Решете x/x+3=6/x-3-27-x^2/9-x^2

$$\frac { x } { x + 3 } = \frac { 6 } { x - 3 } - \frac { 27 - x ^ { 2 } } { 9 - x ^ { 2 } }$$

Решаване за x

$$x = \frac{15}{2} = 7\frac{1}{2} = 7,5$$

Стъпки с разлагане на множители чрез групиране

Променливата x не може да бъде равна на никоя от стойностите -3,3, тъй като делението на нула не е дефинирано. Умножете и двете страни на уравнението с \left(x-3\right)\left(x+3\right) – най-малкия общ множител на x+3,x-3,9-x^{2}.

$$\left(x-3\right)x=\left(x+3\right)\times 6+27-x^{2}$$

Използвайте дистрибутивното свойство, за да умножите x-3 по x.

$$x^{2}-3x=\left(x+3\right)\times 6+27-x^{2}$$

Използвайте дистрибутивното свойство, за да умножите x+3 по 6.

$$x^{2}-3x=6x+18+27-x^{2}$$

Съберете 18 и 27, за да се получи 45.

$$x^{2}-3x=6x+45-x^{2}$$

Извадете 6x и от двете страни.

$$x^{2}-3x-6x=45-x^{2}$$

Групирайте -3x и -6x, за да получите -9x.

$$x^{2}-9x=45-x^{2}$$

Извадете 45 и от двете страни.

$$x^{2}-9x-45=-x^{2}$$

Добавете x^{2} от двете страни.

$$x^{2}-9x-45+x^{2}=0$$

Групирайте x^{2} и x^{2}, за да получите 2x^{2}.

$$2x^{2}-9x-45=0$$

За да се реши уравнението, коефициентът е от лявата страна по групи. Първо, лявата страна трябва да бъде пренаписана като 2x^{2}+ax+bx-45. За да намерите a и b, настройте система, която да бъде решена.

$$a+b=-9 ab=2\left(-45\right)=-90$$

Тъй като ab е отрицателен, a и b имат противоположни знаци. Тъй като a+b е отрицателно, отрицателното число има по-голяма абсолютна стойност от положителното. Изброяване на всички тези целочислени двойки, които придават -90 на продукта.

$$1,-90 2,-45 3,-30 5,-18 6,-15 9,-10$$

Изчислете сумата за всяка двойка.

$$1-90=-89 2-45=-43 3-30=-27 5-18=-13 6-15=-9 9-10=-1$$

Решението е двойката, която дава сума -9.

$$a=-15 b=6$$

Напишете 2x^{2}-9x-45 като \left(2x^{2}-15x\right)+\left(6x-45\right).

$$\left(2x^{2}-15x\right)+\left(6x-45\right)$$

Фактор, x в първата и 3 във втората група.

$$x\left(2x-15\right)+3\left(2x-15\right)$$

Разложете на множители общия член 2x-15, като използвате разпределителното свойство.

$$\left(2x-15\right)\left(x+3\right)$$

За да намерите решения за уравнение, решете 2x-15=0 и x+3=0.

$$x=\frac{15}{2} x=-3$$

Променливата x не може да бъде равна на -3.

$$x=\frac{15}{2}$$

Стъпки с използване на формулата за квадратно уравнение

Променливата x не може да бъде равна на никоя от стойностите -3,3, тъй като делението на нула не е дефинирано. Умножете и двете страни на уравнението с \left(x-3\right)\left(x+3\right) – най-малкия общ множител на x+3,x-3,9-x^{2}.

$$\left(x-3\right)x=\left(x+3\right)\times 6+27-x^{2}$$

Използвайте дистрибутивното свойство, за да умножите x-3 по x.

$$x^{2}-3x=\left(x+3\right)\times 6+27-x^{2}$$

Използвайте дистрибутивното свойство, за да умножите x+3 по 6.

$$x^{2}-3x=6x+18+27-x^{2}$$

Съберете 18 и 27, за да се получи 45.

$$x^{2}-3x=6x+45-x^{2}$$

Извадете 6x и от двете страни.

$$x^{2}-3x-6x=45-x^{2}$$

Групирайте -3x и -6x, за да получите -9x.

$$x^{2}-9x=45-x^{2}$$

Извадете 45 и от двете страни.

$$x^{2}-9x-45=-x^{2}$$

Добавете x^{2} от двете страни.

$$x^{2}-9x-45+x^{2}=0$$

Групирайте x^{2} и x^{2}, за да получите 2x^{2}.

