Решете 60/x+10+60/x-10=8

$$\frac { 60 } { x + 10 } + \frac { 60 } { x - 10 } = 8$$

Решаване за x

$$x=-5$$

$$x=20$$

Стъпки с използване на формулата за квадратно уравнение

Променливата x не може да бъде равна на никоя от стойностите -10,10, тъй като делението на нула не е дефинирано. Умножете и двете страни на уравнението с \left(x-10\right)\left(x+10\right) – най-малкия общ множител на x+10,x-10.

$$\left(x-10\right)\times 60+\left(x+10\right)\times 60=8\left(x-10\right)\left(x+10\right)$$

Използвайте дистрибутивното свойство, за да умножите x-10 по 60.

$$60x-600+\left(x+10\right)\times 60=8\left(x-10\right)\left(x+10\right)$$

Използвайте дистрибутивното свойство, за да умножите x+10 по 60.

$$60x-600+60x+600=8\left(x-10\right)\left(x+10\right)$$

Групирайте 60x и 60x, за да получите 120x.

$$120x-600+600=8\left(x-10\right)\left(x+10\right)$$

Съберете -600 и 600, за да се получи 0.

$$120x=8\left(x-10\right)\left(x+10\right)$$

Използвайте дистрибутивното свойство, за да умножите 8 по x-10.

$$120x=\left(8x-80\right)\left(x+10\right)$$

Използвайте дистрибутивното свойство, за да умножите 8x-80 по x+10 и да групирате подобните членове.

$$120x=8x^{2}-800$$

Извадете 8x^{2} и от двете страни.

$$120x-8x^{2}=-800$$

Добавете 800 от двете страни.

$$120x-8x^{2}+800=0$$

Всички формули във форма ax^{2}+bx+c=0 може да се решат чрез използване на формулата за корени на квадратното уравнение: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Формулата за корени на квадратното уравнение дава две решения, когато ± е събиране, и едно, когато е изваждане.

$$-8x^{2}+120x+800=0$$

Това уравнение е в стандартна форма: ax^{2}+bx+c=0. Заместете -8 вместо a, 120 вместо b и 800 вместо c във формулата на квадратното уравнение, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-120±\sqrt{120^{2}-4\left(-8\right)\times 800}}{2\left(-8\right)}$$

Повдигане на квадрат на 120.

$$x=\frac{-120±\sqrt{14400-4\left(-8\right)\times 800}}{2\left(-8\right)}$$

Умножете -4 по -8.

$$x=\frac{-120±\sqrt{14400+32\times 800}}{2\left(-8\right)}$$

Умножете 32 по 800.

$$x=\frac{-120±\sqrt{14400+25600}}{2\left(-8\right)}$$

Съберете 14400 с 25600.

$$x=\frac{-120±\sqrt{40000}}{2\left(-8\right)}$$

Получете корен квадратен от 40000.

$$x=\frac{-120±200}{2\left(-8\right)}$$

Умножете 2 по -8.

$$x=\frac{-120±200}{-16}$$

Сега решете уравнението x=\frac{-120±200}{-16}, когато ± е плюс. Съберете -120 с 200.

$$x=\frac{80}{-16}$$

Разделете 80 на -16.

$$x=-5$$

Сега решете уравнението x=\frac{-120±200}{-16}, когато ± е минус. Извадете 200 от -120.

$$x=-\frac{320}{-16}$$

Разделете -320 на -16.

$$x=20$$

Уравнението сега е решено.

$$x=-5 x=20$$

Стъпки за допълване до пълен квадрат

Променливата x не може да бъде равна на никоя от стойностите -10,10, тъй като делението на нула не е дефинирано. Умножете и двете страни на уравнението с \left(x-10\right)\left(x+10\right) – най-малкия общ множител на x+10,x-10.

$$\left(x-10\right)\times 60+\left(x+10\right)\times 60=8\left(x-10\right)\left(x+10\right)$$

Използвайте дистрибутивното свойство, за да умножите x-10 по 60.

$$60x-600+\left(x+10\right)\times 60=8\left(x-10\right)\left(x+10\right)$$

Използвайте дистрибутивното свойство, за да умножите x+10 по 60.

$$60x-600+60x+600=8\left(x-10\right)\left(x+10\right)$$

Групирайте 60x и 60x, за да получите 120x.

$$120x-600+600=8\left(x-10\right)\left(x+10\right)$$

Съберете -600 и 600, за да се получи 0.

$$120x=8\left(x-10\right)\left(x+10\right)$$

Използвайте дистрибутивното свойство, за да умножите 8 по x-10.

$$120x=\left(8x-80\right)\left(x+10\right)$$

Използвайте дистрибутивното свойство, за да умножите 8x-80 по x+10 и да групирате подобните членове.

$$120x=8x^{2}-800$$

Извадете 8x^{2} и от двете страни.

$$120x-8x^{2}=-800$$

Квадратни уравнения като това могат да бъде решени чрез допълване до пълен квадрат. За да допълните до пълен квадрат, уравнението трябва първо да бъде във форма x^{2}+bx=c.

$$-8x^{2}+120x=-800$$

Разделете двете страни на -8.

$$\frac{-8x^{2}+120x}{-8}=-\frac{800}{-8}$$

Делението на -8 отменя умножението по -8.

$$x^{2}+\frac{120}{-8}x=-\frac{800}{-8}$$

Разделете 120 на -8.

$$x^{2}-15x=-\frac{800}{-8}$$

Разделете -800 на -8.

$$x^{2}-15x=100$$

Разделете -15 – коефициента на члена на x – на 2, за да получите -\frac{15}{2}. След това съберете квадрата на -\frac{15}{2} с двете страни на уравнението. С тази стъпка лявата страна на уравнението става точен квадрат.

$$x^{2}-15x+\left(-\frac{15}{2}\right)^{2}=100+\left(-\frac{15}{2}\right)^{2}$$

Повдигнете на квадрат -\frac{15}{2}, като повдигнете на квадрат и числителя, и знаменателя на дробта.

$$x^{2}-15x+\frac{225}{4}=100+\frac{225}{4}$$

Съберете 100 с \frac{225}{4}.

$$x^{2}-15x+\frac{225}{4}=\frac{625}{4}$$

Разложете на множител x^{2}-15x+\frac{225}{4}. Като цяло, когато x^{2}+bx+c е точен квадрат, той винаги може да бъде разложен на множител като \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{15}{2}\right)^{2}=\frac{625}{4}$$

Получете корен квадратен от двете страни на равенството.

$$\sqrt{\left(x-\frac{15}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{625}{4}}$$

Опростявайте.

$$x-\frac{15}{2}=\frac{25}{2} x-\frac{15}{2}=-\frac{25}{2}$$

Съберете \frac{15}{2} към двете страни на уравнението.

$$x=20 x=-5$$