Решете 560/x-2-450/x=10

$$\frac { 560 } { x - 2 } - \frac { 450 } { x } = 10$$

Решаване за x

$$x=-5$$

$$x=18$$

Стъпки с разлагане на множители чрез групиране

Променливата x не може да бъде равна на никоя от стойностите 0,2, тъй като делението на нула не е дефинирано. Умножете и двете страни на уравнението с x\left(x-2\right) – най-малкия общ множител на x-2,x.

$$x\times 560-\left(x-2\right)\times 450=10x\left(x-2\right)$$

Използвайте дистрибутивното свойство, за да умножите x-2 по 450.

$$x\times 560-\left(450x-900\right)=10x\left(x-2\right)$$

За да намерите противоположната стойност на 450x-900, намерете противоположната стойност на всеки член.

$$x\times 560-450x+900=10x\left(x-2\right)$$

Групирайте x\times 560 и -450x, за да получите 110x.

$$110x+900=10x\left(x-2\right)$$

Използвайте дистрибутивното свойство, за да умножите 10x по x-2.

$$110x+900=10x^{2}-20x$$

Извадете 10x^{2} и от двете страни.

$$110x+900-10x^{2}=-20x$$

Добавете 20x от двете страни.

$$110x+900-10x^{2}+20x=0$$

Групирайте 110x и 20x, за да получите 130x.

$$130x+900-10x^{2}=0$$

Разделете двете страни на 10.

$$13x+90-x^{2}=0$$

Преобразувайте полинома в стандартна форма. Поставете членовете в ред от най-висока до най-ниска степен.

$$-x^{2}+13x+90=0$$

За да се реши уравнението, коефициентът е от лявата страна по групи. Първо, лявата страна трябва да бъде пренаписана като -x^{2}+ax+bx+90. За да намерите a и b, настройте система, която да бъде решена.

$$a+b=13 ab=-90=-90$$

Тъй като ab е отрицателен, a и b имат противоположни знаци. Тъй като a+b е положително, положителното число има по-голяма абсолютна стойност от отрицателното. Изброяване на всички тези целочислени двойки, които придават -90 на продукта.

$$-1,90 -2,45 -3,30 -5,18 -6,15 -9,10$$

Изчислете сумата за всяка двойка.

$$-1+90=89 -2+45=43 -3+30=27 -5+18=13 -6+15=9 -9+10=1$$

Решението е двойката, която дава сума 13.

$$a=18 b=-5$$

Напишете -x^{2}+13x+90 като \left(-x^{2}+18x\right)+\left(-5x+90\right).

$$\left(-x^{2}+18x\right)+\left(-5x+90\right)$$

Фактор, -x в първата и -5 във втората група.

$$-x\left(x-18\right)-5\left(x-18\right)$$

Разложете на множители общия член x-18, като използвате разпределителното свойство.

$$\left(x-18\right)\left(-x-5\right)$$

За да намерите решения за уравнение, решете x-18=0 и -x-5=0.

$$x=18 x=-5$$

Стъпки с използване на формулата за квадратно уравнение

Променливата x не може да бъде равна на никоя от стойностите 0,2, тъй като делението на нула не е дефинирано. Умножете и двете страни на уравнението с x\left(x-2\right) – най-малкия общ множител на x-2,x.

$$x\times 560-\left(x-2\right)\times 450=10x\left(x-2\right)$$

Използвайте дистрибутивното свойство, за да умножите x-2 по 450.

$$x\times 560-\left(450x-900\right)=10x\left(x-2\right)$$

За да намерите противоположната стойност на 450x-900, намерете противоположната стойност на всеки член.

$$x\times 560-450x+900=10x\left(x-2\right)$$

Групирайте x\times 560 и -450x, за да получите 110x.

$$110x+900=10x\left(x-2\right)$$

Използвайте дистрибутивното свойство, за да умножите 10x по x-2.

$$110x+900=10x^{2}-20x$$

Извадете 10x^{2} и от двете страни.

$$110x+900-10x^{2}=-20x$$

Добавете 20x от двете страни.

$$110x+900-10x^{2}+20x=0$$

Групирайте 110x и 20x, за да получите 130x.

$$130x+900-10x^{2}=0$$

Всички формули във форма ax^{2}+bx+c=0 може да се решат чрез използване на формулата за корени на квадратното уравнение: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Формулата за корени на квадратното уравнение дава две решения, когато ± е събиране, и едно, когато е изваждане.

$$-10x^{2}+130x+900=0$$

Това уравнение е в стандартна форма: ax^{2}+bx+c=0. Заместете -10 вместо a, 130 вместо b и 900 вместо c във формулата на квадратното уравнение, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-130±\sqrt{130^{2}-4\left(-10\right)\times 900}}{2\left(-10\right)}$$

