Решете x+9/x+16x/x+9=8

$$\frac { x + 9 } { x } + \frac { 16 x } { x + 9 } = 8$$

Решаване за x

$$x=3$$

Стъпки с разлагане на множители чрез групиране

Променливата x не може да бъде равна на никоя от стойностите -9,0, тъй като делението на нула не е дефинирано. Умножете и двете страни на уравнението с x\left(x+9\right) – най-малкия общ множител на x,x+9.

$$\left(x+9\right)\left(x+9\right)+x\times 16x=8x\left(x+9\right)$$

Умножете x+9 по x+9, за да получите \left(x+9\right)^{2}.

$$\left(x+9\right)^{2}+x\times 16x=8x\left(x+9\right)$$

Използвайте Нютоновия бином \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}, за да разложите \left(x+9\right)^{2}.

$$x^{2}+18x+81+x\times 16x=8x\left(x+9\right)$$

Умножете x по x, за да получите x^{2}.

$$x^{2}+18x+81+x^{2}\times 16=8x\left(x+9\right)$$

Групирайте x^{2} и x^{2}\times 16, за да получите 17x^{2}.

$$17x^{2}+18x+81=8x\left(x+9\right)$$

Използвайте дистрибутивното свойство, за да умножите 8x по x+9.

$$17x^{2}+18x+81=8x^{2}+72x$$

Извадете 8x^{2} и от двете страни.

$$17x^{2}+18x+81-8x^{2}=72x$$

Групирайте 17x^{2} и -8x^{2}, за да получите 9x^{2}.

$$9x^{2}+18x+81=72x$$

Извадете 72x и от двете страни.

$$9x^{2}+18x+81-72x=0$$

Групирайте 18x и -72x, за да получите -54x.

$$9x^{2}-54x+81=0$$

Разделете двете страни на 9.

$$x^{2}-6x+9=0$$

За да се реши уравнението, коефициентът е от лявата страна по групи. Първо, лявата страна трябва да бъде пренаписана като x^{2}+ax+bx+9. За да намерите a и b, настройте система, която да бъде решена.

$$a+b=-6 ab=1\times 9=9$$

Тъй като ab е положителна, a и b имат един и същ знак. Тъй като a+b е отрицателен, a и b са отрицателни. Изброяване на всички тези целочислени двойки, които придават 9 на продукта.

$$-1,-9 -3,-3$$

Изчислете сумата за всяка двойка.

$$-1-9=-10 -3-3=-6$$

Решението е двойката, която дава сума -6.

$$a=-3 b=-3$$

Напишете x^{2}-6x+9 като \left(x^{2}-3x\right)+\left(-3x+9\right).

$$\left(x^{2}-3x\right)+\left(-3x+9\right)$$

Фактор, x в първата и -3 във втората група.

$$x\left(x-3\right)-3\left(x-3\right)$$

Разложете на множители общия член x-3, като използвате разпределителното свойство.

$$\left(x-3\right)\left(x-3\right)$$

Преобразуване като биномен квадрат.

$$\left(x-3\right)^{2}$$

За да намерите решение за уравнението, решете x-3=0.

$$x=3$$

Стъпки с използване на формулата за квадратно уравнение

Променливата x не може да бъде равна на никоя от стойностите -9,0, тъй като делението на нула не е дефинирано. Умножете и двете страни на уравнението с x\left(x+9\right) – най-малкия общ множител на x,x+9.

$$\left(x+9\right)\left(x+9\right)+x\times 16x=8x\left(x+9\right)$$

Умножете x+9 по x+9, за да получите \left(x+9\right)^{2}.

$$\left(x+9\right)^{2}+x\times 16x=8x\left(x+9\right)$$

Използвайте Нютоновия бином \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}, за да разложите \left(x+9\right)^{2}.

$$x^{2}+18x+81+x\times 16x=8x\left(x+9\right)$$

Умножете x по x, за да получите x^{2}.

$$x^{2}+18x+81+x^{2}\times 16=8x\left(x+9\right)$$

Групирайте x^{2} и x^{2}\times 16, за да получите 17x^{2}.

$$17x^{2}+18x+81=8x\left(x+9\right)$$

Използвайте дистрибутивното свойство, за да умножите 8x по x+9.

$$17x^{2}+18x+81=8x^{2}+72x$$

Извадете 8x^{2} и от двете страни.

$$17x^{2}+18x+81-8x^{2}=72x$$

Групирайте 17x^{2} и -8x^{2}, за да получите 9x^{2}.

