Решете x-2/x^2-x-6=3/2x+4-x/4-x^2

$$\frac { x - 2 } { x ^ { 2 } - x - 6 } = \frac { 3 } { 2 x + 4 } - \frac { x } { 4 - x ^ { 2 } }$$

Решаване за x

$$x=1$$

$$x = \frac{10}{3} = 3\frac{1}{3} \approx 3,333333333$$

Стъпки с разлагане на множители чрез групиране

Променливата x не може да бъде равна на никоя от стойностите -2,2,3, тъй като делението на нула не е дефинирано. Умножете и двете страни на уравнението с 2\left(x-3\right)\left(x-2\right)\left(x+2\right) – най-малкия общ множител на x^{2}-x-6,2x+4,4-x^{2}.

$$\left(2x-4\right)\left(x-2\right)=\left(x-3\right)\left(x-2\right)\times 3-\left(6-2x\right)x$$

Използвайте дистрибутивното свойство, за да умножите 2x-4 по x-2 и да групирате подобните членове.

$$2x^{2}-8x+8=\left(x-3\right)\left(x-2\right)\times 3-\left(6-2x\right)x$$

Използвайте дистрибутивното свойство, за да умножите x-3 по x-2 и да групирате подобните членове.

$$2x^{2}-8x+8=\left(x^{2}-5x+6\right)\times 3-\left(6-2x\right)x$$

Използвайте дистрибутивното свойство, за да умножите x^{2}-5x+6 по 3.

$$2x^{2}-8x+8=3x^{2}-15x+18-\left(6-2x\right)x$$

Използвайте дистрибутивното свойство, за да умножите 6-2x по x.

$$2x^{2}-8x+8=3x^{2}-15x+18-\left(6x-2x^{2}\right)$$

За да намерите противоположната стойност на 6x-2x^{2}, намерете противоположната стойност на всеки член.

$$2x^{2}-8x+8=3x^{2}-15x+18-6x+2x^{2}$$

Групирайте -15x и -6x, за да получите -21x.

$$2x^{2}-8x+8=3x^{2}-21x+18+2x^{2}$$

Групирайте 3x^{2} и 2x^{2}, за да получите 5x^{2}.

$$2x^{2}-8x+8=5x^{2}-21x+18$$

Извадете 5x^{2} и от двете страни.

$$2x^{2}-8x+8-5x^{2}=-21x+18$$

Групирайте 2x^{2} и -5x^{2}, за да получите -3x^{2}.

$$-3x^{2}-8x+8=-21x+18$$

Добавете 21x от двете страни.

$$-3x^{2}-8x+8+21x=18$$

Групирайте -8x и 21x, за да получите 13x.

$$-3x^{2}+13x+8=18$$

Извадете 18 и от двете страни.

$$-3x^{2}+13x+8-18=0$$

Извадете 18 от 8, за да получите -10.

$$-3x^{2}+13x-10=0$$

За да се реши уравнението, коефициентът е от лявата страна по групи. Първо, лявата страна трябва да бъде пренаписана като -3x^{2}+ax+bx-10. За да намерите a и b, настройте система, която да бъде решена.

$$a+b=13 ab=-3\left(-10\right)=30$$

Тъй като ab е положителна, a и b имат един и същ знак. Тъй като a+b е положителна, a и b са положителни. Изброяване на всички тези целочислени двойки, които придават 30 на продукта.

$$1,30 2,15 3,10 5,6$$

Изчислете сумата за всяка двойка.

$$1+30=31 2+15=17 3+10=13 5+6=11$$

Решението е двойката, която дава сума 13.

$$a=10 b=3$$

Напишете -3x^{2}+13x-10 като \left(-3x^{2}+10x\right)+\left(3x-10\right).

$$\left(-3x^{2}+10x\right)+\left(3x-10\right)$$

Разложете на множители -x в -3x^{2}+10x.

$$-x\left(3x-10\right)+3x-10$$

Разложете на множители общия член 3x-10, като използвате разпределителното свойство.

$$\left(3x-10\right)\left(-x+1\right)$$

За да намерите решения за уравнение, решете 3x-10=0 и -x+1=0.