Повдигане на квадрат на 130.

$$x=\frac{-130±\sqrt{16900-4\left(-10\right)\times 900}}{2\left(-10\right)}$$

Умножете -4 по -10.

$$x=\frac{-130±\sqrt{16900+40\times 900}}{2\left(-10\right)}$$

Умножете 40 по 900.

$$x=\frac{-130±\sqrt{16900+36000}}{2\left(-10\right)}$$

Съберете 16900 с 36000.

$$x=\frac{-130±\sqrt{52900}}{2\left(-10\right)}$$

Получете корен квадратен от 52900.

$$x=\frac{-130±230}{2\left(-10\right)}$$

Умножете 2 по -10.

$$x=\frac{-130±230}{-20}$$

Сега решете уравнението x=\frac{-130±230}{-20}, когато ± е плюс. Съберете -130 с 230.

$$x=\frac{100}{-20}$$

Разделете 100 на -20.

$$x=-5$$

Сега решете уравнението x=\frac{-130±230}{-20}, когато ± е минус. Извадете 230 от -130.

$$x=-\frac{360}{-20}$$

Разделете -360 на -20.

$$x=18$$

Уравнението сега е решено.

$$x=-5 x=18$$

Стъпки за допълване до пълен квадрат

Променливата x не може да бъде равна на никоя от стойностите 0,2, тъй като делението на нула не е дефинирано. Умножете и двете страни на уравнението с x\left(x-2\right) – най-малкия общ множител на x-2,x.

$$x\times 560-\left(x-2\right)\times 450=10x\left(x-2\right)$$

Използвайте дистрибутивното свойство, за да умножите x-2 по 450.

$$x\times 560-\left(450x-900\right)=10x\left(x-2\right)$$

За да намерите противоположната стойност на 450x-900, намерете противоположната стойност на всеки член.

$$x\times 560-450x+900=10x\left(x-2\right)$$

Групирайте x\times 560 и -450x, за да получите 110x.

$$110x+900=10x\left(x-2\right)$$

Използвайте дистрибутивното свойство, за да умножите 10x по x-2.

$$110x+900=10x^{2}-20x$$

Извадете 10x^{2} и от двете страни.

$$110x+900-10x^{2}=-20x$$

Добавете 20x от двете страни.

$$110x+900-10x^{2}+20x=0$$

Групирайте 110x и 20x, за да получите 130x.

$$130x+900-10x^{2}=0$$

Извадете 900 и от двете страни. Нещо, извадено от нула, дава отрицателната му стойност.

$$130x-10x^{2}=-900$$

Квадратни уравнения като това могат да бъде решени чрез допълване до пълен квадрат. За да допълните до пълен квадрат, уравнението трябва първо да бъде във форма x^{2}+bx=c.

$$-10x^{2}+130x=-900$$

Разделете двете страни на -10.

$$\frac{-10x^{2}+130x}{-10}=-\frac{900}{-10}$$

Делението на -10 отменя умножението по -10.

$$x^{2}+\frac{130}{-10}x=-\frac{900}{-10}$$

Разделете 130 на -10.

$$x^{2}-13x=-\frac{900}{-10}$$

Разделете -900 на -10.

$$x^{2}-13x=90$$

Разделете -13 – коефициента на члена на x – на 2, за да получите -\frac{13}{2}. След това съберете квадрата на -\frac{13}{2} с двете страни на уравнението. С тази стъпка лявата страна на уравнението става точен квадрат.

$$x^{2}-13x+\left(-\frac{13}{2}\right)^{2}=90+\left(-\frac{13}{2}\right)^{2}$$

Повдигнете на квадрат -\frac{13}{2}, като повдигнете на квадрат и числителя, и знаменателя на дробта.

$$x^{2}-13x+\frac{169}{4}=90+\frac{169}{4}$$

Съберете 90 с \frac{169}{4}.

$$x^{2}-13x+\frac{169}{4}=\frac{529}{4}$$

Разложете на множител x^{2}-13x+\frac{169}{4}. Като цяло, когато x^{2}+bx+c е точен квадрат, той винаги може да бъде разложен на множител като \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{13}{2}\right)^{2}=\frac{529}{4}$$

Получете корен квадратен от двете страни на равенството.

$$\sqrt{\left(x-\frac{13}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{529}{4}}$$

Опростявайте.

$$x-\frac{13}{2}=\frac{23}{2} x-\frac{13}{2}=-\frac{23}{2}$$

Съберете \frac{13}{2} към двете страни на уравнението.

$$x=18 x=-5$$