$$2x^{2}-9x-45=0$$

Това уравнение е в стандартна форма: ax^{2}+bx+c=0. Заместете 2 вместо a, -9 вместо b и -45 вместо c във формулата на квадратното уравнение, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{\left(-9\right)^{2}-4\times 2\left(-45\right)}}{2\times 2}$$

Повдигане на квадрат на -9.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81-4\times 2\left(-45\right)}}{2\times 2}$$

Умножете -4 по 2.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81-8\left(-45\right)}}{2\times 2}$$

Умножете -8 по -45.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81+360}}{2\times 2}$$

Съберете 81 с 360.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{441}}{2\times 2}$$

Получете корен квадратен от 441.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±21}{2\times 2}$$

Противоположното на -9 е 9.

$$x=\frac{9±21}{2\times 2}$$

Умножете 2 по 2.

$$x=\frac{9±21}{4}$$

Сега решете уравнението x=\frac{9±21}{4}, когато ± е плюс. Съберете 9 с 21.

$$x=\frac{30}{4}$$

Намаляване на дробта \frac{30}{4} до най-малките членове чрез извличане на корен и съкращаване на 2.

$$x=\frac{15}{2}$$

Сега решете уравнението x=\frac{9±21}{4}, когато ± е минус. Извадете 21 от 9.

$$x=-\frac{12}{4}$$

Разделете -12 на 4.

$$x=-3$$

Уравнението сега е решено.

$$x=\frac{15}{2} x=-3$$

Променливата x не може да бъде равна на -3.

$$x=\frac{15}{2}$$

Стъпки за допълване до пълен квадрат

Променливата x не може да бъде равна на никоя от стойностите -3,3, тъй като делението на нула не е дефинирано. Умножете и двете страни на уравнението с \left(x-3\right)\left(x+3\right) – най-малкия общ множител на x+3,x-3,9-x^{2}.

$$\left(x-3\right)x=\left(x+3\right)\times 6+27-x^{2}$$

Използвайте дистрибутивното свойство, за да умножите x-3 по x.

$$x^{2}-3x=\left(x+3\right)\times 6+27-x^{2}$$

Използвайте дистрибутивното свойство, за да умножите x+3 по 6.

$$x^{2}-3x=6x+18+27-x^{2}$$

Съберете 18 и 27, за да се получи 45.

$$x^{2}-3x=6x+45-x^{2}$$

Извадете 6x и от двете страни.

$$x^{2}-3x-6x=45-x^{2}$$

Групирайте -3x и -6x, за да получите -9x.

$$x^{2}-9x=45-x^{2}$$

Добавете x^{2} от двете страни.

$$x^{2}-9x+x^{2}=45$$

Групирайте x^{2} и x^{2}, за да получите 2x^{2}.

$$2x^{2}-9x=45$$

Разделете двете страни на 2.

$$\frac{2x^{2}-9x}{2}=\frac{45}{2}$$

Делението на 2 отменя умножението по 2.

$$x^{2}-\frac{9}{2}x=\frac{45}{2}$$

Разделете -\frac{9}{2} – коефициента на члена на x – на 2, за да получите -\frac{9}{4}. След това съберете квадрата на -\frac{9}{4} с двете страни на уравнението. С тази стъпка лявата страна на уравнението става точен квадрат.

$$x^{2}-\frac{9}{2}x+\left(-\frac{9}{4}\right)^{2}=\frac{45}{2}+\left(-\frac{9}{4}\right)^{2}$$

Повдигнете на квадрат -\frac{9}{4}, като повдигнете на квадрат и числителя, и знаменателя на дробта.

$$x^{2}-\frac{9}{2}x+\frac{81}{16}=\frac{45}{2}+\frac{81}{16}$$

Съберете \frac{45}{2} и \frac{81}{16}, като намерите общ знаменател и съберете числителите. След това съкращавате дробта до най-прости членове, ако е възможно.

$$x^{2}-\frac{9}{2}x+\frac{81}{16}=\frac{441}{16}$$

Разложете на множител x^{2}-\frac{9}{2}x+\frac{81}{16}. Като цяло, когато x^{2}+bx+c е точен квадрат, той винаги може да бъде разложен на множител като \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{9}{4}\right)^{2}=\frac{441}{16}$$

Получете корен квадратен от двете страни на равенството.

$$\sqrt{\left(x-\frac{9}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{441}{16}}$$

Опростявайте.

$$x-\frac{9}{4}=\frac{21}{4} x-\frac{9}{4}=-\frac{21}{4}$$

Съберете \frac{9}{4} към двете страни на уравнението.

$$x=\frac{15}{2} x=-3$$

Променливата x не може да бъде равна на -3.

$$x=\frac{15}{2}$$