Решете p+5/p^2+p=1/p^2+p-p-6/p+1

$$\frac { p + 5 } { p ^ { 2 } + p } = \frac { 1 } { p ^ { 2 } + p } - \frac { p - 6 } { p + 1 }$$

Решаване за p

$$p=1$$

$$p=4$$

Стъпки с разлагане на множители

Променливата p не може да бъде равна на никоя от стойностите -1,0, тъй като делението на нула не е дефинирано. Умножете и двете страни на уравнението с p\left(p+1\right) – най-малкия общ множител на p^{2}+p,p+1.

$$p+5=1-p\left(p-6\right)$$

Използвайте дистрибутивното свойство, за да умножите p по p-6.

$$p+5=1-\left(p^{2}-6p\right)$$

За да намерите противоположната стойност на p^{2}-6p, намерете противоположната стойност на всеки член.

$$p+5=1-p^{2}+6p$$

Извадете 1 и от двете страни.

$$p+5-1=-p^{2}+6p$$

Извадете 1 от 5, за да получите 4.

$$p+4=-p^{2}+6p$$

Добавете p^{2} от двете страни.

$$p+4+p^{2}=6p$$

Извадете 6p и от двете страни.

$$p+4+p^{2}-6p=0$$

Групирайте p и -6p, за да получите -5p.

$$-5p+4+p^{2}=0$$

Преобразувайте полинома в стандартна форма. Поставете членовете в ред от най-висока до най-ниска степен.

$$p^{2}-5p+4=0$$

За да се реши уравнението, коефициентът p^{2}-5p+4 с помощта на формула p^{2}+\left(a+b\right)p+ab=\left(p+a\right)\left(p+b\right). За да намерите a и b, настройте система, която да бъде решена.

$$a+b=-5 ab=4$$

Тъй като ab е положителна, a и b имат един и същ знак. Тъй като a+b е отрицателен, a и b са отрицателни. Изброяване на всички тези целочислени двойки, които придават 4 на продукта.

$$-1,-4 -2,-2$$

Изчислете сумата за всяка двойка.

$$-1-4=-5 -2-2=-4$$

Решението е двойката, която дава сума -5.

$$a=-4 b=-1$$

Пренапишете разложения на множители израз \left(p+a\right)\left(p+b\right) с помощта на получените стойности.

$$\left(p-4\right)\left(p-1\right)$$

За да намерите решения за уравнение, решете p-4=0 и p-1=0.

$$p=4 p=1$$

Стъпки с разлагане на множители чрез групиране

Променливата p не може да бъде равна на никоя от стойностите -1,0, тъй като делението на нула не е дефинирано. Умножете и двете страни на уравнението с p\left(p+1\right) – най-малкия общ множител на p^{2}+p,p+1.

$$p+5=1-p\left(p-6\right)$$

Използвайте дистрибутивното свойство, за да умножите p по p-6.

$$p+5=1-\left(p^{2}-6p\right)$$

За да намерите противоположната стойност на p^{2}-6p, намерете противоположната стойност на всеки член.

$$p+5=1-p^{2}+6p$$

Извадете 1 и от двете страни.

$$p+5-1=-p^{2}+6p$$

Извадете 1 от 5, за да получите 4.

$$p+4=-p^{2}+6p$$

Добавете p^{2} от двете страни.

$$p+4+p^{2}=6p$$

Извадете 6p и от двете страни.

$$p+4+p^{2}-6p=0$$

Групирайте p и -6p, за да получите -5p.

$$-5p+4+p^{2}=0$$

Преобразувайте полинома в стандартна форма. Поставете членовете в ред от най-висока до най-ниска степен.

$$p^{2}-5p+4=0$$

За да се реши уравнението, коефициентът е от лявата страна по групи. Първо, лявата страна трябва да бъде пренаписана като p^{2}+ap+bp+4. За да намерите a и b, настройте система, която да бъде решена.

$$a+b=-5 ab=1\times 4=4$$

Тъй като ab е положителна, a и b имат един и същ знак. Тъй като a+b е отрицателен, a и b са отрицателни. Изброяване на всички тези целочислени двойки, които придават 4 на продукта.

$$-1,-4 -2,-2$$

Изчислете сумата за всяка двойка.

$$-1-4=-5 -2-2=-4$$

Решението е двойката, която дава сума -5.

$$a=-4 b=-1$$

Напишете p^{2}-5p+4 като \left(p^{2}-4p\right)+\left(-p+4\right).

$$\left(p^{2}-4p\right)+\left(-p+4\right)$$

Фактор, p в първата и -1 във втората група.

$$p\left(p-4\right)-\left(p-4\right)$$

Разложете на множители общия член p-4, като използвате разпределителното свойство.

$$\left(p-4\right)\left(p-1\right)$$

За да намерите решения за уравнение, решете p-4=0 и p-1=0.

