Решете 2/x+2/x+1=3

$$\frac { 2 } { x } + \frac { 2 } { x + 1 } = 3$$

Решаване за x

$$x=-\frac{2}{3}\approx -0,666666667$$

$$x=1$$

Стъпки с разлагане на множители чрез групиране

Променливата x не може да бъде равна на никоя от стойностите -1,0, тъй като делението на нула не е дефинирано. Умножете и двете страни на уравнението с x\left(x+1\right) – най-малкия общ множител на x,x+1.

$$\left(x+1\right)\times 2+x\times 2=3x\left(x+1\right)$$

Използвайте дистрибутивното свойство, за да умножите x+1 по 2.

$$2x+2+x\times 2=3x\left(x+1\right)$$

Групирайте 2x и x\times 2, за да получите 4x.

$$4x+2=3x\left(x+1\right)$$

Използвайте дистрибутивното свойство, за да умножите 3x по x+1.

$$4x+2=3x^{2}+3x$$

Извадете 3x^{2} и от двете страни.

$$4x+2-3x^{2}=3x$$

Извадете 3x и от двете страни.

$$4x+2-3x^{2}-3x=0$$

Групирайте 4x и -3x, за да получите x.

$$x+2-3x^{2}=0$$

Преобразувайте полинома в стандартна форма. Поставете членовете в ред от най-висока до най-ниска степен.

$$-3x^{2}+x+2=0$$

За да се реши уравнението, коефициентът е от лявата страна по групи. Първо, лявата страна трябва да бъде пренаписана като -3x^{2}+ax+bx+2. За да намерите a и b, настройте система, която да бъде решена.

$$a+b=1 ab=-3\times 2=-6$$

Тъй като ab е отрицателен, a и b имат противоположни знаци. Тъй като a+b е положително, положителното число има по-голяма абсолютна стойност от отрицателното. Изброяване на всички тези целочислени двойки, които придават -6 на продукта.

$$-1,6 -2,3$$

Изчислете сумата за всяка двойка.

$$-1+6=5 -2+3=1$$

Решението е двойката, която дава сума 1.

$$a=3 b=-2$$

Напишете -3x^{2}+x+2 като \left(-3x^{2}+3x\right)+\left(-2x+2\right).

$$\left(-3x^{2}+3x\right)+\left(-2x+2\right)$$

Фактор, 3x в първата и 2 във втората група.

$$3x\left(-x+1\right)+2\left(-x+1\right)$$

Разложете на множители общия член -x+1, като използвате разпределителното свойство.

$$\left(-x+1\right)\left(3x+2\right)$$

За да намерите решения за уравнение, решете -x+1=0 и 3x+2=0.

$$x=1 x=-\frac{2}{3}$$

Стъпки с използване на формулата за квадратно уравнение

Променливата x не може да бъде равна на никоя от стойностите -1,0, тъй като делението на нула не е дефинирано. Умножете и двете страни на уравнението с x\left(x+1\right) – най-малкия общ множител на x,x+1.

$$\left(x+1\right)\times 2+x\times 2=3x\left(x+1\right)$$

Използвайте дистрибутивното свойство, за да умножите x+1 по 2.

$$2x+2+x\times 2=3x\left(x+1\right)$$

Групирайте 2x и x\times 2, за да получите 4x.

$$4x+2=3x\left(x+1\right)$$

Използвайте дистрибутивното свойство, за да умножите 3x по x+1.

$$4x+2=3x^{2}+3x$$

Извадете 3x^{2} и от двете страни.

$$4x+2-3x^{2}=3x$$

Извадете 3x и от двете страни.

$$4x+2-3x^{2}-3x=0$$

Групирайте 4x и -3x, за да получите x.

$$x+2-3x^{2}=0$$

Всички формули във форма ax^{2}+bx+c=0 може да се решат чрез използване на формулата за корени на квадратното уравнение: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Формулата за корени на квадратното уравнение дава две решения, когато ± е събиране, и едно, когато е изваждане.

$$-3x^{2}+x+2=0$$

Това уравнение е в стандартна форма: ax^{2}+bx+c=0. Заместете -3 вместо a, 1 вместо b и 2 вместо c във формулата на квадратното уравнение, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\left(-3\right)\times 2}}{2\left(-3\right)}$$

Повдигане на квадрат на 1.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-4\left(-3\right)\times 2}}{2\left(-3\right)}$$

Умножете -4 по -3.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1+12\times 2}}{2\left(-3\right)}$$

