Решете 3x/2+y=11;x+y/2=7

$$\frac { 3 x } { 2 } + y = 11 ; x + \frac { y } { 2 } = 7$$

Решаване за x, y

$$x=6$$

$$y=2$$

Стъпки с използване на субституция

Сметнете първото уравнение. Умножете и двете страни на уравнението по 2.

$$3x+2y=22$$

Сметнете второто уравнение. Умножете и двете страни на уравнението по 2.

$$2x+y=14$$

За да решите двойка уравнения чрез субституция, първо решете едно от уравненията за една от променливите. След това заместете резултата за тази променлива в другото уравнение.

$$3x+2y=22,2x+y=14$$

Изберете едно от уравненията и го решете за x чрез изолиране на x от лявата страна на равенството.

$$3x+2y=22$$

Извадете 2y и от двете страни на уравнението.

$$3x=-2y+22$$

Разделете двете страни на 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-2y+22\right)$$

Умножете \frac{1}{3} по -2y+22.

$$x=-\frac{2}{3}y+\frac{22}{3}$$

Заместете \frac{-2y+22}{3} вместо x в другото уравнение, 2x+y=14.

$$2\left(-\frac{2}{3}y+\frac{22}{3}\right)+y=14$$

Умножете 2 по \frac{-2y+22}{3}.

$$-\frac{4}{3}y+\frac{44}{3}+y=14$$

Съберете -\frac{4y}{3} с y.

$$-\frac{1}{3}y+\frac{44}{3}=14$$

Извадете \frac{44}{3} и от двете страни на уравнението.

$$-\frac{1}{3}y=-\frac{2}{3}$$

Умножете и двете страни по -3.

$$y=2$$

Заместете 2 вместо y в x=-\frac{2}{3}y+\frac{22}{3}. Тъй като полученото уравнение съдържа само една променлива, можете да решавате за x директно.

$$x=-\frac{2}{3}\times 2+\frac{22}{3}$$

Умножете -\frac{2}{3} по 2.

$$x=\frac{-4+22}{3}$$

Съберете \frac{22}{3} и -\frac{4}{3}, като намерите общ знаменател и съберете числителите. След това съкращавате дробта до най-прости членове, ако е възможно.

$$x=6$$

Системата сега е решена.

$$x=6,y=2$$

Стъпки с използване на матрици

Сметнете първото уравнение. Умножете и двете страни на уравнението по 2.

$$3x+2y=22$$

Сметнете второто уравнение. Умножете и двете страни на уравнението по 2.

$$2x+y=14$$

Приведете уравненията в стандартна форма и след това използвайте матрици за решаване на системата уравнения.

$$3x+2y=22,2x+y=14$$

Напишете уравненията в матрични форма.

$$\left(\begin{matrix}3&2\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}22\\14\end{matrix}\right)$$

Умножете лявата страна на уравнението с обратната матрица на \left(\begin{matrix}3&2\\2&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&2\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}22\\14\end{matrix}\right)$$

Произведението на една матрица с нейната обратна е единична матрица.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}22\\14\end{matrix}\right)$$

Умножете матриците от лявата страна на знака за равенство.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}22\\14\end{matrix}\right)$$

За матрицата 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), обратната матрица е \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), така че матричното уравнение може да се пренапише като задача с умножение на матрици.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3-2\times 2}&-\frac{2}{3-2\times 2}\\-\frac{2}{3-2\times 2}&\frac{3}{3-2\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}22\\14\end{matrix}\right)$$

Направете сметките.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1&2\\2&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}22\\14\end{matrix}\right)$$

Умножете матриците.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-22+2\times 14\\2\times 22-3\times 14\end{matrix}\right)$$

Направете сметките.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\2\end{matrix}\right)$$

Извлечете елементите на матрицата x and y.

$$x=6,y=2$$

Стъпки за използване на елиминиране

Сметнете първото уравнение. Умножете и двете страни на уравнението по 2.

$$3x+2y=22$$

Сметнете второто уравнение. Умножете и двете страни на уравнението по 2.

$$2x+y=14$$

За да се реши чрез елиминиране, коефициентите на една от променливите трябва да е една и съща в двете уравнения, така че променливата ще отпадне, когато едното уравнение се извади от другото.

$$3x+2y=22,2x+y=14$$

За да направите 3x и 2x равни, умножете всички членове от двете страни на първото уравнение по 2, а всички членове от двете страни на второто по 3.

$$2\times 3x+2\times 2y=2\times 22,3\times 2x+3y=3\times 14$$

Опростявайте.

$$6x+4y=44,6x+3y=42$$

Извадете 6x+3y=42 от 6x+4y=44, като извадите подобните членове от двете страни на равенството.

$$6x-6x+4y-3y=44-42$$

Съберете 6x с -6x. Условията 6x и -6x се отказват, като напуснете уравнение само с една променлива, която може да бъде разрешена.

$$4y-3y=44-42$$

Съберете 4y с -3y.

$$y=44-42$$

Съберете 44 с -42.

$$y=2$$

Заместете 2 вместо y в 2x+y=14. Тъй като полученото уравнение съдържа само една променлива, можете да решавате за x директно.

$$2x+2=14$$

Извадете 2 и от двете страни на уравнението.

$$2x=12$$

Разделете двете страни на 2.

$$x=6$$

Системата сега е решена.

$$x=6,y=2$$