$$p=4 p=1$$

Стъпки с използване на формулата за квадратно уравнение

Променливата p не може да бъде равна на никоя от стойностите -1,0, тъй като делението на нула не е дефинирано. Умножете и двете страни на уравнението с p\left(p+1\right) – най-малкия общ множител на p^{2}+p,p+1.

$$p+5=1-p\left(p-6\right)$$

Използвайте дистрибутивното свойство, за да умножите p по p-6.

$$p+5=1-\left(p^{2}-6p\right)$$

За да намерите противоположната стойност на p^{2}-6p, намерете противоположната стойност на всеки член.

$$p+5=1-p^{2}+6p$$

Извадете 1 и от двете страни.

$$p+5-1=-p^{2}+6p$$

Извадете 1 от 5, за да получите 4.

$$p+4=-p^{2}+6p$$

Добавете p^{2} от двете страни.

$$p+4+p^{2}=6p$$

Извадете 6p и от двете страни.

$$p+4+p^{2}-6p=0$$

Групирайте p и -6p, за да получите -5p.

$$-5p+4+p^{2}=0$$

Всички формули във форма ax^{2}+bx+c=0 може да се решат чрез използване на формулата за корени на квадратното уравнение: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Формулата за корени на квадратното уравнение дава две решения, когато ± е събиране, и едно, когато е изваждане.

$$p^{2}-5p+4=0$$

Това уравнение е в стандартна форма: ax^{2}+bx+c=0. Заместете 1 вместо a, -5 вместо b и 4 вместо c във формулата на квадратното уравнение, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$p=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{\left(-5\right)^{2}-4\times 4}}{2}$$

Повдигане на квадрат на -5.

$$p=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-4\times 4}}{2}$$

Умножете -4 по 4.

$$p=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-16}}{2}$$

Съберете 25 с -16.

$$p=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{9}}{2}$$

Получете корен квадратен от 9.

$$p=\frac{-\left(-5\right)±3}{2}$$

Противоположното на -5 е 5.

$$p=\frac{5±3}{2}$$

Сега решете уравнението p=\frac{5±3}{2}, когато ± е плюс. Съберете 5 с 3.

$$p=\frac{8}{2}$$

Разделете 8 на 2.

$$p=4$$

Сега решете уравнението p=\frac{5±3}{2}, когато ± е минус. Извадете 3 от 5.

$$p=\frac{2}{2}$$

Разделете 2 на 2.

$$p=1$$

Уравнението сега е решено.

$$p=4 p=1$$

Стъпки за допълване до пълен квадрат

Променливата p не може да бъде равна на никоя от стойностите -1,0, тъй като делението на нула не е дефинирано. Умножете и двете страни на уравнението с p\left(p+1\right) – най-малкия общ множител на p^{2}+p,p+1.

$$p+5=1-p\left(p-6\right)$$

Използвайте дистрибутивното свойство, за да умножите p по p-6.

$$p+5=1-\left(p^{2}-6p\right)$$

За да намерите противоположната стойност на p^{2}-6p, намерете противоположната стойност на всеки член.

$$p+5=1-p^{2}+6p$$

Добавете p^{2} от двете страни.

$$p+5+p^{2}=1+6p$$

Извадете 6p и от двете страни.

$$p+5+p^{2}-6p=1$$

Групирайте p и -6p, за да получите -5p.

$$-5p+5+p^{2}=1$$

Извадете 5 и от двете страни.

$$-5p+p^{2}=1-5$$

Извадете 5 от 1, за да получите -4.

$$-5p+p^{2}=-4$$

Квадратни уравнения като това могат да бъде решени чрез допълване до пълен квадрат. За да допълните до пълен квадрат, уравнението трябва първо да бъде във форма x^{2}+bx=c.

$$p^{2}-5p=-4$$

Разделете -5 – коефициента на члена на x – на 2, за да получите -\frac{5}{2}. След това съберете квадрата на -\frac{5}{2} с двете страни на уравнението. С тази стъпка лявата страна на уравнението става точен квадрат.

$$p^{2}-5p+\left(-\frac{5}{2}\right)^{2}=-4+\left(-\frac{5}{2}\right)^{2}$$

Повдигнете на квадрат -\frac{5}{2}, като повдигнете на квадрат и числителя, и знаменателя на дробта.

$$p^{2}-5p+\frac{25}{4}=-4+\frac{25}{4}$$

Съберете -4 с \frac{25}{4}.

$$p^{2}-5p+\frac{25}{4}=\frac{9}{4}$$

Разложете на множител p^{2}-5p+\frac{25}{4}. Като цяло, когато x^{2}+bx+c е точен квадрат, той винаги може да бъде разложен на множител като \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(p-\frac{5}{2}\right)^{2}=\frac{9}{4}$$

Получете корен квадратен от двете страни на равенството.

$$\sqrt{\left(p-\frac{5}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{9}{4}}$$

Опростявайте.

$$p-\frac{5}{2}=\frac{3}{2} p-\frac{5}{2}=-\frac{3}{2}$$

Съберете \frac{5}{2} към двете страни на уравнението.

$$p=4 p=1$$