Решете 2x+1/x=4x

$$\frac { 2 x + 1 } { x } = 4 x$$

Решаване за x

$$x=\frac{\sqrt{5}+1}{4}\approx 0,809016994$$

$$x=\frac{1-\sqrt{5}}{4}\approx -0,309016994$$

Стъпки с използване на формулата за квадратно уравнение

Променливата x не може да бъде равна на 0, тъй като делението на нула не е дефинирано. Умножете и двете страни на уравнението по x.

$$2x+1=4xx$$

Умножете x по x, за да получите x^{2}.

$$2x+1=4x^{2}$$

Извадете 4x^{2} и от двете страни.

$$2x+1-4x^{2}=0$$

Всички формули във форма ax^{2}+bx+c=0 може да се решат чрез използване на формулата за корени на квадратното уравнение: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Формулата за корени на квадратното уравнение дава две решения, когато ± е събиране, и едно, когато е изваждане.

$$-4x^{2}+2x+1=0$$

Това уравнение е в стандартна форма: ax^{2}+bx+c=0. Заместете -4 вместо a, 2 вместо b и 1 вместо c във формулата на квадратното уравнение, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-2±\sqrt{2^{2}-4\left(-4\right)}}{2\left(-4\right)}$$

Повдигане на квадрат на 2.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-4\left(-4\right)}}{2\left(-4\right)}$$

Умножете -4 по -4.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4+16}}{2\left(-4\right)}$$

Съберете 4 с 16.

$$x=\frac{-2±\sqrt{20}}{2\left(-4\right)}$$

Получете корен квадратен от 20.

$$x=\frac{-2±2\sqrt{5}}{2\left(-4\right)}$$

Умножете 2 по -4.

$$x=\frac{-2±2\sqrt{5}}{-8}$$

Сега решете уравнението x=\frac{-2±2\sqrt{5}}{-8}, когато ± е плюс. Съберете -2 с 2\sqrt{5}.

$$x=\frac{2\sqrt{5}-2}{-8}$$

Разделете -2+2\sqrt{5} на -8.

$$x=\frac{1-\sqrt{5}}{4}$$

Сега решете уравнението x=\frac{-2±2\sqrt{5}}{-8}, когато ± е минус. Извадете 2\sqrt{5} от -2.

$$x=\frac{-2\sqrt{5}-2}{-8}$$

Разделете -2-2\sqrt{5} на -8.

$$x=\frac{\sqrt{5}+1}{4}$$

Уравнението сега е решено.

$$x=\frac{1-\sqrt{5}}{4} x=\frac{\sqrt{5}+1}{4}$$

Стъпки за допълване до пълен квадрат

Променливата x не може да бъде равна на 0, тъй като делението на нула не е дефинирано. Умножете и двете страни на уравнението по x.

$$2x+1=4xx$$

Умножете x по x, за да получите x^{2}.

$$2x+1=4x^{2}$$

Извадете 4x^{2} и от двете страни.

$$2x+1-4x^{2}=0$$

Извадете 1 и от двете страни. Нещо, извадено от нула, дава отрицателната му стойност.

$$2x-4x^{2}=-1$$

Квадратни уравнения като това могат да бъде решени чрез допълване до пълен квадрат. За да допълните до пълен квадрат, уравнението трябва първо да бъде във форма x^{2}+bx=c.

$$-4x^{2}+2x=-1$$

Разделете двете страни на -4.

$$\frac{-4x^{2}+2x}{-4}=-\frac{1}{-4}$$

Делението на -4 отменя умножението по -4.

$$x^{2}+\frac{2}{-4}x=-\frac{1}{-4}$$

Намаляване на дробта \frac{2}{-4} до най-малките членове чрез извличане на корен и съкращаване на 2.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x=-\frac{1}{-4}$$

Разделете -1 на -4.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x=\frac{1}{4}$$

Разделете -\frac{1}{2} – коефициента на члена на x – на 2, за да получите -\frac{1}{4}. След това съберете квадрата на -\frac{1}{4} с двете страни на уравнението. С тази стъпка лявата страна на уравнението става точен квадрат.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x+\left(-\frac{1}{4}\right)^{2}=\frac{1}{4}+\left(-\frac{1}{4}\right)^{2}$$

Повдигнете на квадрат -\frac{1}{4}, като повдигнете на квадрат и числителя, и знаменателя на дробта.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=\frac{1}{4}+\frac{1}{16}$$

Съберете \frac{1}{4} и \frac{1}{16}, като намерите общ знаменател и съберете числителите. След това съкращавате дробта до най-прости членове, ако е възможно.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=\frac{5}{16}$$

Разложете на множител x^{2}-\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}. Като цяло, когато x^{2}+bx+c е точен квадрат, той винаги може да бъде разложен на множител като \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{4}\right)^{2}=\frac{5}{16}$$

Получете корен квадратен от двете страни на равенството.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{5}{16}}$$

Опростявайте.

$$x-\frac{1}{4}=\frac{\sqrt{5}}{4} x-\frac{1}{4}=-\frac{\sqrt{5}}{4}$$

Съберете \frac{1}{4} към двете страни на уравнението.

$$x=\frac{\sqrt{5}+1}{4} x=\frac{1-\sqrt{5}}{4}$$