$$x=\frac{10}{3} x=1$$

Стъпки с използване на формулата за квадратно уравнение

Променливата x не може да бъде равна на никоя от стойностите -2,2,3, тъй като делението на нула не е дефинирано. Умножете и двете страни на уравнението с 2\left(x-3\right)\left(x-2\right)\left(x+2\right) – най-малкия общ множител на x^{2}-x-6,2x+4,4-x^{2}.

$$\left(2x-4\right)\left(x-2\right)=\left(x-3\right)\left(x-2\right)\times 3-\left(6-2x\right)x$$

Използвайте дистрибутивното свойство, за да умножите 2x-4 по x-2 и да групирате подобните членове.

$$2x^{2}-8x+8=\left(x-3\right)\left(x-2\right)\times 3-\left(6-2x\right)x$$

Използвайте дистрибутивното свойство, за да умножите x-3 по x-2 и да групирате подобните членове.

$$2x^{2}-8x+8=\left(x^{2}-5x+6\right)\times 3-\left(6-2x\right)x$$

Използвайте дистрибутивното свойство, за да умножите x^{2}-5x+6 по 3.

$$2x^{2}-8x+8=3x^{2}-15x+18-\left(6-2x\right)x$$

Използвайте дистрибутивното свойство, за да умножите 6-2x по x.

$$2x^{2}-8x+8=3x^{2}-15x+18-\left(6x-2x^{2}\right)$$

За да намерите противоположната стойност на 6x-2x^{2}, намерете противоположната стойност на всеки член.

$$2x^{2}-8x+8=3x^{2}-15x+18-6x+2x^{2}$$

Групирайте -15x и -6x, за да получите -21x.

$$2x^{2}-8x+8=3x^{2}-21x+18+2x^{2}$$

Групирайте 3x^{2} и 2x^{2}, за да получите 5x^{2}.

$$2x^{2}-8x+8=5x^{2}-21x+18$$

Извадете 5x^{2} и от двете страни.

$$2x^{2}-8x+8-5x^{2}=-21x+18$$

Групирайте 2x^{2} и -5x^{2}, за да получите -3x^{2}.

$$-3x^{2}-8x+8=-21x+18$$

Добавете 21x от двете страни.

$$-3x^{2}-8x+8+21x=18$$

Групирайте -8x и 21x, за да получите 13x.

$$-3x^{2}+13x+8=18$$

Извадете 18 и от двете страни.

$$-3x^{2}+13x+8-18=0$$

Извадете 18 от 8, за да получите -10.

$$-3x^{2}+13x-10=0$$

Това уравнение е в стандартна форма: ax^{2}+bx+c=0. Заместете -3 вместо a, 13 вместо b и -10 вместо c във формулата на квадратното уравнение, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-13±\sqrt{13^{2}-4\left(-3\right)\left(-10\right)}}{2\left(-3\right)}$$

Повдигане на квадрат на 13.

$$x=\frac{-13±\sqrt{169-4\left(-3\right)\left(-10\right)}}{2\left(-3\right)}$$

Умножете -4 по -3.

$$x=\frac{-13±\sqrt{169+12\left(-10\right)}}{2\left(-3\right)}$$

Умножете 12 по -10.

$$x=\frac{-13±\sqrt{169-120}}{2\left(-3\right)}$$

Съберете 169 с -120.

$$x=\frac{-13±\sqrt{49}}{2\left(-3\right)}$$

Получете корен квадратен от 49.

$$x=\frac{-13±7}{2\left(-3\right)}$$

Умножете 2 по -3.

$$x=\frac{-13±7}{-6}$$

Сега решете уравнението x=\frac{-13±7}{-6}, когато ± е плюс. Съберете -13 с 7.

$$x=-\frac{6}{-6}$$

Разделете -6 на -6.

$$x=1$$

Сега решете уравнението x=\frac{-13±7}{-6}, когато ± е минус. Извадете 7 от -13.

$$x=-\frac{20}{-6}$$

Намаляване на дробта \frac{-20}{-6} до най-малките членове чрез извличане на корен и съкращаване на 2.

$$x=\frac{10}{3}$$

Уравнението сега е решено.

$$x=1 x=\frac{10}{3}$$

Стъпки за допълване до пълен квадрат

Променливата x не може да бъде равна на никоя от стойностите -2,2,3, тъй като делението на нула не е дефинирано. Умножете и двете страни на уравнението с 2\left(x-3\right)\left(x-2\right)\left(x+2\right) – най-малкия общ множител на x^{2}-x-6,2x+4,4-x^{2}.

