Решете 84/x-84/x+2=1

$$\frac { 84 } { x } - \frac { 84 } { x + 2 } = 1$$

Решаване за x

$$x=-14$$

$$x=12$$

Стъпки с разлагане на множители чрез групиране

Променливата x не може да бъде равна на никоя от стойностите -2,0, тъй като делението на нула не е дефинирано. Умножете и двете страни на уравнението с x\left(x+2\right) – най-малкия общ множител на x,x+2.

$$\left(x+2\right)\times 84-x\times 84=x\left(x+2\right)$$

Използвайте дистрибутивното свойство, за да умножите x+2 по 84.

$$84x+168-x\times 84=x\left(x+2\right)$$

Използвайте дистрибутивното свойство, за да умножите x по x+2.

$$84x+168-x\times 84=x^{2}+2x$$

Извадете x^{2} и от двете страни.

$$84x+168-x\times 84-x^{2}=2x$$

Извадете 2x и от двете страни.

$$84x+168-x\times 84-x^{2}-2x=0$$

Групирайте 84x и -2x, за да получите 82x.

$$82x+168-x\times 84-x^{2}=0$$

Умножете -1 по 84, за да получите -84.

$$82x+168-84x-x^{2}=0$$

Групирайте 82x и -84x, за да получите -2x.

$$-2x+168-x^{2}=0$$

Преобразувайте полинома в стандартна форма. Поставете членовете в ред от най-висока до най-ниска степен.

$$-x^{2}-2x+168=0$$

За да се реши уравнението, коефициентът е от лявата страна по групи. Първо, лявата страна трябва да бъде пренаписана като -x^{2}+ax+bx+168. За да намерите a и b, настройте система, която да бъде решена.

$$a+b=-2 ab=-168=-168$$

Тъй като ab е отрицателен, a и b имат противоположни знаци. Тъй като a+b е отрицателно, отрицателното число има по-голяма абсолютна стойност от положителното. Изброяване на всички тези целочислени двойки, които придават -168 на продукта.

$$1,-168 2,-84 3,-56 4,-42 6,-28 7,-24 8,-21 12,-14$$

Изчислете сумата за всяка двойка.

$$1-168=-167 2-84=-82 3-56=-53 4-42=-38 6-28=-22 7-24=-17 8-21=-13 12-14=-2$$

Решението е двойката, която дава сума -2.

$$a=12 b=-14$$

Напишете -x^{2}-2x+168 като \left(-x^{2}+12x\right)+\left(-14x+168\right).

$$\left(-x^{2}+12x\right)+\left(-14x+168\right)$$

Фактор, x в първата и 14 във втората група.

$$x\left(-x+12\right)+14\left(-x+12\right)$$

Разложете на множители общия член -x+12, като използвате разпределителното свойство.

$$\left(-x+12\right)\left(x+14\right)$$

За да намерите решения за уравнение, решете -x+12=0 и x+14=0.

$$x=12 x=-14$$

Стъпки с използване на формулата за квадратно уравнение

Променливата x не може да бъде равна на никоя от стойностите -2,0, тъй като делението на нула не е дефинирано. Умножете и двете страни на уравнението с x\left(x+2\right) – най-малкия общ множител на x,x+2.

$$\left(x+2\right)\times 84-x\times 84=x\left(x+2\right)$$

Използвайте дистрибутивното свойство, за да умножите x+2 по 84.

$$84x+168-x\times 84=x\left(x+2\right)$$

Използвайте дистрибутивното свойство, за да умножите x по x+2.

$$84x+168-x\times 84=x^{2}+2x$$

Извадете x^{2} и от двете страни.

$$84x+168-x\times 84-x^{2}=2x$$

Извадете 2x и от двете страни.

$$84x+168-x\times 84-x^{2}-2x=0$$

Групирайте 84x и -2x, за да получите 82x.

$$82x+168-x\times 84-x^{2}=0$$

Умножете -1 по 84, за да получите -84.

$$82x+168-84x-x^{2}=0$$

Групирайте 82x и -84x, за да получите -2x.

$$-2x+168-x^{2}=0$$

Всички формули във форма ax^{2}+bx+c=0 може да се решат чрез използване на формулата за корени на квадратното уравнение: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Формулата за корени на квадратното уравнение дава две решения, когато ± е събиране, и едно, когато е изваждане.

