Решете 3x/3x-1quad+1/xquad=1/3x-1

$$\frac { 3 x } { 3 x - 1 } \quad + \frac { 1 } { x } \quad = \frac { 1 } { 3 x - 1 }$$

Решаване за x

$$x=-1$$

Стъпки с разлагане на множители чрез групиране

Променливата x не може да бъде равна на никоя от стойностите 0,\frac{1}{3}, тъй като делението на нула не е дефинирано. Умножете и двете страни на уравнението с x\left(3x-1\right) – най-малкия общ множител на 3x-1,x.

$$x\times 3x+3x-1=x$$

Умножете x по x, за да получите x^{2}.

$$x^{2}\times 3+3x-1=x$$

Извадете x и от двете страни.

$$x^{2}\times 3+3x-1-x=0$$

Групирайте 3x и -x, за да получите 2x.

$$x^{2}\times 3+2x-1=0$$

За да се реши уравнението, коефициентът е от лявата страна по групи. Първо, лявата страна трябва да бъде пренаписана като 3x^{2}+ax+bx-1. За да намерите a и b, настройте система, която да бъде решена.

$$a+b=2 ab=3\left(-1\right)=-3$$

Тъй като ab е отрицателен, a и b имат противоположни знаци. Тъй като a+b е положително, положителното число има по-голяма абсолютна стойност от отрицателното. Единствената такава двойка е системното решение.

$$a=-1 b=3$$

Напишете 3x^{2}+2x-1 като \left(3x^{2}-x\right)+\left(3x-1\right).

$$\left(3x^{2}-x\right)+\left(3x-1\right)$$

Разложете на множители x в 3x^{2}-x.

$$x\left(3x-1\right)+3x-1$$

Разложете на множители общия член 3x-1, като използвате разпределителното свойство.

$$\left(3x-1\right)\left(x+1\right)$$

За да намерите решения за уравнение, решете 3x-1=0 и x+1=0.

$$x=\frac{1}{3} x=-1$$

Променливата x не може да бъде равна на \frac{1}{3}.

$$x=-1$$

Стъпки с използване на формулата за квадратно уравнение

Променливата x не може да бъде равна на никоя от стойностите 0,\frac{1}{3}, тъй като делението на нула не е дефинирано. Умножете и двете страни на уравнението с x\left(3x-1\right) – най-малкия общ множител на 3x-1,x.

$$x\times 3x+3x-1=x$$

Умножете x по x, за да получите x^{2}.

$$x^{2}\times 3+3x-1=x$$

Извадете x и от двете страни.

$$x^{2}\times 3+3x-1-x=0$$

Групирайте 3x и -x, за да получите 2x.

$$x^{2}\times 3+2x-1=0$$

Всички формули във форма ax^{2}+bx+c=0 може да се решат чрез използване на формулата за корени на квадратното уравнение: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Формулата за корени на квадратното уравнение дава две решения, когато ± е събиране, и едно, когато е изваждане.

$$3x^{2}+2x-1=0$$

Това уравнение е в стандартна форма: ax^{2}+bx+c=0. Заместете 3 вместо a, 2 вместо b и -1 вместо c във формулата на квадратното уравнение, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-2±\sqrt{2^{2}-4\times 3\left(-1\right)}}{2\times 3}$$

Повдигане на квадрат на 2.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-4\times 3\left(-1\right)}}{2\times 3}$$

Умножете -4 по 3.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-12\left(-1\right)}}{2\times 3}$$

Умножете -12 по -1.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4+12}}{2\times 3}$$

Съберете 4 с 12.

$$x=\frac{-2±\sqrt{16}}{2\times 3}$$

Получете корен квадратен от 16.

$$x=\frac{-2±4}{2\times 3}$$

Умножете 2 по 3.

$$x=\frac{-2±4}{6}$$

Сега решете уравнението x=\frac{-2±4}{6}, когато ± е плюс. Съберете -2 с 4.

$$x=\frac{2}{6}$$

Намаляване на дробта \frac{2}{6} до най-малките членове чрез извличане на корен и съкращаване на 2.

$$x=\frac{1}{3}$$

Сега решете уравнението x=\frac{-2±4}{6}, когато ± е минус. Извадете 4 от -2.

$$x=-\frac{6}{6}$$

Разделете -6 на 6.

$$x=-1$$

Уравнението сега е решено.

$$x=\frac{1}{3} x=-1$$

Променливата x не може да бъде равна на \frac{1}{3}.

$$x=-1$$

Стъпки за допълване до пълен квадрат

Променливата x не може да бъде равна на никоя от стойностите 0,\frac{1}{3}, тъй като делението на нула не е дефинирано. Умножете и двете страни на уравнението с x\left(3x-1\right) – най-малкия общ множител на 3x-1,x.

$$x\times 3x+3x-1=x$$

Умножете x по x, за да получите x^{2}.

$$x^{2}\times 3+3x-1=x$$

Извадете x и от двете страни.

$$x^{2}\times 3+3x-1-x=0$$

Групирайте 3x и -x, за да получите 2x.

$$x^{2}\times 3+2x-1=0$$

Добавете 1 от двете страни. Нещо плюс нула дава същото нещо.

$$x^{2}\times 3+2x=1$$

Квадратни уравнения като това могат да бъде решени чрез допълване до пълен квадрат. За да допълните до пълен квадрат, уравнението трябва първо да бъде във форма x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}+2x=1$$

Разделете двете страни на 3.

$$\frac{3x^{2}+2x}{3}=\frac{1}{3}$$

Делението на 3 отменя умножението по 3.

$$x^{2}+\frac{2}{3}x=\frac{1}{3}$$

Разделете \frac{2}{3} – коефициента на члена на x – на 2, за да получите \frac{1}{3}. След това съберете квадрата на \frac{1}{3} с двете страни на уравнението. С тази стъпка лявата страна на уравнението става точен квадрат.

$$x^{2}+\frac{2}{3}x+\left(\frac{1}{3}\right)^{2}=\frac{1}{3}+\left(\frac{1}{3}\right)^{2}$$

Повдигнете на квадрат \frac{1}{3}, като повдигнете на квадрат и числителя, и знаменателя на дробта.

$$x^{2}+\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=\frac{1}{3}+\frac{1}{9}$$

Съберете \frac{1}{3} и \frac{1}{9}, като намерите общ знаменател и съберете числителите. След това съкращавате дробта до най-прости членове, ако е възможно.

$$x^{2}+\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=\frac{4}{9}$$

Разложете на множител x^{2}+\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}. Като цяло, когато x^{2}+bx+c е точен квадрат, той винаги може да бъде разложен на множител като \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{3}\right)^{2}=\frac{4}{9}$$

Получете корен квадратен от двете страни на равенството.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{4}{9}}$$

Опростявайте.

$$x+\frac{1}{3}=\frac{2}{3} x+\frac{1}{3}=-\frac{2}{3}$$

Извадете \frac{1}{3} и от двете страни на уравнението.

$$x=\frac{1}{3} x=-1$$

Променливата x не може да бъде равна на \frac{1}{3}.

$$x=-1$$