Решете 75/x=75/x+15+1/4

$$\frac { 75 } { x } = \frac { 75 } { x + 15 } + \frac { 1 } { 4 }$$

Решаване за x

$$x=-75$$

$$x=60$$

Стъпки с разлагане на множители чрез групиране

Променливата x не може да бъде равна на никоя от стойностите -15,0, тъй като делението на нула не е дефинирано. Умножете и двете страни на уравнението с 4x\left(x+15\right) – най-малкия общ множител на x,x+15,4.

$$\left(4x+60\right)\times 75=4x\times 75+4x\left(x+15\right)\times \frac{1}{4}$$

Използвайте дистрибутивното свойство, за да умножите 4x+60 по 75.

$$300x+4500=4x\times 75+4x\left(x+15\right)\times \frac{1}{4}$$

Умножете 4 по 75, за да получите 300.

$$300x+4500=300x+4x\left(x+15\right)\times \frac{1}{4}$$

Умножете 4 по \frac{1}{4}, за да получите 1.

$$300x+4500=300x+x\left(x+15\right)$$

Използвайте дистрибутивното свойство, за да умножите x по x+15.

$$300x+4500=300x+x^{2}+15x$$

Групирайте 300x и 15x, за да получите 315x.

$$300x+4500=315x+x^{2}$$

Извадете 315x и от двете страни.

$$300x+4500-315x=x^{2}$$

Групирайте 300x и -315x, за да получите -15x.

$$-15x+4500=x^{2}$$

Извадете x^{2} и от двете страни.

$$-15x+4500-x^{2}=0$$

Преобразувайте полинома в стандартна форма. Поставете членовете в ред от най-висока до най-ниска степен.

$$-x^{2}-15x+4500=0$$

За да се реши уравнението, коефициентът е от лявата страна по групи. Първо, лявата страна трябва да бъде пренаписана като -x^{2}+ax+bx+4500. За да намерите a и b, настройте система, която да бъде решена.

$$a+b=-15 ab=-4500=-4500$$

Тъй като ab е отрицателен, a и b имат противоположни знаци. Тъй като a+b е отрицателно, отрицателното число има по-голяма абсолютна стойност от положителното. Изброяване на всички тези целочислени двойки, които придават -4500 на продукта.

$$1,-4500 2,-2250 3,-1500 4,-1125 5,-900 6,-750 9,-500 10,-450 12,-375 15,-300 18,-250 20,-225 25,-180 30,-150 36,-125 45,-100 50,-90 60,-75$$

Изчислете сумата за всяка двойка.

$$1-4500=-4499 2-2250=-2248 3-1500=-1497 4-1125=-1121 5-900=-895 6-750=-744 9-500=-491 10-450=-440 12-375=-363 15-300=-285 18-250=-232 20-225=-205 25-180=-155 30-150=-120 36-125=-89 45-100=-55 50-90=-40 60-75=-15$$

Решението е двойката, която дава сума -15.

$$a=60 b=-75$$

Напишете -x^{2}-15x+4500 като \left(-x^{2}+60x\right)+\left(-75x+4500\right).

$$\left(-x^{2}+60x\right)+\left(-75x+4500\right)$$

Фактор, x в първата и 75 във втората група.

$$x\left(-x+60\right)+75\left(-x+60\right)$$

Разложете на множители общия член -x+60, като използвате разпределителното свойство.

$$\left(-x+60\right)\left(x+75\right)$$

За да намерите решения за уравнение, решете -x+60=0 и x+75=0.

$$x=60 x=-75$$

Стъпки с използване на формулата за квадратно уравнение

Променливата x не може да бъде равна на никоя от стойностите -15,0, тъй като делението на нула не е дефинирано. Умножете и двете страни на уравнението с 4x\left(x+15\right) – най-малкия общ множител на x,x+15,4.

$$\left(4x+60\right)\times 75=4x\times 75+4x\left(x+15\right)\times \frac{1}{4}$$

Използвайте дистрибутивното свойство, за да умножите 4x+60 по 75.

$$300x+4500=4x\times 75+4x\left(x+15\right)\times \frac{1}{4}$$

Умножете 4 по 75, за да получите 300.

$$300x+4500=300x+4x\left(x+15\right)\times \frac{1}{4}$$

Умножете 4 по \frac{1}{4}, за да получите 1.

$$300x+4500=300x+x\left(x+15\right)$$

Използвайте дистрибутивното свойство, за да умножите x по x+15.

$$300x+4500=300x+x^{2}+15x$$

Групирайте 300x и 15x, за да получите 315x.

$$300x+4500=315x+x^{2}$$

Извадете 315x и от двете страни.

$$300x+4500-315x=x^{2}$$

Групирайте 300x и -315x, за да получите -15x.

$$-15x+4500=x^{2}$$

Извадете x^{2} и от двете страни.

$$-15x+4500-x^{2}=0$$

Всички формули във форма ax^{2}+bx+c=0 може да се решат чрез използване на формулата за корени на квадратното уравнение: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Формулата за корени на квадратното уравнение дава две решения, когато ± е събиране, и едно, когато е изваждане.

