Решете 5/x-3-x-1/x-2=7

$$\frac { 5 } { x - 3 } - \frac { x - 1 } { x - 2 } = 7$$

Решаване за x

$$x = \frac{\sqrt{11} + 11}{4} \approx 3,579156198$$

$$x = \frac{11 - \sqrt{11}}{4} \approx 1,920843802$$

Стъпки с използване на формулата за квадратно уравнение

Променливата x не може да бъде равна на никоя от стойностите 2,3, тъй като делението на нула не е дефинирано. Умножете и двете страни на уравнението с \left(x-3\right)\left(x-2\right) – най-малкия общ множител на x-3,x-2.

$$\left(x-2\right)\times 5-\left(x-3\right)\left(x-1\right)=7\left(x-3\right)\left(x-2\right)$$

Използвайте дистрибутивното свойство, за да умножите x-2 по 5.

$$5x-10-\left(x-3\right)\left(x-1\right)=7\left(x-3\right)\left(x-2\right)$$

Използвайте дистрибутивното свойство, за да умножите x-3 по x-1 и да групирате подобните членове.

$$5x-10-\left(x^{2}-4x+3\right)=7\left(x-3\right)\left(x-2\right)$$

За да намерите противоположната стойност на x^{2}-4x+3, намерете противоположната стойност на всеки член.

$$5x-10-x^{2}+4x-3=7\left(x-3\right)\left(x-2\right)$$

Групирайте 5x и 4x, за да получите 9x.

$$9x-10-x^{2}-3=7\left(x-3\right)\left(x-2\right)$$

Извадете 3 от -10, за да получите -13.

$$9x-13-x^{2}=7\left(x-3\right)\left(x-2\right)$$

Използвайте дистрибутивното свойство, за да умножите 7 по x-3.

$$9x-13-x^{2}=\left(7x-21\right)\left(x-2\right)$$

Използвайте дистрибутивното свойство, за да умножите 7x-21 по x-2 и да групирате подобните членове.

$$9x-13-x^{2}=7x^{2}-35x+42$$

Извадете 7x^{2} и от двете страни.

$$9x-13-x^{2}-7x^{2}=-35x+42$$

Групирайте -x^{2} и -7x^{2}, за да получите -8x^{2}.

$$9x-13-8x^{2}=-35x+42$$

Добавете 35x от двете страни.

$$9x-13-8x^{2}+35x=42$$

Групирайте 9x и 35x, за да получите 44x.

$$44x-13-8x^{2}=42$$

Извадете 42 и от двете страни.

$$44x-13-8x^{2}-42=0$$

Извадете 42 от -13, за да получите -55.

$$44x-55-8x^{2}=0$$

Всички формули във форма ax^{2}+bx+c=0 може да се решат чрез използване на формулата за корени на квадратното уравнение: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Формулата за корени на квадратното уравнение дава две решения, когато ± е събиране, и едно, когато е изваждане.

$$-8x^{2}+44x-55=0$$

Това уравнение е в стандартна форма: ax^{2}+bx+c=0. Заместете -8 вместо a, 44 вместо b и -55 вместо c във формулата на квадратното уравнение, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-44±\sqrt{44^{2}-4\left(-8\right)\left(-55\right)}}{2\left(-8\right)}$$

Повдигане на квадрат на 44.

$$x=\frac{-44±\sqrt{1936-4\left(-8\right)\left(-55\right)}}{2\left(-8\right)}$$

Умножете -4 по -8.

$$x=\frac{-44±\sqrt{1936+32\left(-55\right)}}{2\left(-8\right)}$$

Умножете 32 по -55.

$$x=\frac{-44±\sqrt{1936-1760}}{2\left(-8\right)}$$

Съберете 1936 с -1760.

$$x=\frac{-44±\sqrt{176}}{2\left(-8\right)}$$

Получете корен квадратен от 176.

$$x=\frac{-44±4\sqrt{11}}{2\left(-8\right)}$$

Умножете 2 по -8.

$$x=\frac{-44±4\sqrt{11}}{-16}$$

Сега решете уравнението x=\frac{-44±4\sqrt{11}}{-16}, когато ± е плюс. Съберете -44 с 4\sqrt{11}.

$$x=\frac{4\sqrt{11}-44}{-16}$$

Разделете -44+4\sqrt{11} на -16.

$$x=\frac{11-\sqrt{11}}{4}$$

Сега решете уравнението x=\frac{-44±4\sqrt{11}}{-16}, когато ± е минус. Извадете 4\sqrt{11} от -44.

$$x=\frac{-4\sqrt{11}-44}{-16}$$

Разделете -44-4\sqrt{11} на -16.

$$x=\frac{\sqrt{11}+11}{4}$$

Уравнението сега е решено.

