Решете x/x+1+x+1/x=13/6

$$\frac { x } { x + 1 } + \frac { x + 1 } { x } = \frac { 13 } { 6 }$$

Решаване за x

$$x=-3$$

$$x=2$$

Стъпки с разлагане на множители чрез групиране

Променливата x не може да бъде равна на никоя от стойностите -1,0, тъй като делението на нула не е дефинирано. Умножете и двете страни на уравнението с 6x\left(x+1\right) – най-малкия общ множител на x+1,x,6.

$$6xx+\left(6x+6\right)\left(x+1\right)=13x\left(x+1\right)$$

Умножете x по x, за да получите x^{2}.

$$6x^{2}+\left(6x+6\right)\left(x+1\right)=13x\left(x+1\right)$$

Използвайте дистрибутивното свойство, за да умножите 6x+6 по x+1 и да групирате подобните членове.

$$6x^{2}+6x^{2}+12x+6=13x\left(x+1\right)$$

Групирайте 6x^{2} и 6x^{2}, за да получите 12x^{2}.

$$12x^{2}+12x+6=13x\left(x+1\right)$$

Използвайте дистрибутивното свойство, за да умножите 13x по x+1.

$$12x^{2}+12x+6=13x^{2}+13x$$

Извадете 13x^{2} и от двете страни.

$$12x^{2}+12x+6-13x^{2}=13x$$

Групирайте 12x^{2} и -13x^{2}, за да получите -x^{2}.

$$-x^{2}+12x+6=13x$$

Извадете 13x и от двете страни.

$$-x^{2}+12x+6-13x=0$$

Групирайте 12x и -13x, за да получите -x.

$$-x^{2}-x+6=0$$

За да се реши уравнението, коефициентът е от лявата страна по групи. Първо, лявата страна трябва да бъде пренаписана като -x^{2}+ax+bx+6. За да намерите a и b, настройте система, която да бъде решена.

$$a+b=-1 ab=-6=-6$$

Тъй като ab е отрицателен, a и b имат противоположни знаци. Тъй като a+b е отрицателно, отрицателното число има по-голяма абсолютна стойност от положителното. Изброяване на всички тези целочислени двойки, които придават -6 на продукта.

$$1,-6 2,-3$$

Изчислете сумата за всяка двойка.

$$1-6=-5 2-3=-1$$

Решението е двойката, която дава сума -1.

$$a=2 b=-3$$

Напишете -x^{2}-x+6 като \left(-x^{2}+2x\right)+\left(-3x+6\right).

$$\left(-x^{2}+2x\right)+\left(-3x+6\right)$$

Фактор, x в първата и 3 във втората група.

$$x\left(-x+2\right)+3\left(-x+2\right)$$

Разложете на множители общия член -x+2, като използвате разпределителното свойство.

$$\left(-x+2\right)\left(x+3\right)$$

За да намерите решения за уравнение, решете -x+2=0 и x+3=0.

$$x=2 x=-3$$

Стъпки с използване на формулата за квадратно уравнение

Променливата x не може да бъде равна на никоя от стойностите -1,0, тъй като делението на нула не е дефинирано. Умножете и двете страни на уравнението с 6x\left(x+1\right) – най-малкия общ множител на x+1,x,6.

$$6xx+\left(6x+6\right)\left(x+1\right)=13x\left(x+1\right)$$

Умножете x по x, за да получите x^{2}.

$$6x^{2}+\left(6x+6\right)\left(x+1\right)=13x\left(x+1\right)$$

Използвайте дистрибутивното свойство, за да умножите 6x+6 по x+1 и да групирате подобните членове.

$$6x^{2}+6x^{2}+12x+6=13x\left(x+1\right)$$

Групирайте 6x^{2} и 6x^{2}, за да получите 12x^{2}.

$$12x^{2}+12x+6=13x\left(x+1\right)$$

Използвайте дистрибутивното свойство, за да умножите 13x по x+1.

$$12x^{2}+12x+6=13x^{2}+13x$$

Извадете 13x^{2} и от двете страни.

$$12x^{2}+12x+6-13x^{2}=13x$$

Групирайте 12x^{2} и -13x^{2}, за да получите -x^{2}.

$$-x^{2}+12x+6=13x$$

Извадете 13x и от двете страни.

$$-x^{2}+12x+6-13x=0$$

Групирайте 12x и -13x, за да получите -x.

