Решете 4/x+4/x-6=1

$$\frac { 4 } { x } + \frac { 4 } { x - 6 } = 1$$

Решаване за x

$$x=2$$

$$x=12$$

Стъпки с разлагане на множители чрез групиране

Променливата x не може да бъде равна на никоя от стойностите 0,6, тъй като делението на нула не е дефинирано. Умножете и двете страни на уравнението с x\left(x-6\right) – най-малкия общ множител на x,x-6.

$$\left(x-6\right)\times 4+x\times 4=x\left(x-6\right)$$

Използвайте дистрибутивното свойство, за да умножите x-6 по 4.

$$4x-24+x\times 4=x\left(x-6\right)$$

Групирайте 4x и x\times 4, за да получите 8x.

$$8x-24=x\left(x-6\right)$$

Използвайте дистрибутивното свойство, за да умножите x по x-6.

$$8x-24=x^{2}-6x$$

Извадете x^{2} и от двете страни.

$$8x-24-x^{2}=-6x$$

Добавете 6x от двете страни.

$$8x-24-x^{2}+6x=0$$

Групирайте 8x и 6x, за да получите 14x.

$$14x-24-x^{2}=0$$

Преобразувайте полинома в стандартна форма. Поставете членовете в ред от най-висока до най-ниска степен.

$$-x^{2}+14x-24=0$$

За да се реши уравнението, коефициентът е от лявата страна по групи. Първо, лявата страна трябва да бъде пренаписана като -x^{2}+ax+bx-24. За да намерите a и b, настройте система, която да бъде решена.

$$a+b=14 ab=-\left(-24\right)=24$$

Тъй като ab е положителна, a и b имат един и същ знак. Тъй като a+b е положителна, a и b са положителни. Изброяване на всички тези целочислени двойки, които придават 24 на продукта.

$$1,24 2,12 3,8 4,6$$

Изчислете сумата за всяка двойка.

$$1+24=25 2+12=14 3+8=11 4+6=10$$

Решението е двойката, която дава сума 14.

$$a=12 b=2$$

Напишете -x^{2}+14x-24 като \left(-x^{2}+12x\right)+\left(2x-24\right).

$$\left(-x^{2}+12x\right)+\left(2x-24\right)$$

Фактор, -x в първата и 2 във втората група.

$$-x\left(x-12\right)+2\left(x-12\right)$$

Разложете на множители общия член x-12, като използвате разпределителното свойство.

$$\left(x-12\right)\left(-x+2\right)$$

За да намерите решения за уравнение, решете x-12=0 и -x+2=0.

$$x=12 x=2$$

Стъпки с използване на формулата за квадратно уравнение

Променливата x не може да бъде равна на никоя от стойностите 0,6, тъй като делението на нула не е дефинирано. Умножете и двете страни на уравнението с x\left(x-6\right) – най-малкия общ множител на x,x-6.

$$\left(x-6\right)\times 4+x\times 4=x\left(x-6\right)$$

Използвайте дистрибутивното свойство, за да умножите x-6 по 4.

$$4x-24+x\times 4=x\left(x-6\right)$$

Групирайте 4x и x\times 4, за да получите 8x.

$$8x-24=x\left(x-6\right)$$

Използвайте дистрибутивното свойство, за да умножите x по x-6.

$$8x-24=x^{2}-6x$$

Извадете x^{2} и от двете страни.

$$8x-24-x^{2}=-6x$$

Добавете 6x от двете страни.

$$8x-24-x^{2}+6x=0$$

Групирайте 8x и 6x, за да получите 14x.

$$14x-24-x^{2}=0$$

Всички формули във форма ax^{2}+bx+c=0 може да се решат чрез използване на формулата за корени на квадратното уравнение: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Формулата за корени на квадратното уравнение дава две решения, когато ± е събиране, и едно, когато е изваждане.

