Решете 30/x^2+5x+6-x/x+2=2x+1/x+3

$$\frac { 30 } { x ^ { 2 } + 5 x + 6 } - \frac { x } { x + 2 } = \frac { 2 x + 1 } { x + 3 }$$

Решаване за x

$$x = -\frac{14}{3} = -4\frac{2}{3} \approx -4,666666667$$

$$x=2$$

Стъпки с разлагане на множители чрез групиране

Променливата x не може да бъде равна на никоя от стойностите -3,-2, тъй като делението на нула не е дефинирано. Умножете и двете страни на уравнението с \left(x+2\right)\left(x+3\right) – най-малкия общ множител на x^{2}+5x+6,x+2,x+3.

$$30-\left(x+3\right)x=\left(x+2\right)\left(2x+1\right)$$

Използвайте дистрибутивното свойство, за да умножите x+3 по x.

$$30-\left(x^{2}+3x\right)=\left(x+2\right)\left(2x+1\right)$$

За да намерите противоположната стойност на x^{2}+3x, намерете противоположната стойност на всеки член.

$$30-x^{2}-3x=\left(x+2\right)\left(2x+1\right)$$

Използвайте дистрибутивното свойство, за да умножите x+2 по 2x+1 и да групирате подобните членове.

$$30-x^{2}-3x=2x^{2}+5x+2$$

Извадете 2x^{2} и от двете страни.

$$30-x^{2}-3x-2x^{2}=5x+2$$

Групирайте -x^{2} и -2x^{2}, за да получите -3x^{2}.

$$30-3x^{2}-3x=5x+2$$

Извадете 5x и от двете страни.

$$30-3x^{2}-3x-5x=2$$

Групирайте -3x и -5x, за да получите -8x.

$$30-3x^{2}-8x=2$$

Извадете 2 и от двете страни.

$$30-3x^{2}-8x-2=0$$

Извадете 2 от 30, за да получите 28.

$$28-3x^{2}-8x=0$$

Преобразувайте полинома в стандартна форма. Поставете членовете в ред от най-висока до най-ниска степен.

$$-3x^{2}-8x+28=0$$

За да се реши уравнението, коефициентът е от лявата страна по групи. Първо, лявата страна трябва да бъде пренаписана като -3x^{2}+ax+bx+28. За да намерите a и b, настройте система, която да бъде решена.

$$a+b=-8 ab=-3\times 28=-84$$

Тъй като ab е отрицателен, a и b имат противоположни знаци. Тъй като a+b е отрицателно, отрицателното число има по-голяма абсолютна стойност от положителното. Изброяване на всички тези целочислени двойки, които придават -84 на продукта.

$$1,-84 2,-42 3,-28 4,-21 6,-14 7,-12$$

Изчислете сумата за всяка двойка.

$$1-84=-83 2-42=-40 3-28=-25 4-21=-17 6-14=-8 7-12=-5$$

Решението е двойката, която дава сума -8.

$$a=6 b=-14$$

Напишете -3x^{2}-8x+28 като \left(-3x^{2}+6x\right)+\left(-14x+28\right).

$$\left(-3x^{2}+6x\right)+\left(-14x+28\right)$$

Фактор, 3x в първата и 14 във втората група.

$$3x\left(-x+2\right)+14\left(-x+2\right)$$

Разложете на множители общия член -x+2, като използвате разпределителното свойство.

$$\left(-x+2\right)\left(3x+14\right)$$

За да намерите решения за уравнение, решете -x+2=0 и 3x+14=0.

$$x=2 x=-\frac{14}{3}$$

Стъпки с използване на формулата за квадратно уравнение

Променливата x не може да бъде равна на никоя от стойностите -3,-2, тъй като делението на нула не е дефинирано. Умножете и двете страни на уравнението с \left(x+2\right)\left(x+3\right) – най-малкия общ множител на x^{2}+5x+6,x+2,x+3.

$$30-\left(x+3\right)x=\left(x+2\right)\left(2x+1\right)$$

Използвайте дистрибутивното свойство, за да умножите x+3 по x.

$$30-\left(x^{2}+3x\right)=\left(x+2\right)\left(2x+1\right)$$

За да намерите противоположната стойност на x^{2}+3x, намерете противоположната стойност на всеки член.

$$30-x^{2}-3x=\left(x+2\right)\left(2x+1\right)$$

Използвайте дистрибутивното свойство, за да умножите x+2 по 2x+1 и да групирате подобните членове.

$$30-x^{2}-3x=2x^{2}+5x+2$$

Извадете 2x^{2} и от двете страни.

$$30-x^{2}-3x-2x^{2}=5x+2$$

Групирайте -x^{2} и -2x^{2}, за да получите -3x^{2}.

$$30-3x^{2}-3x=5x+2$$

Извадете 5x и от двете страни.

$$30-3x^{2}-3x-5x=2$$

Групирайте -3x и -5x, за да получите -8x.

$$30-3x^{2}-8x=2$$

Извадете 2 и от двете страни.

$$30-3x^{2}-8x-2=0$$

Извадете 2 от 30, за да получите 28.

$$28-3x^{2}-8x=0$$

Всички формули във форма ax^{2}+bx+c=0 може да се решат чрез използване на формулата за корени на квадратното уравнение: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Формулата за корени на квадратното уравнение дава две решения, когато ± е събиране, и едно, когато е изваждане.

