Решете t^2+3t/2=t+7/4

$$\frac { t ^ { 2 } + 3 t } { 2 } = \frac { t + 7 } { 4 }$$

Решаване за t

$$t = -\frac{7}{2} = -3\frac{1}{2} = -3,5$$

$$t=1$$

Стъпки с разлагане на множители чрез групиране

Умножете и двете страни на уравнението с 4 – най-малкия общ множител на 2,4.

$$2\left(t^{2}+3t\right)=t+7$$

Използвайте дистрибутивното свойство, за да умножите 2 по t^{2}+3t.

$$2t^{2}+6t=t+7$$

Извадете t и от двете страни.

$$2t^{2}+6t-t=7$$

Групирайте 6t и -t, за да получите 5t.

$$2t^{2}+5t=7$$

Извадете 7 и от двете страни.

$$2t^{2}+5t-7=0$$

За да се реши уравнението, коефициентът е от лявата страна по групи. Първо, лявата страна трябва да бъде пренаписана като 2t^{2}+at+bt-7. За да намерите a и b, настройте система, която да бъде решена.

$$a+b=5 ab=2\left(-7\right)=-14$$

Тъй като ab е отрицателен, a и b имат противоположни знаци. Тъй като a+b е положително, положителното число има по-голяма абсолютна стойност от отрицателното. Изброяване на всички тези целочислени двойки, които придават -14 на продукта.

$$-1,14 -2,7$$

Изчислете сумата за всяка двойка.

$$-1+14=13 -2+7=5$$

Решението е двойката, която дава сума 5.

$$a=-2 b=7$$

Напишете 2t^{2}+5t-7 като \left(2t^{2}-2t\right)+\left(7t-7\right).

$$\left(2t^{2}-2t\right)+\left(7t-7\right)$$

Фактор, 2t в първата и 7 във втората група.

$$2t\left(t-1\right)+7\left(t-1\right)$$

Разложете на множители общия член t-1, като използвате разпределителното свойство.

$$\left(t-1\right)\left(2t+7\right)$$

За да намерите решения за уравнение, решете t-1=0 и 2t+7=0.

$$t=1 t=-\frac{7}{2}$$

Стъпки с използване на формулата за квадратно уравнение

Умножете и двете страни на уравнението с 4 – най-малкия общ множител на 2,4.

$$2\left(t^{2}+3t\right)=t+7$$

Използвайте дистрибутивното свойство, за да умножите 2 по t^{2}+3t.

$$2t^{2}+6t=t+7$$

Извадете t и от двете страни.

$$2t^{2}+6t-t=7$$

Групирайте 6t и -t, за да получите 5t.

$$2t^{2}+5t=7$$

Извадете 7 и от двете страни.

$$2t^{2}+5t-7=0$$

Това уравнение е в стандартна форма: ax^{2}+bx+c=0. Заместете 2 вместо a, 5 вместо b и -7 вместо c във формулата на квадратното уравнение, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$t=\frac{-5±\sqrt{5^{2}-4\times 2\left(-7\right)}}{2\times 2}$$

Повдигане на квадрат на 5.

$$t=\frac{-5±\sqrt{25-4\times 2\left(-7\right)}}{2\times 2}$$

Умножете -4 по 2.

$$t=\frac{-5±\sqrt{25-8\left(-7\right)}}{2\times 2}$$

Умножете -8 по -7.

$$t=\frac{-5±\sqrt{25+56}}{2\times 2}$$

Съберете 25 с 56.

$$t=\frac{-5±\sqrt{81}}{2\times 2}$$

Получете корен квадратен от 81.

$$t=\frac{-5±9}{2\times 2}$$

Умножете 2 по 2.

$$t=\frac{-5±9}{4}$$

Сега решете уравнението t=\frac{-5±9}{4}, когато ± е плюс. Съберете -5 с 9.

$$t=\frac{4}{4}$$

Разделете 4 на 4.

$$t=1$$

Сега решете уравнението t=\frac{-5±9}{4}, когато ± е минус. Извадете 9 от -5.

$$t=-\frac{14}{4}$$

Намаляване на дробта \frac{-14}{4} до най-малките членове чрез извличане на корен и съкращаване на 2.

$$t=-\frac{7}{2}$$

Уравнението сега е решено.

$$t=1 t=-\frac{7}{2}$$

Стъпки за допълване до пълен квадрат

Умножете и двете страни на уравнението с 4 – най-малкия общ множител на 2,4.

$$2\left(t^{2}+3t\right)=t+7$$

Използвайте дистрибутивното свойство, за да умножите 2 по t^{2}+3t.

$$2t^{2}+6t=t+7$$

Извадете t и от двете страни.

$$2t^{2}+6t-t=7$$

Групирайте 6t и -t, за да получите 5t.

$$2t^{2}+5t=7$$

Разделете двете страни на 2.

$$\frac{2t^{2}+5t}{2}=\frac{7}{2}$$

Делението на 2 отменя умножението по 2.

$$t^{2}+\frac{5}{2}t=\frac{7}{2}$$

Разделете \frac{5}{2} – коефициента на члена на x – на 2, за да получите \frac{5}{4}. След това съберете квадрата на \frac{5}{4} с двете страни на уравнението. С тази стъпка лявата страна на уравнението става точен квадрат.

$$t^{2}+\frac{5}{2}t+\left(\frac{5}{4}\right)^{2}=\frac{7}{2}+\left(\frac{5}{4}\right)^{2}$$

Повдигнете на квадрат \frac{5}{4}, като повдигнете на квадрат и числителя, и знаменателя на дробта.

$$t^{2}+\frac{5}{2}t+\frac{25}{16}=\frac{7}{2}+\frac{25}{16}$$

Съберете \frac{7}{2} и \frac{25}{16}, като намерите общ знаменател и съберете числителите. След това съкращавате дробта до най-прости членове, ако е възможно.

$$t^{2}+\frac{5}{2}t+\frac{25}{16}=\frac{81}{16}$$

Разложете на множител t^{2}+\frac{5}{2}t+\frac{25}{16}. Като цяло, когато x^{2}+bx+c е точен квадрат, той винаги може да бъде разложен на множител като \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(t+\frac{5}{4}\right)^{2}=\frac{81}{16}$$

Получете корен квадратен от двете страни на равенството.

$$\sqrt{\left(t+\frac{5}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{81}{16}}$$

Опростявайте.

$$t+\frac{5}{4}=\frac{9}{4} t+\frac{5}{4}=-\frac{9}{4}$$

Извадете \frac{5}{4} и от двете страни на уравнението.

$$t=1 t=-\frac{7}{2}$$