Решете 2x-5/x^2+3x+2+4/x^2-4=1/x-2

$$\frac { 2 x - 5 } { x ^ { 2 } + 3 x + 2 } + \frac { 4 } { x ^ { 2 } - 4 } = \frac { 1 } { x - 2 }$$

Решаване за x

$$x=6$$

Стъпки с разлагане на множители

Променливата x не може да бъде равна на никоя от стойностите -2,-1,2, тъй като делението на нула не е дефинирано. Умножете и двете страни на уравнението с \left(x-2\right)\left(x+1\right)\left(x+2\right) – най-малкия общ множител на x^{2}+3x+2,x^{2}-4,x-2.

$$\left(x-2\right)\left(2x-5\right)+\left(x+1\right)\times 4=\left(x+1\right)\left(x+2\right)$$

Използвайте дистрибутивното свойство, за да умножите x-2 по 2x-5 и да групирате подобните членове.

$$2x^{2}-9x+10+\left(x+1\right)\times 4=\left(x+1\right)\left(x+2\right)$$

Използвайте дистрибутивното свойство, за да умножите x+1 по 4.

$$2x^{2}-9x+10+4x+4=\left(x+1\right)\left(x+2\right)$$

Групирайте -9x и 4x, за да получите -5x.

$$2x^{2}-5x+10+4=\left(x+1\right)\left(x+2\right)$$

Съберете 10 и 4, за да се получи 14.

$$2x^{2}-5x+14=\left(x+1\right)\left(x+2\right)$$

Използвайте дистрибутивното свойство, за да умножите x+1 по x+2 и да групирате подобните членове.

$$2x^{2}-5x+14=x^{2}+3x+2$$

Извадете x^{2} и от двете страни.

$$2x^{2}-5x+14-x^{2}=3x+2$$

Групирайте 2x^{2} и -x^{2}, за да получите x^{2}.

$$x^{2}-5x+14=3x+2$$

Извадете 3x и от двете страни.

$$x^{2}-5x+14-3x=2$$

Групирайте -5x и -3x, за да получите -8x.

$$x^{2}-8x+14=2$$

Извадете 2 и от двете страни.

$$x^{2}-8x+14-2=0$$

Извадете 2 от 14, за да получите 12.

$$x^{2}-8x+12=0$$

За да се реши уравнението, коефициентът x^{2}-8x+12 с помощта на формула x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right). За да намерите a и b, настройте система, която да бъде решена.

$$a+b=-8 ab=12$$

Тъй като ab е положителна, a и b имат един и същ знак. Тъй като a+b е отрицателен, a и b са отрицателни. Изброяване на всички тези целочислени двойки, които придават 12 на продукта.

$$-1,-12 -2,-6 -3,-4$$

Изчислете сумата за всяка двойка.

$$-1-12=-13 -2-6=-8 -3-4=-7$$

Решението е двойката, която дава сума -8.

$$a=-6 b=-2$$

Пренапишете разложения на множители израз \left(x+a\right)\left(x+b\right) с помощта на получените стойности.

$$\left(x-6\right)\left(x-2\right)$$

За да намерите решения за уравнение, решете x-6=0 и x-2=0.

$$x=6 x=2$$

Променливата x не може да бъде равна на 2.

$$x=6$$

Стъпки с разлагане на множители чрез групиране

Променливата x не може да бъде равна на никоя от стойностите -2,-1,2, тъй като делението на нула не е дефинирано. Умножете и двете страни на уравнението с \left(x-2\right)\left(x+1\right)\left(x+2\right) – най-малкия общ множител на x^{2}+3x+2,x^{2}-4,x-2.

$$\left(x-2\right)\left(2x-5\right)+\left(x+1\right)\times 4=\left(x+1\right)\left(x+2\right)$$

Използвайте дистрибутивното свойство, за да умножите x-2 по 2x-5 и да групирате подобните членове.

$$2x^{2}-9x+10+\left(x+1\right)\times 4=\left(x+1\right)\left(x+2\right)$$

Използвайте дистрибутивното свойство, за да умножите x+1 по 4.

$$2x^{2}-9x+10+4x+4=\left(x+1\right)\left(x+2\right)$$

Групирайте -9x и 4x, за да получите -5x.

