Решете 3/x^2+2x-8-4/x^2+4x-12=x-4/x^2+10x+24

$$\frac { 3 } { x ^ { 2 } + 2 x - 8 } - \frac { 4 } { x ^ { 2 } + 4 x - 12 } = \frac { x - 4 } { x ^ { 2 } + 10 x + 24 }$$

Решаване за x

$$x=3$$

Стъпки с разлагане на множители чрез групиране

Променливата x не може да бъде равна на никоя от стойностите -6,-4,2, тъй като делението на нула не е дефинирано. Умножете и двете страни на уравнението с \left(x-2\right)\left(x+4\right)\left(x+6\right) – най-малкия общ множител на x^{2}+2x-8,x^{2}+4x-12,x^{2}+10x+24.

$$\left(x+6\right)\times 3-\left(x+4\right)\times 4=\left(x-2\right)\left(x-4\right)$$

Използвайте дистрибутивното свойство, за да умножите x+6 по 3.

$$3x+18-\left(x+4\right)\times 4=\left(x-2\right)\left(x-4\right)$$

Използвайте дистрибутивното свойство, за да умножите x+4 по 4.

$$3x+18-\left(4x+16\right)=\left(x-2\right)\left(x-4\right)$$

За да намерите противоположната стойност на 4x+16, намерете противоположната стойност на всеки член.

$$3x+18-4x-16=\left(x-2\right)\left(x-4\right)$$

Групирайте 3x и -4x, за да получите -x.

$$-x+18-16=\left(x-2\right)\left(x-4\right)$$

Извадете 16 от 18, за да получите 2.

$$-x+2=\left(x-2\right)\left(x-4\right)$$

Използвайте дистрибутивното свойство, за да умножите x-2 по x-4 и да групирате подобните членове.

$$-x+2=x^{2}-6x+8$$

Извадете x^{2} и от двете страни.

$$-x+2-x^{2}=-6x+8$$

Добавете 6x от двете страни.

$$-x+2-x^{2}+6x=8$$

Групирайте -x и 6x, за да получите 5x.

$$5x+2-x^{2}=8$$

Извадете 8 и от двете страни.

$$5x+2-x^{2}-8=0$$

Извадете 8 от 2, за да получите -6.

$$5x-6-x^{2}=0$$

Преобразувайте полинома в стандартна форма. Поставете членовете в ред от най-висока до най-ниска степен.

$$-x^{2}+5x-6=0$$

За да се реши уравнението, коефициентът е от лявата страна по групи. Първо, лявата страна трябва да бъде пренаписана като -x^{2}+ax+bx-6. За да намерите a и b, настройте система, която да бъде решена.

$$a+b=5 ab=-\left(-6\right)=6$$

Тъй като ab е положителна, a и b имат един и същ знак. Тъй като a+b е положителна, a и b са положителни. Изброяване на всички тези целочислени двойки, които придават 6 на продукта.

$$1,6 2,3$$

Изчислете сумата за всяка двойка.

$$1+6=7 2+3=5$$

Решението е двойката, която дава сума 5.

$$a=3 b=2$$

Напишете -x^{2}+5x-6 като \left(-x^{2}+3x\right)+\left(2x-6\right).

$$\left(-x^{2}+3x\right)+\left(2x-6\right)$$

Фактор, -x в първата и 2 във втората група.

$$-x\left(x-3\right)+2\left(x-3\right)$$

Разложете на множители общия член x-3, като използвате разпределителното свойство.

$$\left(x-3\right)\left(-x+2\right)$$

За да намерите решения за уравнение, решете x-3=0 и -x+2=0.

$$x=3 x=2$$

Променливата x не може да бъде равна на 2.

$$x=3$$

Стъпки с използване на формулата за квадратно уравнение

Променливата x не може да бъде равна на никоя от стойностите -6,-4,2, тъй като делението на нула не е дефинирано. Умножете и двете страни на уравнението с \left(x-2\right)\left(x+4\right)\left(x+6\right) – най-малкия общ множител на x^{2}+2x-8,x^{2}+4x-12,x^{2}+10x+24.

$$\left(x+6\right)\times 3-\left(x+4\right)\times 4=\left(x-2\right)\left(x-4\right)$$

Използвайте дистрибутивното свойство, за да умножите x+6 по 3.

$$3x+18-\left(x+4\right)\times 4=\left(x-2\right)\left(x-4\right)$$

Използвайте дистрибутивното свойство, за да умножите x+4 по 4.

$$3x+18-\left(4x+16\right)=\left(x-2\right)\left(x-4\right)$$

За да намерите противоположната стойност на 4x+16, намерете противоположната стойност на всеки член.

$$3x+18-4x-16=\left(x-2\right)\left(x-4\right)$$

Групирайте 3x и -4x, за да получите -x.

$$-x+18-16=\left(x-2\right)\left(x-4\right)$$

Извадете 16 от 18, за да получите 2.

$$-x+2=\left(x-2\right)\left(x-4\right)$$

Използвайте дистрибутивното свойство, за да умножите x-2 по x-4 и да групирате подобните членове.

$$-x+2=x^{2}-6x+8$$

Извадете x^{2} и от двете страни.

$$-x+2-x^{2}=-6x+8$$

Добавете 6x от двете страни.

$$-x+2-x^{2}+6x=8$$

Групирайте -x и 6x, за да получите 5x.

$$5x+2-x^{2}=8$$

Извадете 8 и от двете страни.

$$5x+2-x^{2}-8=0$$

Извадете 8 от 2, за да получите -6.