$$-x^{2}-15x+4500=0$$

Това уравнение е в стандартна форма: ax^{2}+bx+c=0. Заместете -1 вместо a, -15 вместо b и 4500 вместо c във формулата на квадратното уравнение, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{\left(-15\right)^{2}-4\left(-1\right)\times 4500}}{2\left(-1\right)}$$

Повдигане на квадрат на -15.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{225-4\left(-1\right)\times 4500}}{2\left(-1\right)}$$

Умножете -4 по -1.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{225+4\times 4500}}{2\left(-1\right)}$$

Умножете 4 по 4500.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{225+18000}}{2\left(-1\right)}$$

Съберете 225 с 18000.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{18225}}{2\left(-1\right)}$$

Получете корен квадратен от 18225.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±135}{2\left(-1\right)}$$

Противоположното на -15 е 15.

$$x=\frac{15±135}{2\left(-1\right)}$$

Умножете 2 по -1.

$$x=\frac{15±135}{-2}$$

Сега решете уравнението x=\frac{15±135}{-2}, когато ± е плюс. Съберете 15 с 135.

$$x=\frac{150}{-2}$$

Разделете 150 на -2.

$$x=-75$$

Сега решете уравнението x=\frac{15±135}{-2}, когато ± е минус. Извадете 135 от 15.

$$x=-\frac{120}{-2}$$

Разделете -120 на -2.

$$x=60$$

Уравнението сега е решено.

$$x=-75 x=60$$

Стъпки за допълване до пълен квадрат

Променливата x не може да бъде равна на никоя от стойностите -15,0, тъй като делението на нула не е дефинирано. Умножете и двете страни на уравнението с 4x\left(x+15\right) – най-малкия общ множител на x,x+15,4.

$$\left(4x+60\right)\times 75=4x\times 75+4x\left(x+15\right)\times \frac{1}{4}$$

Използвайте дистрибутивното свойство, за да умножите 4x+60 по 75.

$$300x+4500=4x\times 75+4x\left(x+15\right)\times \frac{1}{4}$$

Умножете 4 по 75, за да получите 300.

$$300x+4500=300x+4x\left(x+15\right)\times \frac{1}{4}$$

Умножете 4 по \frac{1}{4}, за да получите 1.

$$300x+4500=300x+x\left(x+15\right)$$

Използвайте дистрибутивното свойство, за да умножите x по x+15.

$$300x+4500=300x+x^{2}+15x$$

Групирайте 300x и 15x, за да получите 315x.

$$300x+4500=315x+x^{2}$$

Извадете 315x и от двете страни.

$$300x+4500-315x=x^{2}$$

Групирайте 300x и -315x, за да получите -15x.

$$-15x+4500=x^{2}$$

Извадете x^{2} и от двете страни.

$$-15x+4500-x^{2}=0$$

Извадете 4500 и от двете страни. Нещо, извадено от нула, дава отрицателната му стойност.

$$-15x-x^{2}=-4500$$

Квадратни уравнения като това могат да бъде решени чрез допълване до пълен квадрат. За да допълните до пълен квадрат, уравнението трябва първо да бъде във форма x^{2}+bx=c.

$$-x^{2}-15x=-4500$$

Разделете двете страни на -1.

$$\frac{-x^{2}-15x}{-1}=-\frac{4500}{-1}$$

Делението на -1 отменя умножението по -1.

$$x^{2}+\left(-\frac{15}{-1}\right)x=-\frac{4500}{-1}$$

Разделете -15 на -1.

$$x^{2}+15x=-\frac{4500}{-1}$$

Разделете -4500 на -1.

$$x^{2}+15x=4500$$

Разделете 15 – коефициента на члена на x – на 2, за да получите \frac{15}{2}. След това съберете квадрата на \frac{15}{2} с двете страни на уравнението. С тази стъпка лявата страна на уравнението става точен квадрат.

$$x^{2}+15x+\left(\frac{15}{2}\right)^{2}=4500+\left(\frac{15}{2}\right)^{2}$$

Повдигнете на квадрат \frac{15}{2}, като повдигнете на квадрат и числителя, и знаменателя на дробта.

$$x^{2}+15x+\frac{225}{4}=4500+\frac{225}{4}$$

Съберете 4500 с \frac{225}{4}.

$$x^{2}+15x+\frac{225}{4}=\frac{18225}{4}$$

Разложете на множител x^{2}+15x+\frac{225}{4}. Като цяло, когато x^{2}+bx+c е точен квадрат, той винаги може да бъде разложен на множител като \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{15}{2}\right)^{2}=\frac{18225}{4}$$

Получете корен квадратен от двете страни на равенството.

$$\sqrt{\left(x+\frac{15}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{18225}{4}}$$

Опростявайте.

$$x+\frac{15}{2}=\frac{135}{2} x+\frac{15}{2}=-\frac{135}{2}$$

Извадете \frac{15}{2} и от двете страни на уравнението.

$$x=60 x=-75$$