$$2x^{2}-5x+10+4=\left(x+1\right)\left(x+2\right)$$

Съберете 10 и 4, за да се получи 14.

$$2x^{2}-5x+14=\left(x+1\right)\left(x+2\right)$$

Използвайте дистрибутивното свойство, за да умножите x+1 по x+2 и да групирате подобните членове.

$$2x^{2}-5x+14=x^{2}+3x+2$$

Извадете x^{2} и от двете страни.

$$2x^{2}-5x+14-x^{2}=3x+2$$

Групирайте 2x^{2} и -x^{2}, за да получите x^{2}.

$$x^{2}-5x+14=3x+2$$

Извадете 3x и от двете страни.

$$x^{2}-5x+14-3x=2$$

Групирайте -5x и -3x, за да получите -8x.

$$x^{2}-8x+14=2$$

Извадете 2 и от двете страни.

$$x^{2}-8x+14-2=0$$

Извадете 2 от 14, за да получите 12.

$$x^{2}-8x+12=0$$

За да се реши уравнението, коефициентът е от лявата страна по групи. Първо, лявата страна трябва да бъде пренаписана като x^{2}+ax+bx+12. За да намерите a и b, настройте система, която да бъде решена.

$$a+b=-8 ab=1\times 12=12$$

Тъй като ab е положителна, a и b имат един и същ знак. Тъй като a+b е отрицателен, a и b са отрицателни. Изброяване на всички тези целочислени двойки, които придават 12 на продукта.

$$-1,-12 -2,-6 -3,-4$$

Изчислете сумата за всяка двойка.

$$-1-12=-13 -2-6=-8 -3-4=-7$$

Решението е двойката, която дава сума -8.

$$a=-6 b=-2$$

Напишете x^{2}-8x+12 като \left(x^{2}-6x\right)+\left(-2x+12\right).

$$\left(x^{2}-6x\right)+\left(-2x+12\right)$$

Фактор, x в първата и -2 във втората група.

$$x\left(x-6\right)-2\left(x-6\right)$$

Разложете на множители общия член x-6, като използвате разпределителното свойство.

$$\left(x-6\right)\left(x-2\right)$$

За да намерите решения за уравнение, решете x-6=0 и x-2=0.

$$x=6 x=2$$

Променливата x не може да бъде равна на 2.

$$x=6$$

Стъпки с използване на формулата за квадратно уравнение

Променливата x не може да бъде равна на никоя от стойностите -2,-1,2, тъй като делението на нула не е дефинирано. Умножете и двете страни на уравнението с \left(x-2\right)\left(x+1\right)\left(x+2\right) – най-малкия общ множител на x^{2}+3x+2,x^{2}-4,x-2.

$$\left(x-2\right)\left(2x-5\right)+\left(x+1\right)\times 4=\left(x+1\right)\left(x+2\right)$$

Използвайте дистрибутивното свойство, за да умножите x-2 по 2x-5 и да групирате подобните членове.

$$2x^{2}-9x+10+\left(x+1\right)\times 4=\left(x+1\right)\left(x+2\right)$$

Използвайте дистрибутивното свойство, за да умножите x+1 по 4.

$$2x^{2}-9x+10+4x+4=\left(x+1\right)\left(x+2\right)$$

Групирайте -9x и 4x, за да получите -5x.

$$2x^{2}-5x+10+4=\left(x+1\right)\left(x+2\right)$$

Съберете 10 и 4, за да се получи 14.

$$2x^{2}-5x+14=\left(x+1\right)\left(x+2\right)$$

Използвайте дистрибутивното свойство, за да умножите x+1 по x+2 и да групирате подобните членове.

$$2x^{2}-5x+14=x^{2}+3x+2$$

Извадете x^{2} и от двете страни.

$$2x^{2}-5x+14-x^{2}=3x+2$$

Групирайте 2x^{2} и -x^{2}, за да получите x^{2}.

$$x^{2}-5x+14=3x+2$$

Извадете 3x и от двете страни.

$$x^{2}-5x+14-3x=2$$

Групирайте -5x и -3x, за да получите -8x.

$$x^{2}-8x+14=2$$

Извадете 2 и от двете страни.

