Решете 2x/x-2=5+13x^2/x-2

$$\frac { 2 x } { x - 2 } = 5 + \frac { 13 x ^ { 2 } } { x - 2 }$$

Решаване за x

$$x=-1$$

$$x=\frac{10}{13}\approx 0,769230769$$

Стъпки с разлагане на множители чрез групиране

Променливата x не може да бъде равна на 2, тъй като делението на нула не е дефинирано. Умножете и двете страни на уравнението по x-2.

$$2x=\left(x-2\right)\times 5+13x^{2}$$

Използвайте дистрибутивното свойство, за да умножите x-2 по 5.

$$2x=5x-10+13x^{2}$$

Извадете 5x и от двете страни.

$$2x-5x=-10+13x^{2}$$

Групирайте 2x и -5x, за да получите -3x.

$$-3x=-10+13x^{2}$$

Извадете -10 и от двете страни.

$$-3x-\left(-10\right)=13x^{2}$$

Противоположното на -10 е 10.

$$-3x+10=13x^{2}$$

Извадете 13x^{2} и от двете страни.

$$-3x+10-13x^{2}=0$$

Преобразувайте полинома в стандартна форма. Поставете членовете в ред от най-висока до най-ниска степен.

$$-13x^{2}-3x+10=0$$

За да се реши уравнението, коефициентът е от лявата страна по групи. Първо, лявата страна трябва да бъде пренаписана като -13x^{2}+ax+bx+10. За да намерите a и b, настройте система, която да бъде решена.

$$a+b=-3 ab=-13\times 10=-130$$

Тъй като ab е отрицателен, a и b имат противоположни знаци. Тъй като a+b е отрицателно, отрицателното число има по-голяма абсолютна стойност от положителното. Изброяване на всички тези целочислени двойки, които придават -130 на продукта.

$$1,-130 2,-65 5,-26 10,-13$$

Изчислете сумата за всяка двойка.

$$1-130=-129 2-65=-63 5-26=-21 10-13=-3$$

Решението е двойката, която дава сума -3.

$$a=10 b=-13$$

Напишете -13x^{2}-3x+10 като \left(-13x^{2}+10x\right)+\left(-13x+10\right).

$$\left(-13x^{2}+10x\right)+\left(-13x+10\right)$$

Фактор, -x в първата и -1 във втората група.

$$-x\left(13x-10\right)-\left(13x-10\right)$$

Разложете на множители общия член 13x-10, като използвате разпределителното свойство.

$$\left(13x-10\right)\left(-x-1\right)$$

За да намерите решения за уравнение, решете 13x-10=0 и -x-1=0.

$$x=\frac{10}{13} x=-1$$

Стъпки с използване на формулата за квадратно уравнение

Променливата x не може да бъде равна на 2, тъй като делението на нула не е дефинирано. Умножете и двете страни на уравнението по x-2.

$$2x=\left(x-2\right)\times 5+13x^{2}$$

Използвайте дистрибутивното свойство, за да умножите x-2 по 5.

$$2x=5x-10+13x^{2}$$

Извадете 5x и от двете страни.

$$2x-5x=-10+13x^{2}$$

Групирайте 2x и -5x, за да получите -3x.

$$-3x=-10+13x^{2}$$

Извадете -10 и от двете страни.

$$-3x-\left(-10\right)=13x^{2}$$

Противоположното на -10 е 10.

$$-3x+10=13x^{2}$$

Извадете 13x^{2} и от двете страни.

$$-3x+10-13x^{2}=0$$

Всички формули във форма ax^{2}+bx+c=0 може да се решат чрез използване на формулата за корени на квадратното уравнение: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Формулата за корени на квадратното уравнение дава две решения, когато ± е събиране, и едно, когато е изваждане.

$$-13x^{2}-3x+10=0$$

Това уравнение е в стандартна форма: ax^{2}+bx+c=0. Заместете -13 вместо a, -3 вместо b и 10 вместо c във формулата на квадратното уравнение, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{\left(-3\right)^{2}-4\left(-13\right)\times 10}}{2\left(-13\right)}$$

Повдигане на квадрат на -3.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-4\left(-13\right)\times 10}}{2\left(-13\right)}$$

