Решете 4/x^2-55/x=14

$$\frac { 4 } { x ^ { 2 } } - \frac { 55 } { x } = 14$$

Решаване за x

$$x=-4$$

$$x=\frac{1}{14}\approx 0,071428571$$

Стъпки с разлагане на множители чрез групиране

Променливата x не може да бъде равна на 0, тъй като делението на нула не е дефинирано. Умножете и двете страни на уравнението с x^{2} – най-малкия общ множител на x^{2},x.

$$4-x\times 55=14x^{2}$$

Извадете 14x^{2} и от двете страни.

$$4-x\times 55-14x^{2}=0$$

Умножете -1 по 55, за да получите -55.

$$4-55x-14x^{2}=0$$

Преобразувайте полинома в стандартна форма. Поставете членовете в ред от най-висока до най-ниска степен.

$$-14x^{2}-55x+4=0$$

За да се реши уравнението, коефициентът е от лявата страна по групи. Първо, лявата страна трябва да бъде пренаписана като -14x^{2}+ax+bx+4. За да намерите a и b, настройте система, която да бъде решена.

$$a+b=-55 ab=-14\times 4=-56$$

Тъй като ab е отрицателен, a и b имат противоположни знаци. Тъй като a+b е отрицателно, отрицателното число има по-голяма абсолютна стойност от положителното. Изброяване на всички тези целочислени двойки, които придават -56 на продукта.

$$1,-56 2,-28 4,-14 7,-8$$

Изчислете сумата за всяка двойка.

$$1-56=-55 2-28=-26 4-14=-10 7-8=-1$$

Решението е двойката, която дава сума -55.

$$a=1 b=-56$$

Напишете -14x^{2}-55x+4 като \left(-14x^{2}+x\right)+\left(-56x+4\right).

$$\left(-14x^{2}+x\right)+\left(-56x+4\right)$$

Фактор, -x в първата и -4 във втората група.

$$-x\left(14x-1\right)-4\left(14x-1\right)$$

Разложете на множители общия член 14x-1, като използвате разпределителното свойство.

$$\left(14x-1\right)\left(-x-4\right)$$

За да намерите решения за уравнение, решете 14x-1=0 и -x-4=0.

$$x=\frac{1}{14} x=-4$$

Стъпки с използване на формулата за квадратно уравнение

Променливата x не може да бъде равна на 0, тъй като делението на нула не е дефинирано. Умножете и двете страни на уравнението с x^{2} – най-малкия общ множител на x^{2},x.

$$4-x\times 55=14x^{2}$$

Извадете 14x^{2} и от двете страни.

$$4-x\times 55-14x^{2}=0$$

Умножете -1 по 55, за да получите -55.

$$4-55x-14x^{2}=0$$

Всички формули във форма ax^{2}+bx+c=0 може да се решат чрез използване на формулата за корени на квадратното уравнение: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Формулата за корени на квадратното уравнение дава две решения, когато ± е събиране, и едно, когато е изваждане.

$$-14x^{2}-55x+4=0$$

Това уравнение е в стандартна форма: ax^{2}+bx+c=0. Заместете -14 вместо a, -55 вместо b и 4 вместо c във формулата на квадратното уравнение, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-55\right)±\sqrt{\left(-55\right)^{2}-4\left(-14\right)\times 4}}{2\left(-14\right)}$$

Повдигане на квадрат на -55.

$$x=\frac{-\left(-55\right)±\sqrt{3025-4\left(-14\right)\times 4}}{2\left(-14\right)}$$

Умножете -4 по -14.

$$x=\frac{-\left(-55\right)±\sqrt{3025+56\times 4}}{2\left(-14\right)}$$

Умножете 56 по 4.

$$x=\frac{-\left(-55\right)±\sqrt{3025+224}}{2\left(-14\right)}$$

Съберете 3025 с 224.

$$x=\frac{-\left(-55\right)±\sqrt{3249}}{2\left(-14\right)}$$

Получете корен квадратен от 3249.

