Решете x^2+6x-7/3x^2-x-2=5

$$\frac { x ^ { 2 } + 6 x - 7 } { 3 x ^ { 2 } - x - 2 } = 5$$

Решаване за x

$$x=-\frac{3}{14}\approx -0,214285714$$

Стъпки с разлагане на множители чрез групиране

Променливата x не може да бъде равна на никоя от стойностите -\frac{2}{3},1, тъй като делението на нула не е дефинирано. Умножете и двете страни на уравнението по \left(x-1\right)\left(3x+2\right).

$$x^{2}+6x-7=5\left(x-1\right)\left(3x+2\right)$$

Използвайте дистрибутивното свойство, за да умножите 5 по x-1.

$$x^{2}+6x-7=\left(5x-5\right)\left(3x+2\right)$$

Използвайте дистрибутивното свойство, за да умножите 5x-5 по 3x+2 и да групирате подобните членове.

$$x^{2}+6x-7=15x^{2}-5x-10$$

Извадете 15x^{2} и от двете страни.

$$x^{2}+6x-7-15x^{2}=-5x-10$$

Групирайте x^{2} и -15x^{2}, за да получите -14x^{2}.

$$-14x^{2}+6x-7=-5x-10$$

Добавете 5x от двете страни.

$$-14x^{2}+6x-7+5x=-10$$

Групирайте 6x и 5x, за да получите 11x.

$$-14x^{2}+11x-7=-10$$

Добавете 10 от двете страни.

$$-14x^{2}+11x-7+10=0$$

Съберете -7 и 10, за да се получи 3.

$$-14x^{2}+11x+3=0$$

За да се реши уравнението, коефициентът е от лявата страна по групи. Първо, лявата страна трябва да бъде пренаписана като -14x^{2}+ax+bx+3. За да намерите a и b, настройте система, която да бъде решена.

$$a+b=11 ab=-14\times 3=-42$$

Тъй като ab е отрицателен, a и b имат противоположни знаци. Тъй като a+b е положително, положителното число има по-голяма абсолютна стойност от отрицателното. Изброяване на всички тези целочислени двойки, които придават -42 на продукта.

$$-1,42 -2,21 -3,14 -6,7$$

Изчислете сумата за всяка двойка.

$$-1+42=41 -2+21=19 -3+14=11 -6+7=1$$

Решението е двойката, която дава сума 11.

$$a=14 b=-3$$

Напишете -14x^{2}+11x+3 като \left(-14x^{2}+14x\right)+\left(-3x+3\right).

$$\left(-14x^{2}+14x\right)+\left(-3x+3\right)$$

Фактор, 14x в първата и 3 във втората група.

$$14x\left(-x+1\right)+3\left(-x+1\right)$$

Разложете на множители общия член -x+1, като използвате разпределителното свойство.

$$\left(-x+1\right)\left(14x+3\right)$$

За да намерите решения за уравнение, решете -x+1=0 и 14x+3=0.

$$x=1 x=-\frac{3}{14}$$

Променливата x не може да бъде равна на 1.

$$x=-\frac{3}{14}$$

Стъпки с използване на формулата за квадратно уравнение

Променливата x не може да бъде равна на никоя от стойностите -\frac{2}{3},1, тъй като делението на нула не е дефинирано. Умножете и двете страни на уравнението по \left(x-1\right)\left(3x+2\right).

$$x^{2}+6x-7=5\left(x-1\right)\left(3x+2\right)$$

Използвайте дистрибутивното свойство, за да умножите 5 по x-1.

$$x^{2}+6x-7=\left(5x-5\right)\left(3x+2\right)$$

Използвайте дистрибутивното свойство, за да умножите 5x-5 по 3x+2 и да групирате подобните членове.

$$x^{2}+6x-7=15x^{2}-5x-10$$

Извадете 15x^{2} и от двете страни.

$$x^{2}+6x-7-15x^{2}=-5x-10$$

Групирайте x^{2} и -15x^{2}, за да получите -14x^{2}.

$$-14x^{2}+6x-7=-5x-10$$

Добавете 5x от двете страни.

$$-14x^{2}+6x-7+5x=-10$$

Групирайте 6x и 5x, за да получите 11x.

$$-14x^{2}+11x-7=-10$$

Добавете 10 от двете страни.

$$-14x^{2}+11x-7+10=0$$

Съберете -7 и 10, за да се получи 3.

$$-14x^{2}+11x+3=0$$

Това уравнение е в стандартна форма: ax^{2}+bx+c=0. Заместете -14 вместо a, 11 вместо b и 3 вместо c във формулата на квадратното уравнение, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-11±\sqrt{11^{2}-4\left(-14\right)\times 3}}{2\left(-14\right)}$$