$$x=\frac{11-\sqrt{11}}{4} x=\frac{\sqrt{11}+11}{4}$$

Стъпки за допълване до пълен квадрат

Променливата x не може да бъде равна на никоя от стойностите 2,3, тъй като делението на нула не е дефинирано. Умножете и двете страни на уравнението с \left(x-3\right)\left(x-2\right) – най-малкия общ множител на x-3,x-2.

$$\left(x-2\right)\times 5-\left(x-3\right)\left(x-1\right)=7\left(x-3\right)\left(x-2\right)$$

Използвайте дистрибутивното свойство, за да умножите x-2 по 5.

$$5x-10-\left(x-3\right)\left(x-1\right)=7\left(x-3\right)\left(x-2\right)$$

Използвайте дистрибутивното свойство, за да умножите x-3 по x-1 и да групирате подобните членове.

$$5x-10-\left(x^{2}-4x+3\right)=7\left(x-3\right)\left(x-2\right)$$

За да намерите противоположната стойност на x^{2}-4x+3, намерете противоположната стойност на всеки член.

$$5x-10-x^{2}+4x-3=7\left(x-3\right)\left(x-2\right)$$

Групирайте 5x и 4x, за да получите 9x.

$$9x-10-x^{2}-3=7\left(x-3\right)\left(x-2\right)$$

Извадете 3 от -10, за да получите -13.

$$9x-13-x^{2}=7\left(x-3\right)\left(x-2\right)$$

Използвайте дистрибутивното свойство, за да умножите 7 по x-3.

$$9x-13-x^{2}=\left(7x-21\right)\left(x-2\right)$$

Използвайте дистрибутивното свойство, за да умножите 7x-21 по x-2 и да групирате подобните членове.

$$9x-13-x^{2}=7x^{2}-35x+42$$

Извадете 7x^{2} и от двете страни.

$$9x-13-x^{2}-7x^{2}=-35x+42$$

Групирайте -x^{2} и -7x^{2}, за да получите -8x^{2}.

$$9x-13-8x^{2}=-35x+42$$

Добавете 35x от двете страни.

$$9x-13-8x^{2}+35x=42$$

Групирайте 9x и 35x, за да получите 44x.

$$44x-13-8x^{2}=42$$

Добавете 13 от двете страни.

$$44x-8x^{2}=42+13$$

Съберете 42 и 13, за да се получи 55.

$$44x-8x^{2}=55$$

Квадратни уравнения като това могат да бъде решени чрез допълване до пълен квадрат. За да допълните до пълен квадрат, уравнението трябва първо да бъде във форма x^{2}+bx=c.

$$-8x^{2}+44x=55$$

Разделете двете страни на -8.

$$\frac{-8x^{2}+44x}{-8}=\frac{55}{-8}$$

Делението на -8 отменя умножението по -8.

$$x^{2}+\frac{44}{-8}x=\frac{55}{-8}$$

Намаляване на дробта \frac{44}{-8} до най-малките членове чрез извличане на корен и съкращаване на 4.

$$x^{2}-\frac{11}{2}x=\frac{55}{-8}$$

Разделете 55 на -8.

$$x^{2}-\frac{11}{2}x=-\frac{55}{8}$$

Разделете -\frac{11}{2} – коефициента на члена на x – на 2, за да получите -\frac{11}{4}. След това съберете квадрата на -\frac{11}{4} с двете страни на уравнението. С тази стъпка лявата страна на уравнението става точен квадрат.

$$x^{2}-\frac{11}{2}x+\left(-\frac{11}{4}\right)^{2}=-\frac{55}{8}+\left(-\frac{11}{4}\right)^{2}$$

Повдигнете на квадрат -\frac{11}{4}, като повдигнете на квадрат и числителя, и знаменателя на дробта.

$$x^{2}-\frac{11}{2}x+\frac{121}{16}=-\frac{55}{8}+\frac{121}{16}$$

Съберете -\frac{55}{8} и \frac{121}{16}, като намерите общ знаменател и съберете числителите. След това съкращавате дробта до най-прости членове, ако е възможно.

$$x^{2}-\frac{11}{2}x+\frac{121}{16}=\frac{11}{16}$$

Разложете на множител x^{2}-\frac{11}{2}x+\frac{121}{16}. Като цяло, когато x^{2}+bx+c е точен квадрат, той винаги може да бъде разложен на множител като \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{11}{4}\right)^{2}=\frac{11}{16}$$

Получете корен квадратен от двете страни на равенството.

$$\sqrt{\left(x-\frac{11}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{11}{16}}$$

Опростявайте.

$$x-\frac{11}{4}=\frac{\sqrt{11}}{4} x-\frac{11}{4}=-\frac{\sqrt{11}}{4}$$

Съберете \frac{11}{4} към двете страни на уравнението.

$$x=\frac{\sqrt{11}+11}{4} x=\frac{11-\sqrt{11}}{4}$$