$$x^{2}-8x+14-2=0$$

Извадете 2 от 14, за да получите 12.

$$x^{2}-8x+12=0$$

Това уравнение е в стандартна форма: ax^{2}+bx+c=0. Заместете 1 вместо a, -8 вместо b и 12 вместо c във формулата на квадратното уравнение, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{\left(-8\right)^{2}-4\times 12}}{2}$$

Повдигане на квадрат на -8.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-4\times 12}}{2}$$

Умножете -4 по 12.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-48}}{2}$$

Съберете 64 с -48.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{16}}{2}$$

Получете корен квадратен от 16.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±4}{2}$$

Противоположното на -8 е 8.

$$x=\frac{8±4}{2}$$

Сега решете уравнението x=\frac{8±4}{2}, когато ± е плюс. Съберете 8 с 4.

$$x=\frac{12}{2}$$

Разделете 12 на 2.

$$x=6$$

Сега решете уравнението x=\frac{8±4}{2}, когато ± е минус. Извадете 4 от 8.

$$x=\frac{4}{2}$$

Разделете 4 на 2.

$$x=2$$

Уравнението сега е решено.

$$x=6 x=2$$

Променливата x не може да бъде равна на 2.

$$x=6$$

Стъпки за допълване до пълен квадрат

Променливата x не може да бъде равна на никоя от стойностите -2,-1,2, тъй като делението на нула не е дефинирано. Умножете и двете страни на уравнението с \left(x-2\right)\left(x+1\right)\left(x+2\right) – най-малкия общ множител на x^{2}+3x+2,x^{2}-4,x-2.

$$\left(x-2\right)\left(2x-5\right)+\left(x+1\right)\times 4=\left(x+1\right)\left(x+2\right)$$

Използвайте дистрибутивното свойство, за да умножите x-2 по 2x-5 и да групирате подобните членове.

$$2x^{2}-9x+10+\left(x+1\right)\times 4=\left(x+1\right)\left(x+2\right)$$

Използвайте дистрибутивното свойство, за да умножите x+1 по 4.

$$2x^{2}-9x+10+4x+4=\left(x+1\right)\left(x+2\right)$$

Групирайте -9x и 4x, за да получите -5x.

$$2x^{2}-5x+10+4=\left(x+1\right)\left(x+2\right)$$

Съберете 10 и 4, за да се получи 14.

$$2x^{2}-5x+14=\left(x+1\right)\left(x+2\right)$$

Използвайте дистрибутивното свойство, за да умножите x+1 по x+2 и да групирате подобните членове.

$$2x^{2}-5x+14=x^{2}+3x+2$$

Извадете x^{2} и от двете страни.

$$2x^{2}-5x+14-x^{2}=3x+2$$

Групирайте 2x^{2} и -x^{2}, за да получите x^{2}.

$$x^{2}-5x+14=3x+2$$

Извадете 3x и от двете страни.

$$x^{2}-5x+14-3x=2$$

Групирайте -5x и -3x, за да получите -8x.

$$x^{2}-8x+14=2$$

Извадете 14 и от двете страни.

$$x^{2}-8x=2-14$$

Извадете 14 от 2, за да получите -12.

$$x^{2}-8x=-12$$

Разделете -8 – коефициента на члена на x – на 2, за да получите -4. След това съберете квадрата на -4 с двете страни на уравнението. С тази стъпка лявата страна на уравнението става точен квадрат.

$$x^{2}-8x+\left(-4\right)^{2}=-12+\left(-4\right)^{2}$$

Повдигане на квадрат на -4.

$$x^{2}-8x+16=-12+16$$

Съберете -12 с 16.

$$x^{2}-8x+16=4$$

Разложете на множител x^{2}-8x+16. Като цяло, когато x^{2}+bx+c е точен квадрат, той винаги може да бъде разложен на множител като \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-4\right)^{2}=4$$

Получете корен квадратен от двете страни на равенството.

$$\sqrt{\left(x-4\right)^{2}}=\sqrt{4}$$

Опростявайте.

$$x-4=2 x-4=-2$$

Съберете 4 към двете страни на уравнението.

$$x=6 x=2$$

Променливата x не може да бъде равна на 2.

$$x=6$$