Решете 57/16t^2-85/16t=-250

$$\frac { 57 } { 16 } t ^ { 2 } - \frac { 85 } { 16 } t = - 250$$

Решаване за t

$$t=\frac{85+5\sqrt{36191}i}{114}\approx 0,745614035+8,343829954i$$

$$t=\frac{-5\sqrt{36191}i+85}{114}\approx 0,745614035-8,343829954i$$

Стъпки с използване на формулата за квадратно уравнение

Всички формули във форма ax^{2}+bx+c=0 може да се решат чрез използване на формулата за корени на квадратното уравнение: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Формулата за корени на квадратното уравнение дава две решения, когато ± е събиране, и едно, когато е изваждане.

$$\frac{57}{16}t^{2}-\frac{85}{16}t=-250$$

Съберете 250 към двете страни на уравнението.

$$\frac{57}{16}t^{2}-\frac{85}{16}t-\left(-250\right)=-250-\left(-250\right)$$

Изваждане на -250 от самото него дава 0.

$$\frac{57}{16}t^{2}-\frac{85}{16}t-\left(-250\right)=0$$

Извадете -250 от 0.

$$\frac{57}{16}t^{2}-\frac{85}{16}t+250=0$$

Това уравнение е в стандартна форма: ax^{2}+bx+c=0. Заместете \frac{57}{16} вместо a, -\frac{85}{16} вместо b и 250 вместо c във формулата на квадратното уравнение, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$t=\frac{-\left(-\frac{85}{16}\right)±\sqrt{\left(-\frac{85}{16}\right)^{2}-4\times \frac{57}{16}\times 250}}{2\times \frac{57}{16}}$$

Повдигнете на квадрат -\frac{85}{16}, като повдигнете на квадрат и числителя, и знаменателя на дробта.

$$t=\frac{-\left(-\frac{85}{16}\right)±\sqrt{\frac{7225}{256}-4\times \frac{57}{16}\times 250}}{2\times \frac{57}{16}}$$

Умножете -4 по \frac{57}{16}.

$$t=\frac{-\left(-\frac{85}{16}\right)±\sqrt{\frac{7225}{256}-\frac{57}{4}\times 250}}{2\times \frac{57}{16}}$$

Умножете -\frac{57}{4} по 250.

$$t=\frac{-\left(-\frac{85}{16}\right)±\sqrt{\frac{7225}{256}-\frac{7125}{2}}}{2\times \frac{57}{16}}$$

Съберете \frac{7225}{256} и -\frac{7125}{2}, като намерите общ знаменател и съберете числителите. След това съкращавате дробта до най-прости членове, ако е възможно.

$$t=\frac{-\left(-\frac{85}{16}\right)±\sqrt{-\frac{904775}{256}}}{2\times \frac{57}{16}}$$

Получете корен квадратен от -\frac{904775}{256}.

$$t=\frac{-\left(-\frac{85}{16}\right)±\frac{5\sqrt{36191}i}{16}}{2\times \frac{57}{16}}$$

Противоположното на -\frac{85}{16} е \frac{85}{16}.

$$t=\frac{\frac{85}{16}±\frac{5\sqrt{36191}i}{16}}{2\times \frac{57}{16}}$$

Умножете 2 по \frac{57}{16}.

$$t=\frac{\frac{85}{16}±\frac{5\sqrt{36191}i}{16}}{\frac{57}{8}}$$

Сега решете уравнението t=\frac{\frac{85}{16}±\frac{5\sqrt{36191}i}{16}}{\frac{57}{8}}, когато ± е плюс. Съберете \frac{85}{16} с \frac{5i\sqrt{36191}}{16}.

$$t=\frac{85+5\sqrt{36191}i}{\frac{57}{8}\times 16}$$

Разделете \frac{85+5i\sqrt{36191}}{16} на \frac{57}{8} чрез умножаване на \frac{85+5i\sqrt{36191}}{16} по обратната стойност на \frac{57}{8}.