$$5x-6-x^{2}=0$$

Всички формули във форма ax^{2}+bx+c=0 може да се решат чрез използване на формулата за корени на квадратното уравнение: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Формулата за корени на квадратното уравнение дава две решения, когато ± е събиране, и едно, когато е изваждане.

$$-x^{2}+5x-6=0$$

Това уравнение е в стандартна форма: ax^{2}+bx+c=0. Заместете -1 вместо a, 5 вместо b и -6 вместо c във формулата на квадратното уравнение, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-5±\sqrt{5^{2}-4\left(-1\right)\left(-6\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Повдигане на квадрат на 5.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-4\left(-1\right)\left(-6\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Умножете -4 по -1.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25+4\left(-6\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Умножете 4 по -6.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-24}}{2\left(-1\right)}$$

Съберете 25 с -24.

$$x=\frac{-5±\sqrt{1}}{2\left(-1\right)}$$

Получете корен квадратен от 1.

$$x=\frac{-5±1}{2\left(-1\right)}$$

Умножете 2 по -1.

$$x=\frac{-5±1}{-2}$$

Сега решете уравнението x=\frac{-5±1}{-2}, когато ± е плюс. Съберете -5 с 1.

$$x=-\frac{4}{-2}$$

Разделете -4 на -2.

$$x=2$$

Сега решете уравнението x=\frac{-5±1}{-2}, когато ± е минус. Извадете 1 от -5.

$$x=-\frac{6}{-2}$$

Разделете -6 на -2.

$$x=3$$

Уравнението сега е решено.

$$x=2 x=3$$

Променливата x не може да бъде равна на 2.

$$x=3$$

Стъпки за допълване до пълен квадрат

Променливата x не може да бъде равна на никоя от стойностите -6,-4,2, тъй като делението на нула не е дефинирано. Умножете и двете страни на уравнението с \left(x-2\right)\left(x+4\right)\left(x+6\right) – най-малкия общ множител на x^{2}+2x-8,x^{2}+4x-12,x^{2}+10x+24.

$$\left(x+6\right)\times 3-\left(x+4\right)\times 4=\left(x-2\right)\left(x-4\right)$$

Използвайте дистрибутивното свойство, за да умножите x+6 по 3.

$$3x+18-\left(x+4\right)\times 4=\left(x-2\right)\left(x-4\right)$$

Използвайте дистрибутивното свойство, за да умножите x+4 по 4.

$$3x+18-\left(4x+16\right)=\left(x-2\right)\left(x-4\right)$$

За да намерите противоположната стойност на 4x+16, намерете противоположната стойност на всеки член.

$$3x+18-4x-16=\left(x-2\right)\left(x-4\right)$$

Групирайте 3x и -4x, за да получите -x.

$$-x+18-16=\left(x-2\right)\left(x-4\right)$$

Извадете 16 от 18, за да получите 2.

$$-x+2=\left(x-2\right)\left(x-4\right)$$

Използвайте дистрибутивното свойство, за да умножите x-2 по x-4 и да групирате подобните членове.

$$-x+2=x^{2}-6x+8$$

Извадете x^{2} и от двете страни.

$$-x+2-x^{2}=-6x+8$$

Добавете 6x от двете страни.

$$-x+2-x^{2}+6x=8$$

Групирайте -x и 6x, за да получите 5x.

$$5x+2-x^{2}=8$$

Извадете 2 и от двете страни.

$$5x-x^{2}=8-2$$

Извадете 2 от 8, за да получите 6.

$$5x-x^{2}=6$$

Квадратни уравнения като това могат да бъде решени чрез допълване до пълен квадрат. За да допълните до пълен квадрат, уравнението трябва първо да бъде във форма x^{2}+bx=c.

$$-x^{2}+5x=6$$

Разделете двете страни на -1.

$$\frac{-x^{2}+5x}{-1}=\frac{6}{-1}$$

Делението на -1 отменя умножението по -1.

$$x^{2}+\frac{5}{-1}x=\frac{6}{-1}$$

Разделете 5 на -1.

$$x^{2}-5x=\frac{6}{-1}$$

Разделете 6 на -1.

$$x^{2}-5x=-6$$

Разделете -5 – коефициента на члена на x – на 2, за да получите -\frac{5}{2}. След това съберете квадрата на -\frac{5}{2} с двете страни на уравнението. С тази стъпка лявата страна на уравнението става точен квадрат.

$$x^{2}-5x+\left(-\frac{5}{2}\right)^{2}=-6+\left(-\frac{5}{2}\right)^{2}$$

Повдигнете на квадрат -\frac{5}{2}, като повдигнете на квадрат и числителя, и знаменателя на дробта.

$$x^{2}-5x+\frac{25}{4}=-6+\frac{25}{4}$$

Съберете -6 с \frac{25}{4}.

$$x^{2}-5x+\frac{25}{4}=\frac{1}{4}$$

Разложете на множител x^{2}-5x+\frac{25}{4}. Като цяло, когато x^{2}+bx+c е точен квадрат, той винаги може да бъде разложен на множител като \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{5}{2}\right)^{2}=\frac{1}{4}$$

Получете корен квадратен от двете страни на равенството.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{4}}$$

Опростявайте.

$$x-\frac{5}{2}=\frac{1}{2} x-\frac{5}{2}=-\frac{1}{2}$$

Съберете \frac{5}{2} към двете страни на уравнението.

$$x=3 x=2$$

Променливата x не може да бъде равна на 2.

$$x=3$$