Решете 5/x^2-4+x/x-2=4

$$\frac { 5 } { x ^ { 2 } - 4 } + \frac { x } { x - 2 } = 4$$

Решаване за x

$$x = -\frac{7}{3} = -2\frac{1}{3} \approx -2,333333333$$

$$x=3$$

Стъпки с разлагане на множители чрез групиране

Променливата x не може да бъде равна на никоя от стойностите -2,2, тъй като делението на нула не е дефинирано. Умножете и двете страни на уравнението с \left(x-2\right)\left(x+2\right) – най-малкия общ множител на x^{2}-4,x-2.

$$5+\left(x+2\right)x=4\left(x-2\right)\left(x+2\right)$$

Използвайте дистрибутивното свойство, за да умножите x+2 по x.

$$5+x^{2}+2x=4\left(x-2\right)\left(x+2\right)$$

Използвайте дистрибутивното свойство, за да умножите 4 по x-2.

$$5+x^{2}+2x=\left(4x-8\right)\left(x+2\right)$$

Използвайте дистрибутивното свойство, за да умножите 4x-8 по x+2 и да групирате подобните членове.

$$5+x^{2}+2x=4x^{2}-16$$

Извадете 4x^{2} и от двете страни.

$$5+x^{2}+2x-4x^{2}=-16$$

Групирайте x^{2} и -4x^{2}, за да получите -3x^{2}.

$$5-3x^{2}+2x=-16$$

Добавете 16 от двете страни.

$$5-3x^{2}+2x+16=0$$

Съберете 5 и 16, за да се получи 21.

$$21-3x^{2}+2x=0$$

Преобразувайте полинома в стандартна форма. Поставете членовете в ред от най-висока до най-ниска степен.

$$-3x^{2}+2x+21=0$$

За да се реши уравнението, коефициентът е от лявата страна по групи. Първо, лявата страна трябва да бъде пренаписана като -3x^{2}+ax+bx+21. За да намерите a и b, настройте система, която да бъде решена.

$$a+b=2 ab=-3\times 21=-63$$

Тъй като ab е отрицателен, a и b имат противоположни знаци. Тъй като a+b е положително, положителното число има по-голяма абсолютна стойност от отрицателното. Изброяване на всички тези целочислени двойки, които придават -63 на продукта.

$$-1,63 -3,21 -7,9$$

Изчислете сумата за всяка двойка.

$$-1+63=62 -3+21=18 -7+9=2$$

Решението е двойката, която дава сума 2.

$$a=9 b=-7$$

Напишете -3x^{2}+2x+21 като \left(-3x^{2}+9x\right)+\left(-7x+21\right).

$$\left(-3x^{2}+9x\right)+\left(-7x+21\right)$$

Фактор, 3x в първата и 7 във втората група.

$$3x\left(-x+3\right)+7\left(-x+3\right)$$

Разложете на множители общия член -x+3, като използвате разпределителното свойство.

$$\left(-x+3\right)\left(3x+7\right)$$

За да намерите решения за уравнение, решете -x+3=0 и 3x+7=0.

$$x=3 x=-\frac{7}{3}$$

Стъпки с използване на формулата за квадратно уравнение

Променливата x не може да бъде равна на никоя от стойностите -2,2, тъй като делението на нула не е дефинирано. Умножете и двете страни на уравнението с \left(x-2\right)\left(x+2\right) – най-малкия общ множител на x^{2}-4,x-2.

$$5+\left(x+2\right)x=4\left(x-2\right)\left(x+2\right)$$

Използвайте дистрибутивното свойство, за да умножите x+2 по x.

$$5+x^{2}+2x=4\left(x-2\right)\left(x+2\right)$$

Използвайте дистрибутивното свойство, за да умножите 4 по x-2.

$$5+x^{2}+2x=\left(4x-8\right)\left(x+2\right)$$

Използвайте дистрибутивното свойство, за да умножите 4x-8 по x+2 и да групирате подобните членове.

$$5+x^{2}+2x=4x^{2}-16$$

Извадете 4x^{2} и от двете страни.

$$5+x^{2}+2x-4x^{2}=-16$$

Групирайте x^{2} и -4x^{2}, за да получите -3x^{2}.

$$5-3x^{2}+2x=-16$$

Добавете 16 от двете страни.

$$5-3x^{2}+2x+16=0$$

Съберете 5 и 16, за да се получи 21.

