Решете 4/x^2-1+15+7x/x^4-5x^2+4=2/4-x^2

$$\frac { 4 } { x ^ { 2 } - 1 } + \frac { 15 + 7 x } { x ^ { 4 } - 5 x ^ { 2 } + 4 } = \frac { 2 } { 4 - x ^ { 2 } }$$

Решаване за x

$$x = -\frac{3}{2} = -1\frac{1}{2} = -1,5$$

$$x=\frac{1}{3}\approx 0,333333333$$

Стъпки с разлагане на множители чрез групиране

Променливата x не може да бъде равна на никоя от стойностите -2,-1,1,2, тъй като делението на нула не е дефинирано. Умножете и двете страни на уравнението с \left(x-2\right)\left(x-1\right)\left(x+1\right)\left(x+2\right) – най-малкия общ множител на x^{2}-1,x^{4}-5x^{2}+4,4-x^{2}.

$$\left(x^{2}-4\right)\times 4+15+7x=\left(-x^{2}+1\right)\times 2$$

Използвайте дистрибутивното свойство, за да умножите x^{2}-4 по 4.

$$4x^{2}-16+15+7x=\left(-x^{2}+1\right)\times 2$$

Съберете -16 и 15, за да се получи -1.

$$4x^{2}-1+7x=\left(-x^{2}+1\right)\times 2$$

Използвайте дистрибутивното свойство, за да умножите -x^{2}+1 по 2.

$$4x^{2}-1+7x=-2x^{2}+2$$

Добавете 2x^{2} от двете страни.

$$4x^{2}-1+7x+2x^{2}=2$$

Групирайте 4x^{2} и 2x^{2}, за да получите 6x^{2}.

$$6x^{2}-1+7x=2$$

Извадете 2 и от двете страни.

$$6x^{2}-1+7x-2=0$$

Извадете 2 от -1, за да получите -3.

$$6x^{2}-3+7x=0$$

Преобразувайте полинома в стандартна форма. Поставете членовете в ред от най-висока до най-ниска степен.

$$6x^{2}+7x-3=0$$

За да се реши уравнението, коефициентът е от лявата страна по групи. Първо, лявата страна трябва да бъде пренаписана като 6x^{2}+ax+bx-3. За да намерите a и b, настройте система, която да бъде решена.

$$a+b=7 ab=6\left(-3\right)=-18$$

Тъй като ab е отрицателен, a и b имат противоположни знаци. Тъй като a+b е положително, положителното число има по-голяма абсолютна стойност от отрицателното. Изброяване на всички тези целочислени двойки, които придават -18 на продукта.

$$-1,18 -2,9 -3,6$$

Изчислете сумата за всяка двойка.

$$-1+18=17 -2+9=7 -3+6=3$$

Решението е двойката, която дава сума 7.

$$a=-2 b=9$$

Напишете 6x^{2}+7x-3 като \left(6x^{2}-2x\right)+\left(9x-3\right).

$$\left(6x^{2}-2x\right)+\left(9x-3\right)$$

Фактор, 2x в първата и 3 във втората група.

$$2x\left(3x-1\right)+3\left(3x-1\right)$$

Разложете на множители общия член 3x-1, като използвате разпределителното свойство.

$$\left(3x-1\right)\left(2x+3\right)$$

За да намерите решения за уравнение, решете 3x-1=0 и 2x+3=0.

$$x=\frac{1}{3} x=-\frac{3}{2}$$

Стъпки с използване на формулата за квадратно уравнение

Променливата x не може да бъде равна на никоя от стойностите -2,-1,1,2, тъй като делението на нула не е дефинирано. Умножете и двете страни на уравнението с \left(x-2\right)\left(x-1\right)\left(x+1\right)\left(x+2\right) – най-малкия общ множител на x^{2}-1,x^{4}-5x^{2}+4,4-x^{2}.

$$\left(x^{2}-4\right)\times 4+15+7x=\left(-x^{2}+1\right)\times 2$$

Използвайте дистрибутивното свойство, за да умножите x^{2}-4 по 4.

$$4x^{2}-16+15+7x=\left(-x^{2}+1\right)\times 2$$

Съберете -16 и 15, за да се получи -1.

$$4x^{2}-1+7x=\left(-x^{2}+1\right)\times 2$$

Използвайте дистрибутивното свойство, за да умножите -x^{2}+1 по 2.

$$4x^{2}-1+7x=-2x^{2}+2$$

Добавете 2x^{2} от двете страни.

$$4x^{2}-1+7x+2x^{2}=2$$

Групирайте 4x^{2} и 2x^{2}, за да получите 6x^{2}.

$$6x^{2}-1+7x=2$$

Извадете 2 и от двете страни.

$$6x^{2}-1+7x-2=0$$

Извадете 2 от -1, за да получите -3.

$$6x^{2}-3+7x=0$$

Всички формули във форма ax^{2}+bx+c=0 може да се решат чрез използване на формулата за корени на квадратното уравнение: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Формулата за корени на квадратното уравнение дава две решения, когато ± е събиране, и едно, когато е изваждане.

