Решете x/x-1=3x+1/x-1

$$\frac { x } { x - 1 } = 3 x + \frac { 1 } { x - 1 }$$

Решаване за x

$$x=\frac{1}{3}\approx 0,333333333$$

Стъпки с използване на формулата за квадратно уравнение

Променливата x не може да бъде равна на 1, тъй като делението на нула не е дефинирано. Умножете и двете страни на уравнението по x-1.

$$x=3x\left(x-1\right)+1$$

Използвайте дистрибутивното свойство, за да умножите 3x по x-1.

$$x=3x^{2}-3x+1$$

Извадете 3x^{2} и от двете страни.

$$x-3x^{2}=-3x+1$$

Добавете 3x от двете страни.

$$x-3x^{2}+3x=1$$

Групирайте x и 3x, за да получите 4x.

$$4x-3x^{2}=1$$

Извадете 1 и от двете страни.

$$4x-3x^{2}-1=0$$

Всички формули във форма ax^{2}+bx+c=0 може да се решат чрез използване на формулата за корени на квадратното уравнение: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Формулата за корени на квадратното уравнение дава две решения, когато ± е събиране, и едно, когато е изваждане.

$$-3x^{2}+4x-1=0$$

Това уравнение е в стандартна форма: ax^{2}+bx+c=0. Заместете -3 вместо a, 4 вместо b и -1 вместо c във формулата на квадратното уравнение, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-4±\sqrt{4^{2}-4\left(-3\right)\left(-1\right)}}{2\left(-3\right)}$$

Повдигане на квадрат на 4.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-4\left(-3\right)\left(-1\right)}}{2\left(-3\right)}$$

Умножете -4 по -3.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16+12\left(-1\right)}}{2\left(-3\right)}$$

Умножете 12 по -1.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-12}}{2\left(-3\right)}$$

Съберете 16 с -12.

$$x=\frac{-4±\sqrt{4}}{2\left(-3\right)}$$

Получете корен квадратен от 4.

$$x=\frac{-4±2}{2\left(-3\right)}$$

Умножете 2 по -3.

$$x=\frac{-4±2}{-6}$$

Сега решете уравнението x=\frac{-4±2}{-6}, когато ± е плюс. Съберете -4 с 2.

$$x=-\frac{2}{-6}$$

Намаляване на дробта \frac{-2}{-6} до най-малките членове чрез извличане на корен и съкращаване на 2.

$$x=\frac{1}{3}$$

Сега решете уравнението x=\frac{-4±2}{-6}, когато ± е минус. Извадете 2 от -4.

$$x=-\frac{6}{-6}$$

Разделете -6 на -6.

$$x=1$$

Уравнението сега е решено.

$$x=\frac{1}{3} x=1$$

Променливата x не може да бъде равна на 1.

$$x=\frac{1}{3}$$

Стъпки за допълване до пълен квадрат

Променливата x не може да бъде равна на 1, тъй като делението на нула не е дефинирано. Умножете и двете страни на уравнението по x-1.

$$x=3x\left(x-1\right)+1$$

Използвайте дистрибутивното свойство, за да умножите 3x по x-1.

$$x=3x^{2}-3x+1$$

Извадете 3x^{2} и от двете страни.

$$x-3x^{2}=-3x+1$$

Добавете 3x от двете страни.

$$x-3x^{2}+3x=1$$

Групирайте x и 3x, за да получите 4x.

$$4x-3x^{2}=1$$

Квадратни уравнения като това могат да бъде решени чрез допълване до пълен квадрат. За да допълните до пълен квадрат, уравнението трябва първо да бъде във форма x^{2}+bx=c.

$$-3x^{2}+4x=1$$

Разделете двете страни на -3.

$$\frac{-3x^{2}+4x}{-3}=\frac{1}{-3}$$

Делението на -3 отменя умножението по -3.

$$x^{2}+\frac{4}{-3}x=\frac{1}{-3}$$

Разделете 4 на -3.

$$x^{2}-\frac{4}{3}x=\frac{1}{-3}$$

Разделете 1 на -3.

$$x^{2}-\frac{4}{3}x=-\frac{1}{3}$$

Разделете -\frac{4}{3} – коефициента на члена на x – на 2, за да получите -\frac{2}{3}. След това съберете квадрата на -\frac{2}{3} с двете страни на уравнението. С тази стъпка лявата страна на уравнението става точен квадрат.

$$x^{2}-\frac{4}{3}x+\left(-\frac{2}{3}\right)^{2}=-\frac{1}{3}+\left(-\frac{2}{3}\right)^{2}$$

Повдигнете на квадрат -\frac{2}{3}, като повдигнете на квадрат и числителя, и знаменателя на дробта.

$$x^{2}-\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}=-\frac{1}{3}+\frac{4}{9}$$

Съберете -\frac{1}{3} и \frac{4}{9}, като намерите общ знаменател и съберете числителите. След това съкращавате дробта до най-прости членове, ако е възможно.

$$x^{2}-\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}=\frac{1}{9}$$

Разложете на множител x^{2}-\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}. Като цяло, когато x^{2}+bx+c е точен квадрат, той винаги може да бъде разложен на множител като \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{2}{3}\right)^{2}=\frac{1}{9}$$

Получете корен квадратен от двете страни на равенството.

$$\sqrt{\left(x-\frac{2}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{9}}$$

Опростявайте.

$$x-\frac{2}{3}=\frac{1}{3} x-\frac{2}{3}=-\frac{1}{3}$$

Съберете \frac{2}{3} към двете страни на уравнението.

$$x=1 x=\frac{1}{3}$$

Променливата x не може да бъде равна на 1.

$$x=\frac{1}{3}$$