Решете f/11=g/33text{siendo}f+g=40

$$\frac { f } { 11 } = \frac { g } { 33 } \text { siendo } f + g = 40$$

Решаване за f, g

$$f=10$$

$$g=30$$

Стъпки с използване на субституция

Сметнете първото уравнение. Умножете и двете страни на уравнението с 33 – най-малкия общ множител на 11,33.

$$3f=g$$

Разделете двете страни на 3.

$$f=\frac{1}{3}g$$

Заместете \frac{g}{3} вместо f в другото уравнение, f+g=40.

$$\frac{1}{3}g+g=40$$

Съберете \frac{g}{3} с g.

$$\frac{4}{3}g=40$$

Разделете двете страни на уравнението на \frac{4}{3}, което е същото като умножаване на двете страни по обратната стойност на дробта.

$$g=30$$

Заместете 30 вместо g в f=\frac{1}{3}g. Тъй като полученото уравнение съдържа само една променлива, можете да решавате за f директно.

$$f=\frac{1}{3}\times 30$$

Умножете \frac{1}{3} по 30.

$$f=10$$

Системата сега е решена.

$$f=10,g=30$$

Стъпки с използване на матрици

Сметнете първото уравнение. Умножете и двете страни на уравнението с 33 – най-малкия общ множител на 11,33.

$$3f=g$$

Извадете g и от двете страни.

$$3f-g=0$$

Приведете уравненията в стандартна форма и след това използвайте матрици за решаване на системата уравнения.

$$3f-g=0,f+g=40$$

Напишете уравненията в матрични форма.

$$\left(\begin{matrix}3&-1\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}f\\g\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\40\end{matrix}\right)$$

Умножете лявата страна на уравнението с обратната матрица на \left(\begin{matrix}3&-1\\1&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-1\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}f\\g\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\40\end{matrix}\right)$$

Произведението на една матрица с нейната обратна е единична матрица.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}f\\g\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\40\end{matrix}\right)$$

Умножете матриците от лявата страна на знака за равенство.

$$\left(\begin{matrix}f\\g\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\40\end{matrix}\right)$$

За матрицата 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), обратната матрица е \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), така че матричното уравнение може да се пренапише като задача с умножение на матрици.

$$\left(\begin{matrix}f\\g\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3-\left(-1\right)}&-\frac{-1}{3-\left(-1\right)}\\-\frac{1}{3-\left(-1\right)}&\frac{3}{3-\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\40\end{matrix}\right)$$

Направете сметките.

$$\left(\begin{matrix}f\\g\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&\frac{1}{4}\\-\frac{1}{4}&\frac{3}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\40\end{matrix}\right)$$

Умножете матриците.

$$\left(\begin{matrix}f\\g\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}\times 40\\\frac{3}{4}\times 40\end{matrix}\right)$$

Направете сметките.

$$\left(\begin{matrix}f\\g\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\30\end{matrix}\right)$$

Извлечете елементите на матрицата f and g.

$$f=10,g=30$$

Стъпки за използване на елиминиране

Сметнете първото уравнение. Умножете и двете страни на уравнението с 33 – най-малкия общ множител на 11,33.

$$3f=g$$

Извадете g и от двете страни.

$$3f-g=0$$

За да се реши чрез елиминиране, коефициентите на една от променливите трябва да е една и съща в двете уравнения, така че променливата ще отпадне, когато едното уравнение се извади от другото.

$$3f-g=0,f+g=40$$

За да направите 3f и f равни, умножете всички членове от двете страни на първото уравнение по 1, а всички членове от двете страни на второто по 3.

$$3f-g=0,3f+3g=3\times 40$$

Опростявайте.

$$3f-g=0,3f+3g=120$$

Извадете 3f+3g=120 от 3f-g=0, като извадите подобните членове от двете страни на равенството.

$$3f-3f-g-3g=-120$$

Съберете 3f с -3f. Условията 3f и -3f се отказват, като напуснете уравнение само с една променлива, която може да бъде разрешена.

$$-g-3g=-120$$

Съберете -g с -3g.

$$-4g=-120$$

Разделете двете страни на -4.

$$g=30$$

Заместете 30 вместо g в f+g=40. Тъй като полученото уравнение съдържа само една променлива, можете да решавате за f директно.

$$f+30=40$$

Извадете 30 и от двете страни на уравнението.

$$f=10$$

Системата сега е решена.

$$f=10,g=30$$