Повдигане на квадрат на 11.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121-4\left(-14\right)\times 3}}{2\left(-14\right)}$$

Умножете -4 по -14.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121+56\times 3}}{2\left(-14\right)}$$

Умножете 56 по 3.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121+168}}{2\left(-14\right)}$$

Съберете 121 с 168.

$$x=\frac{-11±\sqrt{289}}{2\left(-14\right)}$$

Получете корен квадратен от 289.

$$x=\frac{-11±17}{2\left(-14\right)}$$

Умножете 2 по -14.

$$x=\frac{-11±17}{-28}$$

Сега решете уравнението x=\frac{-11±17}{-28}, когато ± е плюс. Съберете -11 с 17.

$$x=\frac{6}{-28}$$

Намаляване на дробта \frac{6}{-28} до най-малките членове чрез извличане на корен и съкращаване на 2.

$$x=-\frac{3}{14}$$

Сега решете уравнението x=\frac{-11±17}{-28}, когато ± е минус. Извадете 17 от -11.

$$x=-\frac{28}{-28}$$

Разделете -28 на -28.

$$x=1$$

Уравнението сега е решено.

$$x=-\frac{3}{14} x=1$$

Променливата x не може да бъде равна на 1.

$$x=-\frac{3}{14}$$

Стъпки за допълване до пълен квадрат

Променливата x не може да бъде равна на никоя от стойностите -\frac{2}{3},1, тъй като делението на нула не е дефинирано. Умножете и двете страни на уравнението по \left(x-1\right)\left(3x+2\right).

$$x^{2}+6x-7=5\left(x-1\right)\left(3x+2\right)$$

Използвайте дистрибутивното свойство, за да умножите 5 по x-1.

$$x^{2}+6x-7=\left(5x-5\right)\left(3x+2\right)$$

Използвайте дистрибутивното свойство, за да умножите 5x-5 по 3x+2 и да групирате подобните членове.

$$x^{2}+6x-7=15x^{2}-5x-10$$

Извадете 15x^{2} и от двете страни.

$$x^{2}+6x-7-15x^{2}=-5x-10$$

Групирайте x^{2} и -15x^{2}, за да получите -14x^{2}.

$$-14x^{2}+6x-7=-5x-10$$

Добавете 5x от двете страни.

$$-14x^{2}+6x-7+5x=-10$$

Групирайте 6x и 5x, за да получите 11x.

$$-14x^{2}+11x-7=-10$$

Добавете 7 от двете страни.

$$-14x^{2}+11x=-10+7$$

Съберете -10 и 7, за да се получи -3.

$$-14x^{2}+11x=-3$$

Разделете двете страни на -14.

$$\frac{-14x^{2}+11x}{-14}=-\frac{3}{-14}$$

Делението на -14 отменя умножението по -14.

$$x^{2}+\frac{11}{-14}x=-\frac{3}{-14}$$

Разделете 11 на -14.

$$x^{2}-\frac{11}{14}x=-\frac{3}{-14}$$

Разделете -3 на -14.

$$x^{2}-\frac{11}{14}x=\frac{3}{14}$$

Разделете -\frac{11}{14} – коефициента на члена на x – на 2, за да получите -\frac{11}{28}. След това съберете квадрата на -\frac{11}{28} с двете страни на уравнението. С тази стъпка лявата страна на уравнението става точен квадрат.

$$x^{2}-\frac{11}{14}x+\left(-\frac{11}{28}\right)^{2}=\frac{3}{14}+\left(-\frac{11}{28}\right)^{2}$$

Повдигнете на квадрат -\frac{11}{28}, като повдигнете на квадрат и числителя, и знаменателя на дробта.

$$x^{2}-\frac{11}{14}x+\frac{121}{784}=\frac{3}{14}+\frac{121}{784}$$

Съберете \frac{3}{14} и \frac{121}{784}, като намерите общ знаменател и съберете числителите. След това съкращавате дробта до най-прости членове, ако е възможно.

$$x^{2}-\frac{11}{14}x+\frac{121}{784}=\frac{289}{784}$$

Разложете на множител x^{2}-\frac{11}{14}x+\frac{121}{784}. Като цяло, когато x^{2}+bx+c е точен квадрат, той винаги може да бъде разложен на множител като \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{11}{28}\right)^{2}=\frac{289}{784}$$

Получете корен квадратен от двете страни на равенството.

$$\sqrt{\left(x-\frac{11}{28}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{289}{784}}$$

Опростявайте.

$$x-\frac{11}{28}=\frac{17}{28} x-\frac{11}{28}=-\frac{17}{28}$$

Съберете \frac{11}{28} към двете страни на уравнението.

$$x=1 x=-\frac{3}{14}$$

Променливата x не може да бъде равна на 1.

$$x=-\frac{3}{14}$$