Умножете 12 по 2.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1+24}}{2\left(-3\right)}$$

Съберете 1 с 24.

$$x=\frac{-1±\sqrt{25}}{2\left(-3\right)}$$

Получете корен квадратен от 25.

$$x=\frac{-1±5}{2\left(-3\right)}$$

Умножете 2 по -3.

$$x=\frac{-1±5}{-6}$$

Сега решете уравнението x=\frac{-1±5}{-6}, когато ± е плюс. Съберете -1 с 5.

$$x=\frac{4}{-6}$$

Намаляване на дробта \frac{4}{-6} до най-малките членове чрез извличане на корен и съкращаване на 2.

$$x=-\frac{2}{3}$$

Сега решете уравнението x=\frac{-1±5}{-6}, когато ± е минус. Извадете 5 от -1.

$$x=-\frac{6}{-6}$$

Разделете -6 на -6.

$$x=1$$

Уравнението сега е решено.

$$x=-\frac{2}{3} x=1$$

Стъпки за допълване до пълен квадрат

Променливата x не може да бъде равна на никоя от стойностите -1,0, тъй като делението на нула не е дефинирано. Умножете и двете страни на уравнението с x\left(x+1\right) – най-малкия общ множител на x,x+1.

$$\left(x+1\right)\times 2+x\times 2=3x\left(x+1\right)$$

Използвайте дистрибутивното свойство, за да умножите x+1 по 2.

$$2x+2+x\times 2=3x\left(x+1\right)$$

Групирайте 2x и x\times 2, за да получите 4x.

$$4x+2=3x\left(x+1\right)$$

Използвайте дистрибутивното свойство, за да умножите 3x по x+1.

$$4x+2=3x^{2}+3x$$

Извадете 3x^{2} и от двете страни.

$$4x+2-3x^{2}=3x$$

Извадете 3x и от двете страни.

$$4x+2-3x^{2}-3x=0$$

Групирайте 4x и -3x, за да получите x.

$$x+2-3x^{2}=0$$

Извадете 2 и от двете страни. Нещо, извадено от нула, дава отрицателната му стойност.

$$x-3x^{2}=-2$$

Квадратни уравнения като това могат да бъде решени чрез допълване до пълен квадрат. За да допълните до пълен квадрат, уравнението трябва първо да бъде във форма x^{2}+bx=c.

$$-3x^{2}+x=-2$$

Разделете двете страни на -3.

$$\frac{-3x^{2}+x}{-3}=-\frac{2}{-3}$$

Делението на -3 отменя умножението по -3.

$$x^{2}+\frac{1}{-3}x=-\frac{2}{-3}$$

Разделете 1 на -3.

$$x^{2}-\frac{1}{3}x=-\frac{2}{-3}$$

Разделете -2 на -3.

$$x^{2}-\frac{1}{3}x=\frac{2}{3}$$

Разделете -\frac{1}{3} – коефициента на члена на x – на 2, за да получите -\frac{1}{6}. След това съберете квадрата на -\frac{1}{6} с двете страни на уравнението. С тази стъпка лявата страна на уравнението става точен квадрат.

$$x^{2}-\frac{1}{3}x+\left(-\frac{1}{6}\right)^{2}=\frac{2}{3}+\left(-\frac{1}{6}\right)^{2}$$

Повдигнете на квадрат -\frac{1}{6}, като повдигнете на квадрат и числителя, и знаменателя на дробта.

$$x^{2}-\frac{1}{3}x+\frac{1}{36}=\frac{2}{3}+\frac{1}{36}$$

Съберете \frac{2}{3} и \frac{1}{36}, като намерите общ знаменател и съберете числителите. След това съкращавате дробта до най-прости членове, ако е възможно.

$$x^{2}-\frac{1}{3}x+\frac{1}{36}=\frac{25}{36}$$

Разложете на множител x^{2}-\frac{1}{3}x+\frac{1}{36}. Като цяло, когато x^{2}+bx+c е точен квадрат, той винаги може да бъде разложен на множител като \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{6}\right)^{2}=\frac{25}{36}$$

Получете корен квадратен от двете страни на равенството.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{25}{36}}$$

Опростявайте.

$$x-\frac{1}{6}=\frac{5}{6} x-\frac{1}{6}=-\frac{5}{6}$$

Съберете \frac{1}{6} към двете страни на уравнението.

$$x=1 x=-\frac{2}{3}$$