\right)}{1-\frac{1}{9}\times 3}$$

Умножете \frac{1}{9} по 3, за да получите \frac{3}{9}.

$$\frac{\left(\frac{1}{3}+\sqrt{3}\right)\left(1+\frac{1}{3}\sqrt{3}\right)}{1-\frac{3}{9}}$$

Намаляване на дробта \frac{3}{9} до най-малките членове чрез извличане на корен и съкращаване на 3.

$$\frac{\left(\frac{1}{3}+\sqrt{3}\right)\left(1+\frac{1}{3}\sqrt{3}\right)}{1-\frac{1}{3}}$$

Преобразуване на 1 в дроб \frac{3}{3}.

$$\frac{\left(\frac{1}{3}+\sqrt{3}\right)\left(1+\frac{1}{3}\sqrt{3}\right)}{\frac{3}{3}-\frac{1}{3}}$$

Тъй като \frac{3}{3} и \frac{1}{3} имат един и същ знаменател, извадете ги, като извадите техните числители.

$$\frac{\left(\frac{1}{3}+\sqrt{3}\right)\left(1+\frac{1}{3}\sqrt{3}\right)}{\frac{3-1}{3}}$$

Извадете 1 от 3, за да получите 2.

$$\frac{\left(\frac{1}{3}+\sqrt{3}\right)\left(1+\frac{1}{3}\sqrt{3}\right)}{\frac{2}{3}}$$

Разделете \left(\frac{1}{3}+\sqrt{3}\right)\left(1+\frac{1}{3}\sqrt{3}\right) на \frac{2}{3} чрез умножаване на \left(\frac{1}{3}+\sqrt{3}\right)\left(1+\frac{1}{3}\sqrt{3}\right) по обратната стойност на \frac{2}{3}.

$$\frac{\left(\frac{1}{3}+\sqrt{3}\right)\left(1+\frac{1}{3}\sqrt{3}\right)\times 3}{2}$$

Приложете разпределителното свойство, като умножите всеки член на \frac{1}{3}+\sqrt{3} по всеки член на 1+\frac{1}{3}\sqrt{3}.

$$\frac{\left(\frac{1}{3}+\frac{1}{3}\times \frac{1}{3}\sqrt{3}+\sqrt{3}+\sqrt{3}\times \frac{1}{3}\sqrt{3}\right)\times 3}{2}$$

Умножете \sqrt{3} по \sqrt{3}, за да получите 3.

$$\frac{\left(\frac{1}{3}+\frac{1}{3}\times \frac{1}{3}\sqrt{3}+\sqrt{3}+3\times \frac{1}{3}\right)\times 3}{2}$$

Умножете \frac{1}{3} по \frac{1}{3}, като умножавате числител по числител и знаменател по знаменател.

$$\frac{\left(\frac{1}{3}+\frac{1\times 1}{3\times 3}\sqrt{3}+\sqrt{3}+3\times \frac{1}{3}\right)\times 3}{2}$$

Извършете умноженията в дробта \frac{1\times 1}{3\times 3}.

$$\frac{\left(\frac{1}{3}+\frac{1}{9}\sqrt{3}+\sqrt{3}+3\times \frac{1}{3}\right)\times 3}{2}$$

Групирайте \frac{1}{9}\sqrt{3} и \sqrt{3}, за да получите \frac{10}{9}\sqrt{3}.

$$\frac{\left(\frac{1}{3}+\frac{10}{9}\sqrt{3}+3\times \frac{1}{3}\right)\times 3}{2}$$

Съкращаване на 3 и 3.

$$\frac{\left(\frac{1}{3}+\frac{10}{9}\sqrt{3}+1\right)\times 3}{2}$$

Преобразуване на 1 в дроб \frac{3}{3}.

$$\frac{\left(\frac{1}{3}+\frac{10}{9}\sqrt{3}+\frac{3}{3}\right)\times 3}{2}$$

Тъй като \frac{1}{3} и \frac{3}{3} имат един и същ знаменател, съберете ги, като съберете техните числители.

$$\frac{\left(\frac{1+3}{3}+\frac{10}{9}\sqrt{3}\right)\times 3}{2}$$

Съберете 1 и 3, за да се получи 4.

$$\frac{\left(\frac{4}{3}+\frac{10}{9}\sqrt{3}\right)\times 3}{2}$$

Използвайте дистрибутивното свойство, за да умножите \frac{4}{3}+\frac{10}{9}\sqrt{3} по 3.

$$\frac{\frac{4}{3}\times 3+\frac{10}{9}\sqrt{3}\times 3}{2}$$

Съкращаване на 3 и 3.

$$\frac{4+\frac{10}{9}\sqrt{3}\times 3}{2}$$

Изразете \frac{10}{9}\times 3 като една дроб.

$$\frac{4+\frac{10\times 3}{9}\sqrt{3}}{2}$$

Умножете 10 по 3, за да получите 30.

$$\frac{4+\frac{30}{9}\sqrt{3}}{2}$$

Намаляване на дробта \frac{30}{9} до най-малките членове чрез извличане на корен и съкращаване на 3.

$$\frac{4+\frac{10}{3}\sqrt{3}}{2}$$

Разлагане на множители

$$\frac{5 \sqrt{3} + 6}{3} = 4,886751345948128$$