$$-x^{2}-x+6=0$$

Това уравнение е в стандартна форма: ax^{2}+bx+c=0. Заместете -1 вместо a, -1 вместо b и 6 вместо c във формулата на квадратното уравнение, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4\left(-1\right)\times 6}}{2\left(-1\right)}$$

Умножете -4 по -1.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1+4\times 6}}{2\left(-1\right)}$$

Умножете 4 по 6.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1+24}}{2\left(-1\right)}$$

Съберете 1 с 24.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{25}}{2\left(-1\right)}$$

Получете корен квадратен от 25.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±5}{2\left(-1\right)}$$

Противоположното на -1 е 1.

$$x=\frac{1±5}{2\left(-1\right)}$$

Умножете 2 по -1.

$$x=\frac{1±5}{-2}$$

Сега решете уравнението x=\frac{1±5}{-2}, когато ± е плюс. Съберете 1 с 5.

$$x=\frac{6}{-2}$$

Разделете 6 на -2.

$$x=-3$$

Сега решете уравнението x=\frac{1±5}{-2}, когато ± е минус. Извадете 5 от 1.

$$x=-\frac{4}{-2}$$

Разделете -4 на -2.

$$x=2$$

Уравнението сега е решено.

$$x=-3 x=2$$

Стъпки за допълване до пълен квадрат

Променливата x не може да бъде равна на никоя от стойностите -1,0, тъй като делението на нула не е дефинирано. Умножете и двете страни на уравнението с 6x\left(x+1\right) – най-малкия общ множител на x+1,x,6.

$$6xx+\left(6x+6\right)\left(x+1\right)=13x\left(x+1\right)$$

Умножете x по x, за да получите x^{2}.

$$6x^{2}+\left(6x+6\right)\left(x+1\right)=13x\left(x+1\right)$$

Използвайте дистрибутивното свойство, за да умножите 6x+6 по x+1 и да групирате подобните членове.

$$6x^{2}+6x^{2}+12x+6=13x\left(x+1\right)$$

Групирайте 6x^{2} и 6x^{2}, за да получите 12x^{2}.

$$12x^{2}+12x+6=13x\left(x+1\right)$$

Използвайте дистрибутивното свойство, за да умножите 13x по x+1.

$$12x^{2}+12x+6=13x^{2}+13x$$

Извадете 13x^{2} и от двете страни.

$$12x^{2}+12x+6-13x^{2}=13x$$

Групирайте 12x^{2} и -13x^{2}, за да получите -x^{2}.

$$-x^{2}+12x+6=13x$$

Извадете 13x и от двете страни.

$$-x^{2}+12x+6-13x=0$$

Групирайте 12x и -13x, за да получите -x.

$$-x^{2}-x+6=0$$

Извадете 6 и от двете страни. Нещо, извадено от нула, дава отрицателната му стойност.

$$-x^{2}-x=-6$$

Разделете двете страни на -1.

$$\frac{-x^{2}-x}{-1}=-\frac{6}{-1}$$

Делението на -1 отменя умножението по -1.

$$x^{2}+\left(-\frac{1}{-1}\right)x=-\frac{6}{-1}$$

Разделете -1 на -1.

$$x^{2}+x=-\frac{6}{-1}$$

Разделете -6 на -1.

$$x^{2}+x=6$$

Разделете 1 – коефициента на члена на x – на 2, за да получите \frac{1}{2}. След това съберете квадрата на \frac{1}{2} с двете страни на уравнението. С тази стъпка лявата страна на уравнението става точен квадрат.

$$x^{2}+x+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=6+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Повдигнете на квадрат \frac{1}{2}, като повдигнете на квадрат и числителя, и знаменателя на дробта.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=6+\frac{1}{4}$$

Съберете 6 с \frac{1}{4}.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=\frac{25}{4}$$

Разложете на множител x^{2}+x+\frac{1}{4}. Като цяло, когато x^{2}+bx+c е точен квадрат, той винаги може да бъде разложен на множител като \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{25}{4}$$

Получете корен квадратен от двете страни на равенството.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{25}{4}}$$

Опростявайте.

$$x+\frac{1}{2}=\frac{5}{2} x+\frac{1}{2}=-\frac{5}{2}$$

Извадете \frac{1}{2} и от двете страни на уравнението.

$$x=2 x=-3$$