$$\left(2x-4\right)\left(x-2\right)=\left(x-3\right)\left(x-2\right)\times 3-\left(6-2x\right)x$$

Използвайте дистрибутивното свойство, за да умножите 2x-4 по x-2 и да групирате подобните членове.

$$2x^{2}-8x+8=\left(x-3\right)\left(x-2\right)\times 3-\left(6-2x\right)x$$

Използвайте дистрибутивното свойство, за да умножите x-3 по x-2 и да групирате подобните членове.

$$2x^{2}-8x+8=\left(x^{2}-5x+6\right)\times 3-\left(6-2x\right)x$$

Използвайте дистрибутивното свойство, за да умножите x^{2}-5x+6 по 3.

$$2x^{2}-8x+8=3x^{2}-15x+18-\left(6-2x\right)x$$

Използвайте дистрибутивното свойство, за да умножите 6-2x по x.

$$2x^{2}-8x+8=3x^{2}-15x+18-\left(6x-2x^{2}\right)$$

За да намерите противоположната стойност на 6x-2x^{2}, намерете противоположната стойност на всеки член.

$$2x^{2}-8x+8=3x^{2}-15x+18-6x+2x^{2}$$

Групирайте -15x и -6x, за да получите -21x.

$$2x^{2}-8x+8=3x^{2}-21x+18+2x^{2}$$

Групирайте 3x^{2} и 2x^{2}, за да получите 5x^{2}.

$$2x^{2}-8x+8=5x^{2}-21x+18$$

Извадете 5x^{2} и от двете страни.

$$2x^{2}-8x+8-5x^{2}=-21x+18$$

Групирайте 2x^{2} и -5x^{2}, за да получите -3x^{2}.

$$-3x^{2}-8x+8=-21x+18$$

Добавете 21x от двете страни.

$$-3x^{2}-8x+8+21x=18$$

Групирайте -8x и 21x, за да получите 13x.

$$-3x^{2}+13x+8=18$$

Извадете 8 и от двете страни.

$$-3x^{2}+13x=18-8$$

Извадете 8 от 18, за да получите 10.

$$-3x^{2}+13x=10$$

Разделете двете страни на -3.

$$\frac{-3x^{2}+13x}{-3}=\frac{10}{-3}$$

Делението на -3 отменя умножението по -3.

$$x^{2}+\frac{13}{-3}x=\frac{10}{-3}$$

Разделете 13 на -3.

$$x^{2}-\frac{13}{3}x=\frac{10}{-3}$$

Разделете 10 на -3.

$$x^{2}-\frac{13}{3}x=-\frac{10}{3}$$

Разделете -\frac{13}{3} – коефициента на члена на x – на 2, за да получите -\frac{13}{6}. След това съберете квадрата на -\frac{13}{6} с двете страни на уравнението. С тази стъпка лявата страна на уравнението става точен квадрат.

$$x^{2}-\frac{13}{3}x+\left(-\frac{13}{6}\right)^{2}=-\frac{10}{3}+\left(-\frac{13}{6}\right)^{2}$$

Повдигнете на квадрат -\frac{13}{6}, като повдигнете на квадрат и числителя, и знаменателя на дробта.

$$x^{2}-\frac{13}{3}x+\frac{169}{36}=-\frac{10}{3}+\frac{169}{36}$$

Съберете -\frac{10}{3} и \frac{169}{36}, като намерите общ знаменател и съберете числителите. След това съкращавате дробта до най-прости членове, ако е възможно.

$$x^{2}-\frac{13}{3}x+\frac{169}{36}=\frac{49}{36}$$

Разложете на множител x^{2}-\frac{13}{3}x+\frac{169}{36}. Като цяло, когато x^{2}+bx+c е точен квадрат, той винаги може да бъде разложен на множител като \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{13}{6}\right)^{2}=\frac{49}{36}$$

Получете корен квадратен от двете страни на равенството.

$$\sqrt{\left(x-\frac{13}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{36}}$$

Опростявайте.

$$x-\frac{13}{6}=\frac{7}{6} x-\frac{13}{6}=-\frac{7}{6}$$

Съберете \frac{13}{6} към двете страни на уравнението.

$$x=\frac{10}{3} x=1$$