$$t=\frac{85+5\sqrt{36191}i}{114}$$

Сега решете уравнението t=\frac{\frac{85}{16}±\frac{5\sqrt{36191}i}{16}}{\frac{57}{8}}, когато ± е минус. Извадете \frac{5i\sqrt{36191}}{16} от \frac{85}{16}.

$$t=\frac{-5\sqrt{36191}i+85}{\frac{57}{8}\times 16}$$

Разделете \frac{85-5i\sqrt{36191}}{16} на \frac{57}{8} чрез умножаване на \frac{85-5i\sqrt{36191}}{16} по обратната стойност на \frac{57}{8}.

$$t=\frac{-5\sqrt{36191}i+85}{114}$$

Уравнението сега е решено.

$$t=\frac{85+5\sqrt{36191}i}{114} t=\frac{-5\sqrt{36191}i+85}{114}$$

Стъпки за допълване до пълен квадрат

Квадратни уравнения като това могат да бъде решени чрез допълване до пълен квадрат. За да допълните до пълен квадрат, уравнението трябва първо да бъде във форма x^{2}+bx=c.

$$\frac{57}{16}t^{2}-\frac{85}{16}t=-250$$

Разделете двете страни на уравнението на \frac{57}{16}, което е същото като умножаване на двете страни по обратната стойност на дробта.

$$\frac{\frac{57}{16}t^{2}-\frac{85}{16}t}{\frac{57}{16}}=-\frac{250}{\frac{57}{16}}$$

Делението на \frac{57}{16} отменя умножението по \frac{57}{16}.

$$t^{2}+\left(-\frac{\frac{85}{16}}{\frac{57}{16}}\right)t=-\frac{250}{\frac{57}{16}}$$

Разделете -\frac{85}{16} на \frac{57}{16} чрез умножаване на -\frac{85}{16} по обратната стойност на \frac{57}{16}.

$$t^{2}-\frac{85}{57}t=-\frac{250}{\frac{57}{16}}$$

Разделете -250 на \frac{57}{16} чрез умножаване на -250 по обратната стойност на \frac{57}{16}.

$$t^{2}-\frac{85}{57}t=-\frac{4000}{57}$$

Разделете -\frac{85}{57} – коефициента на члена на x – на 2, за да получите -\frac{85}{114}. След това съберете квадрата на -\frac{85}{114} с двете страни на уравнението. С тази стъпка лявата страна на уравнението става точен квадрат.

$$t^{2}-\frac{85}{57}t+\left(-\frac{85}{114}\right)^{2}=-\frac{4000}{57}+\left(-\frac{85}{114}\right)^{2}$$

Повдигнете на квадрат -\frac{85}{114}, като повдигнете на квадрат и числителя, и знаменателя на дробта.

$$t^{2}-\frac{85}{57}t+\frac{7225}{12996}=-\frac{4000}{57}+\frac{7225}{12996}$$

Съберете -\frac{4000}{57} и \frac{7225}{12996}, като намерите общ знаменател и съберете числителите. След това съкращавате дробта до най-прости членове, ако е възможно.

$$t^{2}-\frac{85}{57}t+\frac{7225}{12996}=-\frac{904775}{12996}$$

Разложете на множител t^{2}-\frac{85}{57}t+\frac{7225}{12996}. Като цяло, когато x^{2}+bx+c е точен квадрат, той винаги може да бъде разложен на множител като \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(t-\frac{85}{114}\right)^{2}=-\frac{904775}{12996}$$

Получете корен квадратен от двете страни на равенството.

$$\sqrt{\left(t-\frac{85}{114}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{904775}{12996}}$$

Опростявайте.

$$t-\frac{85}{114}=\frac{5\sqrt{36191}i}{114} t-\frac{85}{114}=-\frac{5\sqrt{36191}i}{114}$$

Съберете \frac{85}{114} към двете страни на уравнението.

$$t=\frac{85+5\sqrt{36191}i}{114} t=\frac{-5\sqrt{36191}i+85}{114}$$