$$6x^{2}+7x-3=0$$

Това уравнение е в стандартна форма: ax^{2}+bx+c=0. Заместете 6 вместо a, 7 вместо b и -3 вместо c във формулата на квадратното уравнение, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-7±\sqrt{7^{2}-4\times 6\left(-3\right)}}{2\times 6}$$

Повдигане на квадрат на 7.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-4\times 6\left(-3\right)}}{2\times 6}$$

Умножете -4 по 6.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-24\left(-3\right)}}{2\times 6}$$

Умножете -24 по -3.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49+72}}{2\times 6}$$

Съберете 49 с 72.

$$x=\frac{-7±\sqrt{121}}{2\times 6}$$

Получете корен квадратен от 121.

$$x=\frac{-7±11}{2\times 6}$$

Умножете 2 по 6.

$$x=\frac{-7±11}{12}$$

Сега решете уравнението x=\frac{-7±11}{12}, когато ± е плюс. Съберете -7 с 11.

$$x=\frac{4}{12}$$

Намаляване на дробта \frac{4}{12} до най-малките членове чрез извличане на корен и съкращаване на 4.

$$x=\frac{1}{3}$$

Сега решете уравнението x=\frac{-7±11}{12}, когато ± е минус. Извадете 11 от -7.

$$x=-\frac{18}{12}$$

Намаляване на дробта \frac{-18}{12} до най-малките членове чрез извличане на корен и съкращаване на 6.

$$x=-\frac{3}{2}$$

Уравнението сега е решено.

$$x=\frac{1}{3} x=-\frac{3}{2}$$

Стъпки за допълване до пълен квадрат

Променливата x не може да бъде равна на никоя от стойностите -2,-1,1,2, тъй като делението на нула не е дефинирано. Умножете и двете страни на уравнението с \left(x-2\right)\left(x-1\right)\left(x+1\right)\left(x+2\right) – най-малкия общ множител на x^{2}-1,x^{4}-5x^{2}+4,4-x^{2}.

$$\left(x^{2}-4\right)\times 4+15+7x=\left(-x^{2}+1\right)\times 2$$

Използвайте дистрибутивното свойство, за да умножите x^{2}-4 по 4.

$$4x^{2}-16+15+7x=\left(-x^{2}+1\right)\times 2$$

Съберете -16 и 15, за да се получи -1.

$$4x^{2}-1+7x=\left(-x^{2}+1\right)\times 2$$

Използвайте дистрибутивното свойство, за да умножите -x^{2}+1 по 2.

$$4x^{2}-1+7x=-2x^{2}+2$$

Добавете 2x^{2} от двете страни.

$$4x^{2}-1+7x+2x^{2}=2$$

Групирайте 4x^{2} и 2x^{2}, за да получите 6x^{2}.

$$6x^{2}-1+7x=2$$

Добавете 1 от двете страни.

$$6x^{2}+7x=2+1$$

Съберете 2 и 1, за да се получи 3.

$$6x^{2}+7x=3$$

Разделете двете страни на 6.

$$\frac{6x^{2}+7x}{6}=\frac{3}{6}$$

Делението на 6 отменя умножението по 6.

$$x^{2}+\frac{7}{6}x=\frac{3}{6}$$

Намаляване на дробта \frac{3}{6} до най-малките членове чрез извличане на корен и съкращаване на 3.

$$x^{2}+\frac{7}{6}x=\frac{1}{2}$$

Разделете \frac{7}{6} – коефициента на члена на x – на 2, за да получите \frac{7}{12}. След това съберете квадрата на \frac{7}{12} с двете страни на уравнението. С тази стъпка лявата страна на уравнението става точен квадрат.

$$x^{2}+\frac{7}{6}x+\left(\frac{7}{12}\right)^{2}=\frac{1}{2}+\left(\frac{7}{12}\right)^{2}$$

Повдигнете на квадрат \frac{7}{12}, като повдигнете на квадрат и числителя, и знаменателя на дробта.

$$x^{2}+\frac{7}{6}x+\frac{49}{144}=\frac{1}{2}+\frac{49}{144}$$

Съберете \frac{1}{2} и \frac{49}{144}, като намерите общ знаменател и съберете числителите. След това съкращавате дробта до най-прости членове, ако е възможно.

$$x^{2}+\frac{7}{6}x+\frac{49}{144}=\frac{121}{144}$$

Разложете на множител x^{2}+\frac{7}{6}x+\frac{49}{144}. Като цяло, когато x^{2}+bx+c е точен квадрат, той винаги може да бъде разложен на множител като \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{7}{12}\right)^{2}=\frac{121}{144}$$

Получете корен квадратен от двете страни на равенството.

$$\sqrt{\left(x+\frac{7}{12}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{121}{144}}$$

Опростявайте.

$$x+\frac{7}{12}=\frac{11}{12} x+\frac{7}{12}=-\frac{11}{12}$$

Извадете \frac{7}{12} и от двете страни на уравнението.

$$x=\frac{1}{3} x=-\frac{3}{2}$$