Умножете -4 по -13.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9+52\times 10}}{2\left(-13\right)}$$

Умножете 52 по 10.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9+520}}{2\left(-13\right)}$$

Съберете 9 с 520.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{529}}{2\left(-13\right)}$$

Получете корен квадратен от 529.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±23}{2\left(-13\right)}$$

Противоположното на -3 е 3.

$$x=\frac{3±23}{2\left(-13\right)}$$

Умножете 2 по -13.

$$x=\frac{3±23}{-26}$$

Сега решете уравнението x=\frac{3±23}{-26}, когато ± е плюс. Съберете 3 с 23.

$$x=\frac{26}{-26}$$

Разделете 26 на -26.

$$x=-1$$

Сега решете уравнението x=\frac{3±23}{-26}, когато ± е минус. Извадете 23 от 3.

$$x=-\frac{20}{-26}$$

Намаляване на дробта \frac{-20}{-26} до най-малките членове чрез извличане на корен и съкращаване на 2.

$$x=\frac{10}{13}$$

Уравнението сега е решено.

$$x=-1 x=\frac{10}{13}$$

Стъпки за допълване до пълен квадрат

Променливата x не може да бъде равна на 2, тъй като делението на нула не е дефинирано. Умножете и двете страни на уравнението по x-2.

$$2x=\left(x-2\right)\times 5+13x^{2}$$

Използвайте дистрибутивното свойство, за да умножите x-2 по 5.

$$2x=5x-10+13x^{2}$$

Извадете 5x и от двете страни.

$$2x-5x=-10+13x^{2}$$

Групирайте 2x и -5x, за да получите -3x.

$$-3x=-10+13x^{2}$$

Извадете 13x^{2} и от двете страни.

$$-3x-13x^{2}=-10$$

Квадратни уравнения като това могат да бъде решени чрез допълване до пълен квадрат. За да допълните до пълен квадрат, уравнението трябва първо да бъде във форма x^{2}+bx=c.

$$-13x^{2}-3x=-10$$

Разделете двете страни на -13.

$$\frac{-13x^{2}-3x}{-13}=-\frac{10}{-13}$$

Делението на -13 отменя умножението по -13.

$$x^{2}+\left(-\frac{3}{-13}\right)x=-\frac{10}{-13}$$

Разделете -3 на -13.

$$x^{2}+\frac{3}{13}x=-\frac{10}{-13}$$

Разделете -10 на -13.

$$x^{2}+\frac{3}{13}x=\frac{10}{13}$$

Разделете \frac{3}{13} – коефициента на члена на x – на 2, за да получите \frac{3}{26}. След това съберете квадрата на \frac{3}{26} с двете страни на уравнението. С тази стъпка лявата страна на уравнението става точен квадрат.

$$x^{2}+\frac{3}{13}x+\left(\frac{3}{26}\right)^{2}=\frac{10}{13}+\left(\frac{3}{26}\right)^{2}$$

Повдигнете на квадрат \frac{3}{26}, като повдигнете на квадрат и числителя, и знаменателя на дробта.

$$x^{2}+\frac{3}{13}x+\frac{9}{676}=\frac{10}{13}+\frac{9}{676}$$

Съберете \frac{10}{13} и \frac{9}{676}, като намерите общ знаменател и съберете числителите. След това съкращавате дробта до най-прости членове, ако е възможно.

$$x^{2}+\frac{3}{13}x+\frac{9}{676}=\frac{529}{676}$$

Разложете на множител x^{2}+\frac{3}{13}x+\frac{9}{676}. Като цяло, когато x^{2}+bx+c е точен квадрат, той винаги може да бъде разложен на множител като \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{3}{26}\right)^{2}=\frac{529}{676}$$

Получете корен квадратен от двете страни на равенството.

$$\sqrt{\left(x+\frac{3}{26}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{529}{676}}$$

Опростявайте.

$$x+\frac{3}{26}=\frac{23}{26} x+\frac{3}{26}=-\frac{23}{26}$$

Извадете \frac{3}{26} и от двете страни на уравнението.

$$x=\frac{10}{13} x=-1$$