$$-x^{2}+14x-24=0$$

Това уравнение е в стандартна форма: ax^{2}+bx+c=0. Заместете -1 вместо a, 14 вместо b и -24 вместо c във формулата на квадратното уравнение, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-14±\sqrt{14^{2}-4\left(-1\right)\left(-24\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Повдигане на квадрат на 14.

$$x=\frac{-14±\sqrt{196-4\left(-1\right)\left(-24\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Умножете -4 по -1.

$$x=\frac{-14±\sqrt{196+4\left(-24\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Умножете 4 по -24.

$$x=\frac{-14±\sqrt{196-96}}{2\left(-1\right)}$$

Съберете 196 с -96.

$$x=\frac{-14±\sqrt{100}}{2\left(-1\right)}$$

Получете корен квадратен от 100.

$$x=\frac{-14±10}{2\left(-1\right)}$$

Умножете 2 по -1.

$$x=\frac{-14±10}{-2}$$

Сега решете уравнението x=\frac{-14±10}{-2}, когато ± е плюс. Съберете -14 с 10.

$$x=-\frac{4}{-2}$$

Разделете -4 на -2.

$$x=2$$

Сега решете уравнението x=\frac{-14±10}{-2}, когато ± е минус. Извадете 10 от -14.

$$x=-\frac{24}{-2}$$

Разделете -24 на -2.

$$x=12$$

Уравнението сега е решено.

$$x=2 x=12$$

Стъпки за допълване до пълен квадрат

Променливата x не може да бъде равна на никоя от стойностите 0,6, тъй като делението на нула не е дефинирано. Умножете и двете страни на уравнението с x\left(x-6\right) – най-малкия общ множител на x,x-6.

$$\left(x-6\right)\times 4+x\times 4=x\left(x-6\right)$$

Използвайте дистрибутивното свойство, за да умножите x-6 по 4.

$$4x-24+x\times 4=x\left(x-6\right)$$

Групирайте 4x и x\times 4, за да получите 8x.

$$8x-24=x\left(x-6\right)$$

Използвайте дистрибутивното свойство, за да умножите x по x-6.

$$8x-24=x^{2}-6x$$

Извадете x^{2} и от двете страни.

$$8x-24-x^{2}=-6x$$

Добавете 6x от двете страни.

$$8x-24-x^{2}+6x=0$$

Групирайте 8x и 6x, за да получите 14x.

$$14x-24-x^{2}=0$$

Добавете 24 от двете страни. Нещо плюс нула дава същото нещо.

$$14x-x^{2}=24$$

Квадратни уравнения като това могат да бъде решени чрез допълване до пълен квадрат. За да допълните до пълен квадрат, уравнението трябва първо да бъде във форма x^{2}+bx=c.

$$-x^{2}+14x=24$$

Разделете двете страни на -1.

$$\frac{-x^{2}+14x}{-1}=\frac{24}{-1}$$

Делението на -1 отменя умножението по -1.

$$x^{2}+\frac{14}{-1}x=\frac{24}{-1}$$

Разделете 14 на -1.

$$x^{2}-14x=\frac{24}{-1}$$

Разделете 24 на -1.

$$x^{2}-14x=-24$$

Разделете -14 – коефициента на члена на x – на 2, за да получите -7. След това съберете квадрата на -7 с двете страни на уравнението. С тази стъпка лявата страна на уравнението става точен квадрат.

$$x^{2}-14x+\left(-7\right)^{2}=-24+\left(-7\right)^{2}$$

Повдигане на квадрат на -7.

$$x^{2}-14x+49=-24+49$$

Съберете -24 с 49.

$$x^{2}-14x+49=25$$

Разложете на множител x^{2}-14x+49. Като цяло, когато x^{2}+bx+c е точен квадрат, той винаги може да бъде разложен на множител като \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-7\right)^{2}=25$$

Получете корен квадратен от двете страни на равенството.

$$\sqrt{\left(x-7\right)^{2}}=\sqrt{25}$$

Опростявайте.

$$x-7=5 x-7=-5$$

Съберете 7 към двете страни на уравнението.

$$x=12 x=2$$