Решете x/5=y/4;y/3=x/3-1

$$\frac { x } { 5 } = \frac { y } { 4 } ; \frac { y } { 3 } = \frac { x } { 3 } - 1$$

Решаване за x, y

$$x=15$$

$$y=12$$

Стъпки с използване на субституция

Сметнете първото уравнение. Умножете и двете страни на уравнението с 20 – най-малкия общ множител на 5,4.

$$4x=5y$$

Разделете двете страни на 4.

$$x=\frac{1}{4}\times 5y$$

Умножете \frac{1}{4} по 5y.

$$x=\frac{5}{4}y$$

Заместете \frac{5y}{4} вместо x в другото уравнение, -x+y=-3.

$$-\frac{5}{4}y+y=-3$$

Съберете -\frac{5y}{4} с y.

$$-\frac{1}{4}y=-3$$

Умножете и двете страни по -4.

$$y=12$$

Заместете 12 вместо y в x=\frac{5}{4}y. Тъй като полученото уравнение съдържа само една променлива, можете да решавате за x директно.

$$x=\frac{5}{4}\times 12$$

Умножете \frac{5}{4} по 12.

$$x=15$$

Системата сега е решена.

$$x=15,y=12$$

Стъпки с използване на матрици

Сметнете първото уравнение. Умножете и двете страни на уравнението с 20 – най-малкия общ множител на 5,4.

$$4x=5y$$

Извадете 5y и от двете страни.

$$4x-5y=0$$

Сметнете второто уравнение. Умножете и двете страни на уравнението по 3.

$$y=x-3$$

Извадете x и от двете страни.

$$y-x=-3$$

Приведете уравненията в стандартна форма и след това използвайте матрици за решаване на системата уравнения.

$$4x-5y=0,-x+y=-3$$

Напишете уравненията в матрични форма.

$$\left(\begin{matrix}4&-5\\-1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\-3\end{matrix}\right)$$

Умножете лявата страна на уравнението с обратната матрица на \left(\begin{matrix}4&-5\\-1&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-5\\-1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\-3\end{matrix}\right)$$

Произведението на една матрица с нейната обратна е единична матрица.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\-3\end{matrix}\right)$$

Умножете матриците от лявата страна на знака за равенство.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\-3\end{matrix}\right)$$

За матрицата 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), обратната матрица е \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), така че матричното уравнение може да се пренапише като задача с умножение на матрици.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4-\left(-5\left(-1\right)\right)}&-\frac{-5}{4-\left(-5\left(-1\right)\right)}\\-\frac{-1}{4-\left(-5\left(-1\right)\right)}&\frac{4}{4-\left(-5\left(-1\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\-3\end{matrix}\right)$$

Направете сметките.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1&-5\\-1&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\-3\end{matrix}\right)$$

Умножете матриците.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\left(-3\right)\\-4\left(-3\right)\end{matrix}\right)$$

Направете сметките.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}15\\12\end{matrix}\right)$$

Извлечете елементите на матрицата x and y.

$$x=15,y=12$$

Стъпки за използване на елиминиране

Сметнете първото уравнение. Умножете и двете страни на уравнението с 20 – най-малкия общ множител на 5,4.

$$4x=5y$$

Извадете 5y и от двете страни.

$$4x-5y=0$$

Сметнете второто уравнение. Умножете и двете страни на уравнението по 3.

$$y=x-3$$

Извадете x и от двете страни.

$$y-x=-3$$

За да се реши чрез елиминиране, коефициентите на една от променливите трябва да е една и съща в двете уравнения, така че променливата ще отпадне, когато едното уравнение се извади от другото.

$$4x-5y=0,-x+y=-3$$

За да направите 4x и -x равни, умножете всички членове от двете страни на първото уравнение по -1, а всички членове от двете страни на второто по 4.

$$-4x-\left(-5y\right)=0,4\left(-1\right)x+4y=4\left(-3\right)$$

Опростявайте.

$$-4x+5y=0,-4x+4y=-12$$

Извадете -4x+4y=-12 от -4x+5y=0, като извадите подобните членове от двете страни на равенството.

$$-4x+4x+5y-4y=12$$

Съберете -4x с 4x. Условията -4x и 4x се отказват, като напуснете уравнение само с една променлива, която може да бъде разрешена.

$$5y-4y=12$$

Съберете 5y с -4y.

$$y=12$$

Заместете 12 вместо y в -x+y=-3. Тъй като полученото уравнение съдържа само една променлива, можете да решавате за x директно.

$$-x+12=-3$$

Извадете 12 и от двете страни на уравнението.

$$-x=-15$$

Разделете двете страни на -1.

$$x=15$$

Системата сега е решена.

$$x=15,y=12$$