Решете t/t+3+4t/t-3-18/t^2-9

$$\frac { t } { t + 3 } + \frac { 4 t } { t - 3 } - \frac { 18 } { t ^ { 2 } - 9 }$$

Изчисляване

$$\frac{5t-6}{t-3}$$

Стъпки за кратко решение

За да съберете или извадите изрази, приведете ги към общ знаменател. Най-малкото общо кратно на t+3 и t-3 е \left(t-3\right)\left(t+3\right). Умножете \frac{t}{t+3} по \frac{t-3}{t-3}. Умножете \frac{4t}{t-3} по \frac{t+3}{t+3}.

$$\frac{t\left(t-3\right)}{\left(t-3\right)\left(t+3\right)}+\frac{4t\left(t+3\right)}{\left(t-3\right)\left(t+3\right)}-\frac{18}{t^{2}-9}$$

Тъй като \frac{t\left(t-3\right)}{\left(t-3\right)\left(t+3\right)} и \frac{4t\left(t+3\right)}{\left(t-3\right)\left(t+3\right)} имат един и същ знаменател, съберете ги, като съберете техните числители.

$$\frac{t\left(t-3\right)+4t\left(t+3\right)}{\left(t-3\right)\left(t+3\right)}-\frac{18}{t^{2}-9}$$

Извършете умноженията в t\left(t-3\right)+4t\left(t+3\right).

$$\frac{t^{2}-3t+4t^{2}+12t}{\left(t-3\right)\left(t+3\right)}-\frac{18}{t^{2}-9}$$

Обединете подобните членове в t^{2}-3t+4t^{2}+12t.

$$\frac{5t^{2}+9t}{\left(t-3\right)\left(t+3\right)}-\frac{18}{t^{2}-9}$$

Разложете на множители t^{2}-9.

$$\frac{5t^{2}+9t}{\left(t-3\right)\left(t+3\right)}-\frac{18}{\left(t-3\right)\left(t+3\right)}$$

Тъй като \frac{5t^{2}+9t}{\left(t-3\right)\left(t+3\right)} и \frac{18}{\left(t-3\right)\left(t+3\right)} имат един и същ знаменател, извадете ги, като извадите техните числители.

$$\frac{5t^{2}+9t-18}{\left(t-3\right)\left(t+3\right)}$$

Разложете на множители изразите, които все още не са разложени на множители, в \frac{5t^{2}+9t-18}{\left(t-3\right)\left(t+3\right)}.

$$\frac{\left(5t-6\right)\left(t+3\right)}{\left(t-3\right)\left(t+3\right)}$$

Съкращаване на t+3 в числителя и знаменателя.

$$\frac{5t-6}{t-3}$$

Диференциране по отношение на t

$$-\frac{9}{\left(t-3\right)^{2}}$$

Стъпки с използване на правилото за производна на частно

За да съберете или извадите изрази, приведете ги към общ знаменател. Най-малкото общо кратно на t+3 и t-3 е \left(t-3\right)\left(t+3\right). Умножете \frac{t}{t+3} по \frac{t-3}{t-3}. Умножете \frac{4t}{t-3} по \frac{t+3}{t+3}.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(\frac{t\left(t-3\right)}{\left(t-3\right)\left(t+3\right)}+\frac{4t\left(t+3\right)}{\left(t-3\right)\left(t+3\right)}-\frac{18}{t^{2}-9})$$

Тъй като \frac{t\left(t-3\right)}{\left(t-3\right)\left(t+3\right)} и \frac{4t\left(t+3\right)}{\left(t-3\right)\left(t+3\right)} имат един и същ знаменател, съберете ги, като съберете техните числители.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(\frac{t\left(t-3\right)+4t\left(t+3\right)}{\left(t-3\right)\left(t+3\right)}-\frac{18}{t^{2}-9})$$

Извършете умноженията в t\left(t-3\right)+4t\left(t+3\right).

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(\frac{t^{2}-3t+4t^{2}+12t}{\left(t-3\right)\left(t+3\right)}-\frac{18}{t^{2}-9})$$

Обединете подобните членове в t^{2}-3t+4t^{2}+12t.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(\frac{5t^{2}+9t}{\left(t-3\right)\left(t+3\right)}-\frac{18}{t^{2}-9})$$

Разложете на множители t^{2}-9.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(\frac{5t^{2}+9t}{\left(t-3\right)\left(t+3\right)}-\frac{18}{\left(t-3\right)\left(t+3\right)})$$

Тъй като \frac{5t^{2}+9t}{\left(t-3\right)\left(t+3\right)} и \frac{18}{\left(t-3\right)\left(t+3\right)} имат един и същ знаменател, извадете ги, като извадите техните числители.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(\frac{5t^{2}+9t-18}{\left(t-3\right)\left(t+3\right)})$$

Разложете на множители изразите, които все още не са разложени на множители, в \frac{5t^{2}+9t-18}{\left(t-3\right)\left(t+3\right)}.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(\frac{\left(5t-6\right)\left(t+3\right)}{\left(t-3\right)\left(t+3\right)})$$

Съкращаване на t+3 в числителя и знаменателя.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(\frac{5t-6}{t-3})$$

За всеки две диференцируеми функции, производната на частното на две функции е знаменателят, умножен по производната на числителя, минус числителя, умножен по производната на знаменателя, всичко разделено на знаменателя на квадрат.

$$\frac{\left(t^{1}-3\right)\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(5t^{1}-6)-\left(5t^{1}-6\right)\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(t^{1}-3)}{\left(t^{1}-3\right)^{2}}$$

Производната на полином е сумата от производните на членовете му. Производната на константен член е 0. Производната на ax^{n} е nax^{n-1}.

$$\frac{\left(t^{1}-3\right)\times 5t^{1-1}-\left(5t^{1}-6\right)t^{1-1}}{\left(t^{1}-3\right)^{2}}$$

Направете сметките.

$$\frac{\left(t^{1}-3\right)\times 5t^{0}-\left(5t^{1}-6\right)t^{0}}{\left(t^{1}-3\right)^{2}}$$

Разложете с използване на свойството дистрибутивност.

$$\frac{t^{1}\times 5t^{0}-3\times 5t^{0}-\left(5t^{1}t^{0}-6t^{0}\right)}{\left(t^{1}-3\right)^{2}}$$

За да умножите степени на една и съща основа, съберете техните експоненти.

$$\frac{5t^{1}-3\times 5t^{0}-\left(5t^{1}-6t^{0}\right)}{\left(t^{1}-3\right)^{2}}$$

Направете сметките.

$$\frac{5t^{1}-15t^{0}-\left(5t^{1}-6t^{0}\right)}{\left(t^{1}-3\right)^{2}}$$

Премахнете ненужните скоби.

$$\frac{5t^{1}-15t^{0}-5t^{1}-\left(-6t^{0}\right)}{\left(t^{1}-3\right)^{2}}$$

Групирайте подобните членове.

$$\frac{\left(5-5\right)t^{1}+\left(-15-\left(-6\right)\right)t^{0}}{\left(t^{1}-3\right)^{2}}$$

Изваждане на 5 от 5 и -6 от -15.

$$\frac{-9t^{0}}{\left(t^{1}-3\right)^{2}}$$

За всеки член t t^{1}=t.

$$\frac{-9t^{0}}{\left(t-3\right)^{2}}$$

За всеки член t с изключение на 0, t^{0}=1.

$$\frac{-9}{\left(t-3\right)^{2}}$$