$$9x^{2}+18x+81=72x$$

Извадете 72x и от двете страни.

$$9x^{2}+18x+81-72x=0$$

Групирайте 18x и -72x, за да получите -54x.

$$9x^{2}-54x+81=0$$

Това уравнение е в стандартна форма: ax^{2}+bx+c=0. Заместете 9 вместо a, -54 вместо b и 81 вместо c във формулата на квадратното уравнение, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-54\right)±\sqrt{\left(-54\right)^{2}-4\times 9\times 81}}{2\times 9}$$

Повдигане на квадрат на -54.

$$x=\frac{-\left(-54\right)±\sqrt{2916-4\times 9\times 81}}{2\times 9}$$

Умножете -4 по 9.

$$x=\frac{-\left(-54\right)±\sqrt{2916-36\times 81}}{2\times 9}$$

Умножете -36 по 81.

$$x=\frac{-\left(-54\right)±\sqrt{2916-2916}}{2\times 9}$$

Съберете 2916 с -2916.

$$x=\frac{-\left(-54\right)±\sqrt{0}}{2\times 9}$$

Получете корен квадратен от 0.

$$x=-\frac{-54}{2\times 9}$$

Противоположното на -54 е 54.

$$x=\frac{54}{2\times 9}$$

Умножете 2 по 9.

$$x=\frac{54}{18}$$

Разделете 54 на 18.

$$x=3$$

Стъпки за допълване до пълен квадрат

Променливата x не може да бъде равна на никоя от стойностите -9,0, тъй като делението на нула не е дефинирано. Умножете и двете страни на уравнението с x\left(x+9\right) – най-малкия общ множител на x,x+9.

$$\left(x+9\right)\left(x+9\right)+x\times 16x=8x\left(x+9\right)$$

Умножете x+9 по x+9, за да получите \left(x+9\right)^{2}.

$$\left(x+9\right)^{2}+x\times 16x=8x\left(x+9\right)$$

Използвайте Нютоновия бином \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}, за да разложите \left(x+9\right)^{2}.

$$x^{2}+18x+81+x\times 16x=8x\left(x+9\right)$$

Умножете x по x, за да получите x^{2}.

$$x^{2}+18x+81+x^{2}\times 16=8x\left(x+9\right)$$

Групирайте x^{2} и x^{2}\times 16, за да получите 17x^{2}.

$$17x^{2}+18x+81=8x\left(x+9\right)$$

Използвайте дистрибутивното свойство, за да умножите 8x по x+9.

$$17x^{2}+18x+81=8x^{2}+72x$$

Извадете 8x^{2} и от двете страни.

$$17x^{2}+18x+81-8x^{2}=72x$$

Групирайте 17x^{2} и -8x^{2}, за да получите 9x^{2}.

$$9x^{2}+18x+81=72x$$

Извадете 72x и от двете страни.

$$9x^{2}+18x+81-72x=0$$

Групирайте 18x и -72x, за да получите -54x.

$$9x^{2}-54x+81=0$$

Извадете 81 и от двете страни. Нещо, извадено от нула, дава отрицателната му стойност.

$$9x^{2}-54x=-81$$

Разделете двете страни на 9.

$$\frac{9x^{2}-54x}{9}=-\frac{81}{9}$$

Делението на 9 отменя умножението по 9.

$$x^{2}+\left(-\frac{54}{9}\right)x=-\frac{81}{9}$$

Разделете -54 на 9.

$$x^{2}-6x=-\frac{81}{9}$$

Разделете -81 на 9.

$$x^{2}-6x=-9$$

Разделете -6 – коефициента на члена на x – на 2, за да получите -3. След това съберете квадрата на -3 с двете страни на уравнението. С тази стъпка лявата страна на уравнението става точен квадрат.

$$x^{2}-6x+\left(-3\right)^{2}=-9+\left(-3\right)^{2}$$

Повдигане на квадрат на -3.

$$x^{2}-6x+9=-9+9$$

Съберете -9 с 9.

$$x^{2}-6x+9=0$$

Разложете на множител x^{2}-6x+9. Като цяло, когато x^{2}+bx+c е точен квадрат, той винаги може да бъде разложен на множител като \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-3\right)^{2}=0$$

Получете корен квадратен от двете страни на равенството.

$$\sqrt{\left(x-3\right)^{2}}=\sqrt{0}$$

Опростявайте.

$$x-3=0 x-3=0$$

Съберете 3 към двете страни на уравнението.

$$x=3 x=3$$

Уравнението сега е решено. Решенията са еднакви.

$$x=3$$