$$x=\frac{-\left(-55\right)±57}{2\left(-14\right)}$$

Противоположното на -55 е 55.

$$x=\frac{55±57}{2\left(-14\right)}$$

Умножете 2 по -14.

$$x=\frac{55±57}{-28}$$

Сега решете уравнението x=\frac{55±57}{-28}, когато ± е плюс. Съберете 55 с 57.

$$x=\frac{112}{-28}$$

Разделете 112 на -28.

$$x=-4$$

Сега решете уравнението x=\frac{55±57}{-28}, когато ± е минус. Извадете 57 от 55.

$$x=-\frac{2}{-28}$$

Намаляване на дробта \frac{-2}{-28} до най-малките членове чрез извличане на корен и съкращаване на 2.

$$x=\frac{1}{14}$$

Уравнението сега е решено.

$$x=-4 x=\frac{1}{14}$$

Стъпки за допълване до пълен квадрат

Променливата x не може да бъде равна на 0, тъй като делението на нула не е дефинирано. Умножете и двете страни на уравнението с x^{2} – най-малкия общ множител на x^{2},x.

$$4-x\times 55=14x^{2}$$

Извадете 14x^{2} и от двете страни.

$$4-x\times 55-14x^{2}=0$$

Извадете 4 и от двете страни. Нещо, извадено от нула, дава отрицателната му стойност.

$$-x\times 55-14x^{2}=-4$$

Умножете -1 по 55, за да получите -55.

$$-55x-14x^{2}=-4$$

Квадратни уравнения като това могат да бъде решени чрез допълване до пълен квадрат. За да допълните до пълен квадрат, уравнението трябва първо да бъде във форма x^{2}+bx=c.

$$-14x^{2}-55x=-4$$

Разделете двете страни на -14.

$$\frac{-14x^{2}-55x}{-14}=-\frac{4}{-14}$$

Делението на -14 отменя умножението по -14.

$$x^{2}+\left(-\frac{55}{-14}\right)x=-\frac{4}{-14}$$

Разделете -55 на -14.

$$x^{2}+\frac{55}{14}x=-\frac{4}{-14}$$

Намаляване на дробта \frac{-4}{-14} до най-малките членове чрез извличане на корен и съкращаване на 2.

$$x^{2}+\frac{55}{14}x=\frac{2}{7}$$

Разделете \frac{55}{14} – коефициента на члена на x – на 2, за да получите \frac{55}{28}. След това съберете квадрата на \frac{55}{28} с двете страни на уравнението. С тази стъпка лявата страна на уравнението става точен квадрат.

$$x^{2}+\frac{55}{14}x+\left(\frac{55}{28}\right)^{2}=\frac{2}{7}+\left(\frac{55}{28}\right)^{2}$$

Повдигнете на квадрат \frac{55}{28}, като повдигнете на квадрат и числителя, и знаменателя на дробта.

$$x^{2}+\frac{55}{14}x+\frac{3025}{784}=\frac{2}{7}+\frac{3025}{784}$$

Съберете \frac{2}{7} и \frac{3025}{784}, като намерите общ знаменател и съберете числителите. След това съкращавате дробта до най-прости членове, ако е възможно.

$$x^{2}+\frac{55}{14}x+\frac{3025}{784}=\frac{3249}{784}$$

Разложете на множител x^{2}+\frac{55}{14}x+\frac{3025}{784}. Като цяло, когато x^{2}+bx+c е точен квадрат, той винаги може да бъде разложен на множител като \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{55}{28}\right)^{2}=\frac{3249}{784}$$

Получете корен квадратен от двете страни на равенството.

$$\sqrt{\left(x+\frac{55}{28}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{3249}{784}}$$

Опростявайте.

$$x+\frac{55}{28}=\frac{57}{28} x+\frac{55}{28}=-\frac{57}{28}$$

Извадете \frac{55}{28} и от двете страни на уравнението.

$$x=\frac{1}{14} x=-4$$