Решете x/7+y/3=5;-x/14+3y=26

$$\frac { x } { 7 } + \frac { y } { 3 } = 5 ; - \frac { x } { 14 } + 3 y = 26$$

Решаване за x, y

$$x=14$$

$$y=9$$

Стъпки с използване на субституция

Сметнете първото уравнение. Умножете и двете страни на уравнението с 21 – най-малкия общ множител на 7,3.

$$3x+7y=105$$

Сметнете второто уравнение. Умножете и двете страни на уравнението по 14.

$$-x+42y=364$$

За да решите двойка уравнения чрез субституция, първо решете едно от уравненията за една от променливите. След това заместете резултата за тази променлива в другото уравнение.

$$3x+7y=105,-x+42y=364$$

Изберете едно от уравненията и го решете за x чрез изолиране на x от лявата страна на равенството.

$$3x+7y=105$$

Извадете 7y и от двете страни на уравнението.

$$3x=-7y+105$$

Разделете двете страни на 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-7y+105\right)$$

Умножете \frac{1}{3} по -7y+105.

$$x=-\frac{7}{3}y+35$$

Заместете -\frac{7y}{3}+35 вместо x в другото уравнение, -x+42y=364.

$$-\left(-\frac{7}{3}y+35\right)+42y=364$$

Умножете -1 по -\frac{7y}{3}+35.

$$\frac{7}{3}y-35+42y=364$$

Съберете \frac{7y}{3} с 42y.

$$\frac{133}{3}y-35=364$$

Съберете 35 към двете страни на уравнението.

$$\frac{133}{3}y=399$$

Разделете двете страни на уравнението на \frac{133}{3}, което е същото като умножаване на двете страни по обратната стойност на дробта.

$$y=9$$

Заместете 9 вместо y в x=-\frac{7}{3}y+35. Тъй като полученото уравнение съдържа само една променлива, можете да решавате за x директно.

$$x=-\frac{7}{3}\times 9+35$$

Умножете -\frac{7}{3} по 9.

$$x=-21+35$$

Съберете 35 с -21.

$$x=14$$

Системата сега е решена.

$$x=14,y=9$$

Стъпки с използване на матрици

Сметнете първото уравнение. Умножете и двете страни на уравнението с 21 – най-малкия общ множител на 7,3.

$$3x+7y=105$$

Сметнете второто уравнение. Умножете и двете страни на уравнението по 14.

$$-x+42y=364$$

Приведете уравненията в стандартна форма и след това използвайте матрици за решаване на системата уравнения.

$$3x+7y=105,-x+42y=364$$

Напишете уравненията в матрични форма.

$$\left(\begin{matrix}3&7\\-1&42\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}105\\364\end{matrix}\right)$$

Умножете лявата страна на уравнението с обратната матрица на \left(\begin{matrix}3&7\\-1&42\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&7\\-1&42\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&7\\-1&42\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&7\\-1&42\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}105\\364\end{matrix}\right)$$

Произведението на една матрица с нейната обратна е единична матрица.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&7\\-1&42\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}105\\364\end{matrix}\right)$$

Умножете матриците от лявата страна на знака за равенство.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&7\\-1&42\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}105\\364\end{matrix}\right)$$

За матрицата 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), обратната матрица е \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), така че матричното уравнение може да се пренапише като задача с умножение на матрици.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{42}{3\times 42-7\left(-1\right)}&-\frac{7}{3\times 42-7\left(-1\right)}\\-\frac{-1}{3\times 42-7\left(-1\right)}&\frac{3}{3\times 42-7\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}105\\364\end{matrix}\right)$$

Направете сметките.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{19}&-\frac{1}{19}\\\frac{1}{133}&\frac{3}{133}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}105\\364\end{matrix}\right)$$

Умножете матриците.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{19}\times 105-\frac{1}{19}\times 364\\\frac{1}{133}\times 105+\frac{3}{133}\times 364\end{matrix}\right)$$

Направете сметките.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}14\\9\end{matrix}\right)$$

Извлечете елементите на матрицата x and y.

$$x=14,y=9$$

Стъпки за използване на елиминиране

Сметнете първото уравнение. Умножете и двете страни на уравнението с 21 – най-малкия общ множител на 7,3.

$$3x+7y=105$$

Сметнете второто уравнение. Умножете и двете страни на уравнението по 14.

$$-x+42y=364$$

За да се реши чрез елиминиране, коефициентите на една от променливите трябва да е една и съща в двете уравнения, така че променливата ще отпадне, когато едното уравнение се извади от другото.

$$3x+7y=105,-x+42y=364$$

За да направите 3x и -x равни, умножете всички членове от двете страни на първото уравнение по -1, а всички членове от двете страни на второто по 3.

$$-3x-7y=-105,3\left(-1\right)x+3\times 42y=3\times 364$$

Опростявайте.

$$-3x-7y=-105,-3x+126y=1092$$

Извадете -3x+126y=1092 от -3x-7y=-105, като извадите подобните членове от двете страни на равенството.

$$-3x+3x-7y-126y=-105-1092$$

Съберете -3x с 3x. Условията -3x и 3x се отказват, като напуснете уравнение само с една променлива, която може да бъде разрешена.

$$-7y-126y=-105-1092$$

Съберете -7y с -126y.

$$-133y=-105-1092$$

Съберете -105 с -1092.

$$-133y=-1197$$

Разделете двете страни на -133.

$$y=9$$

Заместете 9 вместо y в -x+42y=364. Тъй като полученото уравнение съдържа само една променлива, можете да решавате за x директно.

$$-x+42\times 9=364$$

Умножете 42 по 9.

$$-x+378=364$$

Извадете 378 и от двете страни на уравнението.

$$-x=-14$$

Разделете двете страни на -1.

$$x=14$$

Системата сега е решена.

$$x=14,y=9$$