Решете x/3+y/4=4;x/2-y/4=1

$$\frac { x } { 3 } + \frac { y } { 4 } = 4 ; \frac { x } { 2 } - \frac { y } { 4 } = 1$$

Решаване за x, y

$$x=6$$

$$y=8$$

Стъпки с използване на субституция

Сметнете първото уравнение. Умножете и двете страни на уравнението с 12 – най-малкия общ множител на 3,4.

$$4x+3y=48$$

Сметнете второто уравнение. Умножете и двете страни на уравнението с 4 – най-малкия общ множител на 2,4.

$$2x-y=4$$

За да решите двойка уравнения чрез субституция, първо решете едно от уравненията за една от променливите. След това заместете резултата за тази променлива в другото уравнение.

$$4x+3y=48,2x-y=4$$

Изберете едно от уравненията и го решете за x чрез изолиране на x от лявата страна на равенството.

$$4x+3y=48$$

Извадете 3y и от двете страни на уравнението.

$$4x=-3y+48$$

Разделете двете страни на 4.

$$x=\frac{1}{4}\left(-3y+48\right)$$

Умножете \frac{1}{4} по -3y+48.

$$x=-\frac{3}{4}y+12$$

Заместете -\frac{3y}{4}+12 вместо x в другото уравнение, 2x-y=4.

$$2\left(-\frac{3}{4}y+12\right)-y=4$$

Умножете 2 по -\frac{3y}{4}+12.

$$-\frac{3}{2}y+24-y=4$$

Съберете -\frac{3y}{2} с -y.

$$-\frac{5}{2}y+24=4$$

Извадете 24 и от двете страни на уравнението.

$$-\frac{5}{2}y=-20$$

Разделете двете страни на уравнението на -\frac{5}{2}, което е същото като умножаване на двете страни по обратната стойност на дробта.

$$y=8$$

Заместете 8 вместо y в x=-\frac{3}{4}y+12. Тъй като полученото уравнение съдържа само една променлива, можете да решавате за x директно.

$$x=-\frac{3}{4}\times 8+12$$

Умножете -\frac{3}{4} по 8.

$$x=-6+12$$

Съберете 12 с -6.

$$x=6$$

Системата сега е решена.

$$x=6,y=8$$

Стъпки с използване на матрици

Сметнете първото уравнение. Умножете и двете страни на уравнението с 12 – най-малкия общ множител на 3,4.

$$4x+3y=48$$

Сметнете второто уравнение. Умножете и двете страни на уравнението с 4 – най-малкия общ множител на 2,4.

$$2x-y=4$$

Приведете уравненията в стандартна форма и след това използвайте матрици за решаване на системата уравнения.

$$4x+3y=48,2x-y=4$$

Напишете уравненията в матрични форма.

$$\left(\begin{matrix}4&3\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}48\\4\end{matrix}\right)$$

Умножете лявата страна на уравнението с обратната матрица на \left(\begin{matrix}4&3\\2&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&3\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}48\\4\end{matrix}\right)$$

Произведението на една матрица с нейната обратна е единична матрица.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}48\\4\end{matrix}\right)$$

Умножете матриците от лявата страна на знака за равенство.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}48\\4\end{matrix}\right)$$

За матрицата 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), обратната матрица е \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), така че матричното уравнение може да се пренапише като задача с умножение на матрици.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4\left(-1\right)-3\times 2}&-\frac{3}{4\left(-1\right)-3\times 2}\\-\frac{2}{4\left(-1\right)-3\times 2}&\frac{4}{4\left(-1\right)-3\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}48\\4\end{matrix}\right)$$

Направете сметките.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{10}&\frac{3}{10}\\\frac{1}{5}&-\frac{2}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}48\\4\end{matrix}\right)$$

Умножете матриците.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{10}\times 48+\frac{3}{10}\times 4\\\frac{1}{5}\times 48-\frac{2}{5}\times 4\end{matrix}\right)$$

Направете сметките.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\8\end{matrix}\right)$$

Извлечете елементите на матрицата x and y.

$$x=6,y=8$$

Стъпки за използване на елиминиране

Сметнете първото уравнение. Умножете и двете страни на уравнението с 12 – най-малкия общ множител на 3,4.

$$4x+3y=48$$

Сметнете второто уравнение. Умножете и двете страни на уравнението с 4 – най-малкия общ множител на 2,4.

$$2x-y=4$$

За да се реши чрез елиминиране, коефициентите на една от променливите трябва да е една и съща в двете уравнения, така че променливата ще отпадне, когато едното уравнение се извади от другото.

$$4x+3y=48,2x-y=4$$

За да направите 4x и 2x равни, умножете всички членове от двете страни на първото уравнение по 2, а всички членове от двете страни на второто по 4.

$$2\times 4x+2\times 3y=2\times 48,4\times 2x+4\left(-1\right)y=4\times 4$$

Опростявайте.

$$8x+6y=96,8x-4y=16$$

Извадете 8x-4y=16 от 8x+6y=96, като извадите подобните членове от двете страни на равенството.

$$8x-8x+6y+4y=96-16$$

Съберете 8x с -8x. Условията 8x и -8x се отказват, като напуснете уравнение само с една променлива, която може да бъде разрешена.

$$6y+4y=96-16$$

Съберете 6y с 4y.

$$10y=96-16$$

Съберете 96 с -16.

$$10y=80$$

Разделете двете страни на 10.

$$y=8$$

Заместете 8 вместо y в 2x-y=4. Тъй като полученото уравнение съдържа само една променлива, можете да решавате за x директно.

$$2x-8=4$$

Съберете 8 към двете страни на уравнението.

$$2x=12$$

Разделете двете страни на 2.

$$x=6$$

Системата сега е решена.

$$x=6,y=8$$