$$21-3x^{2}+2x=0$$

Всички формули във форма ax^{2}+bx+c=0 може да се решат чрез използване на формулата за корени на квадратното уравнение: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Формулата за корени на квадратното уравнение дава две решения, когато ± е събиране, и едно, когато е изваждане.

$$-3x^{2}+2x+21=0$$

Това уравнение е в стандартна форма: ax^{2}+bx+c=0. Заместете -3 вместо a, 2 вместо b и 21 вместо c във формулата на квадратното уравнение, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-2±\sqrt{2^{2}-4\left(-3\right)\times 21}}{2\left(-3\right)}$$

Повдигане на квадрат на 2.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-4\left(-3\right)\times 21}}{2\left(-3\right)}$$

Умножете -4 по -3.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4+12\times 21}}{2\left(-3\right)}$$

Умножете 12 по 21.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4+252}}{2\left(-3\right)}$$

Съберете 4 с 252.

$$x=\frac{-2±\sqrt{256}}{2\left(-3\right)}$$

Получете корен квадратен от 256.

$$x=\frac{-2±16}{2\left(-3\right)}$$

Умножете 2 по -3.

$$x=\frac{-2±16}{-6}$$

Сега решете уравнението x=\frac{-2±16}{-6}, когато ± е плюс. Съберете -2 с 16.

$$x=\frac{14}{-6}$$

Намаляване на дробта \frac{14}{-6} до най-малките членове чрез извличане на корен и съкращаване на 2.

$$x=-\frac{7}{3}$$

Сега решете уравнението x=\frac{-2±16}{-6}, когато ± е минус. Извадете 16 от -2.

$$x=-\frac{18}{-6}$$

Разделете -18 на -6.

$$x=3$$

Уравнението сега е решено.

$$x=-\frac{7}{3} x=3$$

Стъпки за допълване до пълен квадрат

Променливата x не може да бъде равна на никоя от стойностите -2,2, тъй като делението на нула не е дефинирано. Умножете и двете страни на уравнението с \left(x-2\right)\left(x+2\right) – най-малкия общ множител на x^{2}-4,x-2.

$$5+\left(x+2\right)x=4\left(x-2\right)\left(x+2\right)$$

Използвайте дистрибутивното свойство, за да умножите x+2 по x.

$$5+x^{2}+2x=4\left(x-2\right)\left(x+2\right)$$

Използвайте дистрибутивното свойство, за да умножите 4 по x-2.

$$5+x^{2}+2x=\left(4x-8\right)\left(x+2\right)$$

Използвайте дистрибутивното свойство, за да умножите 4x-8 по x+2 и да групирате подобните членове.

$$5+x^{2}+2x=4x^{2}-16$$

Извадете 4x^{2} и от двете страни.

$$5+x^{2}+2x-4x^{2}=-16$$

Групирайте x^{2} и -4x^{2}, за да получите -3x^{2}.

$$5-3x^{2}+2x=-16$$

Извадете 5 и от двете страни.

$$-3x^{2}+2x=-16-5$$

Извадете 5 от -16, за да получите -21.

$$-3x^{2}+2x=-21$$

Разделете двете страни на -3.

$$\frac{-3x^{2}+2x}{-3}=-\frac{21}{-3}$$

Делението на -3 отменя умножението по -3.

$$x^{2}+\frac{2}{-3}x=-\frac{21}{-3}$$

Разделете 2 на -3.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x=-\frac{21}{-3}$$

Разделете -21 на -3.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x=7$$

Разделете -\frac{2}{3} – коефициента на члена на x – на 2, за да получите -\frac{1}{3}. След това съберете квадрата на -\frac{1}{3} с двете страни на уравнението. С тази стъпка лявата страна на уравнението става точен квадрат.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x+\left(-\frac{1}{3}\right)^{2}=7+\left(-\frac{1}{3}\right)^{2}$$

Повдигнете на квадрат -\frac{1}{3}, като повдигнете на квадрат и числителя, и знаменателя на дробта.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=7+\frac{1}{9}$$

Съберете 7 с \frac{1}{9}.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=\frac{64}{9}$$

Разложете на множител x^{2}-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}. Като цяло, когато x^{2}+bx+c е точен квадрат, той винаги може да бъде разложен на множител като \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{3}\right)^{2}=\frac{64}{9}$$

Получете корен квадратен от двете страни на равенството.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{64}{9}}$$

Опростявайте.

$$x-\frac{1}{3}=\frac{8}{3} x-\frac{1}{3}=-\frac{8}{3}$$

Съберете \frac{1}{3} към двете страни на уравнението.

$$x=3 x=-\frac{7}{3}$$