$$-x^{2}-2x+168=0$$

Това уравнение е в стандартна форма: ax^{2}+bx+c=0. Заместете -1 вместо a, -2 вместо b и 168 вместо c във формулата на квадратното уравнение, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\left(-1\right)\times 168}}{2\left(-1\right)}$$

Повдигане на квадрат на -2.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-4\left(-1\right)\times 168}}{2\left(-1\right)}$$

Умножете -4 по -1.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4+4\times 168}}{2\left(-1\right)}$$

Умножете 4 по 168.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4+672}}{2\left(-1\right)}$$

Съберете 4 с 672.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{676}}{2\left(-1\right)}$$

Получете корен квадратен от 676.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±26}{2\left(-1\right)}$$

Противоположното на -2 е 2.

$$x=\frac{2±26}{2\left(-1\right)}$$

Умножете 2 по -1.

$$x=\frac{2±26}{-2}$$

Сега решете уравнението x=\frac{2±26}{-2}, когато ± е плюс. Съберете 2 с 26.

$$x=\frac{28}{-2}$$

Разделете 28 на -2.

$$x=-14$$

Сега решете уравнението x=\frac{2±26}{-2}, когато ± е минус. Извадете 26 от 2.

$$x=-\frac{24}{-2}$$

Разделете -24 на -2.

$$x=12$$

Уравнението сега е решено.

$$x=-14 x=12$$

Стъпки за допълване до пълен квадрат

Променливата x не може да бъде равна на никоя от стойностите -2,0, тъй като делението на нула не е дефинирано. Умножете и двете страни на уравнението с x\left(x+2\right) – най-малкия общ множител на x,x+2.

$$\left(x+2\right)\times 84-x\times 84=x\left(x+2\right)$$

Използвайте дистрибутивното свойство, за да умножите x+2 по 84.

$$84x+168-x\times 84=x\left(x+2\right)$$

Използвайте дистрибутивното свойство, за да умножите x по x+2.

$$84x+168-x\times 84=x^{2}+2x$$

Извадете x^{2} и от двете страни.

$$84x+168-x\times 84-x^{2}=2x$$

Извадете 2x и от двете страни.

$$84x+168-x\times 84-x^{2}-2x=0$$

Групирайте 84x и -2x, за да получите 82x.

$$82x+168-x\times 84-x^{2}=0$$

Извадете 168 и от двете страни. Нещо, извадено от нула, дава отрицателната му стойност.

$$82x-x\times 84-x^{2}=-168$$

Умножете -1 по 84, за да получите -84.

$$82x-84x-x^{2}=-168$$

Групирайте 82x и -84x, за да получите -2x.

$$-2x-x^{2}=-168$$

Квадратни уравнения като това могат да бъде решени чрез допълване до пълен квадрат. За да допълните до пълен квадрат, уравнението трябва първо да бъде във форма x^{2}+bx=c.

$$-x^{2}-2x=-168$$

Разделете двете страни на -1.

$$\frac{-x^{2}-2x}{-1}=-\frac{168}{-1}$$

Делението на -1 отменя умножението по -1.

$$x^{2}+\left(-\frac{2}{-1}\right)x=-\frac{168}{-1}$$

Разделете -2 на -1.

$$x^{2}+2x=-\frac{168}{-1}$$

Разделете -168 на -1.

$$x^{2}+2x=168$$

Разделете 2 – коефициента на члена на x – на 2, за да получите 1. След това съберете квадрата на 1 с двете страни на уравнението. С тази стъпка лявата страна на уравнението става точен квадрат.

$$x^{2}+2x+1^{2}=168+1^{2}$$

Повдигане на квадрат на 1.

$$x^{2}+2x+1=168+1$$

Съберете 168 с 1.

$$x^{2}+2x+1=169$$

Разложете на множител x^{2}+2x+1. Като цяло, когато x^{2}+bx+c е точен квадрат, той винаги може да бъде разложен на множител като \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+1\right)^{2}=169$$

Получете корен квадратен от двете страни на равенството.

$$\sqrt{\left(x+1\right)^{2}}=\sqrt{169}$$

Опростявайте.

$$x+1=13 x+1=-13$$

Извадете 1 и от двете страни на уравнението.

$$x=12 x=-14$$