Решете x^2-4x-1/(x^2+1)^2=0

$$\frac { x ^ { 2 } - 4 x - 1 } { ( x ^ { 2 } + 1 ) ^ { 2 } } = 0$$

Решаване за x

$$x=\sqrt{5}+2\approx 4,236067977$$

$$x=2-\sqrt{5}\approx -0,236067977$$

Стъпки с използване на формулата за квадратно уравнение

Умножете и двете страни на уравнението по \left(x^{2}+1\right)^{2}.

$$x^{2}-4x-1=0$$

Това уравнение е в стандартна форма: ax^{2}+bx+c=0. Заместете 1 вместо a, -4 вместо b и -1 вместо c във формулата на квадратното уравнение, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4\left(-1\right)}}{2}$$

Повдигане на квадрат на -4.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-4\left(-1\right)}}{2}$$

Умножете -4 по -1.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16+4}}{2}$$

Съберете 16 с 4.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{20}}{2}$$

Получете корен квадратен от 20.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±2\sqrt{5}}{2}$$

Противоположното на -4 е 4.

$$x=\frac{4±2\sqrt{5}}{2}$$

Сега решете уравнението x=\frac{4±2\sqrt{5}}{2}, когато ± е плюс. Съберете 4 с 2\sqrt{5}.

$$x=\frac{2\sqrt{5}+4}{2}$$

Разделете 4+2\sqrt{5} на 2.

$$x=\sqrt{5}+2$$

Сега решете уравнението x=\frac{4±2\sqrt{5}}{2}, когато ± е минус. Извадете 2\sqrt{5} от 4.

$$x=\frac{4-2\sqrt{5}}{2}$$

Разделете 4-2\sqrt{5} на 2.

$$x=2-\sqrt{5}$$

Уравнението сега е решено.

$$x=\sqrt{5}+2 x=2-\sqrt{5}$$

Стъпки за допълване до пълен квадрат

Умножете и двете страни на уравнението по \left(x^{2}+1\right)^{2}.

$$x^{2}-4x-1=0$$

Добавете 1 от двете страни. Нещо плюс нула дава същото нещо.

$$x^{2}-4x=1$$

Разделете -4 – коефициента на члена на x – на 2, за да получите -2. След това съберете квадрата на -2 с двете страни на уравнението. С тази стъпка лявата страна на уравнението става точен квадрат.

$$x^{2}-4x+\left(-2\right)^{2}=1+\left(-2\right)^{2}$$

Повдигане на квадрат на -2.

$$x^{2}-4x+4=1+4$$

Съберете 1 с 4.

$$x^{2}-4x+4=5$$

Разложете на множител x^{2}-4x+4. Като цяло, когато x^{2}+bx+c е точен квадрат, той винаги може да бъде разложен на множител като \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-2\right)^{2}=5$$

Получете корен квадратен от двете страни на равенството.

$$\sqrt{\left(x-2\right)^{2}}=\sqrt{5}$$

Опростявайте.

$$x-2=\sqrt{5} x-2=-\sqrt{5}$$

Съберете 2 към двете страни на уравнението.

$$x=\sqrt{5}+2 x=2-\sqrt{5}$$