$$-3x^{2}-8x+28=0$$

Това уравнение е в стандартна форма: ax^{2}+bx+c=0. Заместете -3 вместо a, -8 вместо b и 28 вместо c във формулата на квадратното уравнение, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{\left(-8\right)^{2}-4\left(-3\right)\times 28}}{2\left(-3\right)}$$

Повдигане на квадрат на -8.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-4\left(-3\right)\times 28}}{2\left(-3\right)}$$

Умножете -4 по -3.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64+12\times 28}}{2\left(-3\right)}$$

Умножете 12 по 28.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64+336}}{2\left(-3\right)}$$

Съберете 64 с 336.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{400}}{2\left(-3\right)}$$

Получете корен квадратен от 400.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±20}{2\left(-3\right)}$$

Противоположното на -8 е 8.

$$x=\frac{8±20}{2\left(-3\right)}$$

Умножете 2 по -3.

$$x=\frac{8±20}{-6}$$

Сега решете уравнението x=\frac{8±20}{-6}, когато ± е плюс. Съберете 8 с 20.

$$x=\frac{28}{-6}$$

Намаляване на дробта \frac{28}{-6} до най-малките членове чрез извличане на корен и съкращаване на 2.

$$x=-\frac{14}{3}$$

Сега решете уравнението x=\frac{8±20}{-6}, когато ± е минус. Извадете 20 от 8.

$$x=-\frac{12}{-6}$$

Разделете -12 на -6.

$$x=2$$

Уравнението сега е решено.

$$x=-\frac{14}{3} x=2$$

Стъпки за допълване до пълен квадрат

Променливата x не може да бъде равна на никоя от стойностите -3,-2, тъй като делението на нула не е дефинирано. Умножете и двете страни на уравнението с \left(x+2\right)\left(x+3\right) – най-малкия общ множител на x^{2}+5x+6,x+2,x+3.

$$30-\left(x+3\right)x=\left(x+2\right)\left(2x+1\right)$$

Използвайте дистрибутивното свойство, за да умножите x+3 по x.

$$30-\left(x^{2}+3x\right)=\left(x+2\right)\left(2x+1\right)$$

За да намерите противоположната стойност на x^{2}+3x, намерете противоположната стойност на всеки член.

$$30-x^{2}-3x=\left(x+2\right)\left(2x+1\right)$$

Използвайте дистрибутивното свойство, за да умножите x+2 по 2x+1 и да групирате подобните членове.

$$30-x^{2}-3x=2x^{2}+5x+2$$

Извадете 2x^{2} и от двете страни.

$$30-x^{2}-3x-2x^{2}=5x+2$$

Групирайте -x^{2} и -2x^{2}, за да получите -3x^{2}.

$$30-3x^{2}-3x=5x+2$$

Извадете 5x и от двете страни.

$$30-3x^{2}-3x-5x=2$$

Групирайте -3x и -5x, за да получите -8x.

$$30-3x^{2}-8x=2$$

Извадете 30 и от двете страни.

$$-3x^{2}-8x=2-30$$

Извадете 30 от 2, за да получите -28.

$$-3x^{2}-8x=-28$$

Разделете двете страни на -3.

$$\frac{-3x^{2}-8x}{-3}=-\frac{28}{-3}$$

Делението на -3 отменя умножението по -3.

$$x^{2}+\left(-\frac{8}{-3}\right)x=-\frac{28}{-3}$$

Разделете -8 на -3.

$$x^{2}+\frac{8}{3}x=-\frac{28}{-3}$$

Разделете -28 на -3.

$$x^{2}+\frac{8}{3}x=\frac{28}{3}$$

Разделете \frac{8}{3} – коефициента на члена на x – на 2, за да получите \frac{4}{3}. След това съберете квадрата на \frac{4}{3} с двете страни на уравнението. С тази стъпка лявата страна на уравнението става точен квадрат.

$$x^{2}+\frac{8}{3}x+\left(\frac{4}{3}\right)^{2}=\frac{28}{3}+\left(\frac{4}{3}\right)^{2}$$

Повдигнете на квадрат \frac{4}{3}, като повдигнете на квадрат и числителя, и знаменателя на дробта.

$$x^{2}+\frac{8}{3}x+\frac{16}{9}=\frac{28}{3}+\frac{16}{9}$$

Съберете \frac{28}{3} и \frac{16}{9}, като намерите общ знаменател и съберете числителите. След това съкращавате дробта до най-прости членове, ако е възможно.

$$x^{2}+\frac{8}{3}x+\frac{16}{9}=\frac{100}{9}$$

Разложете на множител x^{2}+\frac{8}{3}x+\frac{16}{9}. Като цяло, когато x^{2}+bx+c е точен квадрат, той винаги може да бъде разложен на множител като \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{4}{3}\right)^{2}=\frac{100}{9}$$

Получете корен квадратен от двете страни на равенството.

$$\sqrt{\left(x+\frac{4}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{100}{9}}$$

Опростявайте.

$$x+\frac{4}{3}=\frac{10}{3} x+\frac{4}{3}=-\frac{10}{3}$$

Извадете \frac{4}{3} и от двете страни на уравнението.

$$x=2 x=-\frac{14}{3}$$