Решете 2/x+15/x+6=1

$$\frac { 2 } { x } + \frac { 15 } { x + 6 } = 1$$

Решаване за x

$$x=-1$$

$$x=12$$

Стъпки с разлагане на множители чрез групиране

Променливата x не може да бъде равна на никоя от стойностите -6,0, тъй като делението на нула не е дефинирано. Умножете и двете страни на уравнението с x\left(x+6\right) – най-малкия общ множител на x,x+6.

$$\left(x+6\right)\times 2+x\times 15=x\left(x+6\right)$$

Използвайте дистрибутивното свойство, за да умножите x+6 по 2.

$$2x+12+x\times 15=x\left(x+6\right)$$

Групирайте 2x и x\times 15, за да получите 17x.

$$17x+12=x\left(x+6\right)$$

Използвайте дистрибутивното свойство, за да умножите x по x+6.

$$17x+12=x^{2}+6x$$

Извадете x^{2} и от двете страни.

$$17x+12-x^{2}=6x$$

Извадете 6x и от двете страни.

$$17x+12-x^{2}-6x=0$$

Групирайте 17x и -6x, за да получите 11x.

$$11x+12-x^{2}=0$$

Преобразувайте полинома в стандартна форма. Поставете членовете в ред от най-висока до най-ниска степен.

$$-x^{2}+11x+12=0$$

За да се реши уравнението, коефициентът е от лявата страна по групи. Първо, лявата страна трябва да бъде пренаписана като -x^{2}+ax+bx+12. За да намерите a и b, настройте система, която да бъде решена.

$$a+b=11 ab=-12=-12$$

Тъй като ab е отрицателен, a и b имат противоположни знаци. Тъй като a+b е положително, положителното число има по-голяма абсолютна стойност от отрицателното. Изброяване на всички тези целочислени двойки, които придават -12 на продукта.

$$-1,12 -2,6 -3,4$$

Изчислете сумата за всяка двойка.

$$-1+12=11 -2+6=4 -3+4=1$$

Решението е двойката, която дава сума 11.

$$a=12 b=-1$$

Напишете -x^{2}+11x+12 като \left(-x^{2}+12x\right)+\left(-x+12\right).

$$\left(-x^{2}+12x\right)+\left(-x+12\right)$$

Фактор, -x в първата и -1 във втората група.

$$-x\left(x-12\right)-\left(x-12\right)$$

Разложете на множители общия член x-12, като използвате разпределителното свойство.

$$\left(x-12\right)\left(-x-1\right)$$

За да намерите решения за уравнение, решете x-12=0 и -x-1=0.

$$x=12 x=-1$$

Стъпки с използване на формулата за квадратно уравнение

Променливата x не може да бъде равна на никоя от стойностите -6,0, тъй като делението на нула не е дефинирано. Умножете и двете страни на уравнението с x\left(x+6\right) – най-малкия общ множител на x,x+6.

$$\left(x+6\right)\times 2+x\times 15=x\left(x+6\right)$$

Използвайте дистрибутивното свойство, за да умножите x+6 по 2.

$$2x+12+x\times 15=x\left(x+6\right)$$

Групирайте 2x и x\times 15, за да получите 17x.

$$17x+12=x\left(x+6\right)$$

Използвайте дистрибутивното свойство, за да умножите x по x+6.

$$17x+12=x^{2}+6x$$

Извадете x^{2} и от двете страни.

$$17x+12-x^{2}=6x$$

Извадете 6x и от двете страни.

$$17x+12-x^{2}-6x=0$$

Групирайте 17x и -6x, за да получите 11x.

$$11x+12-x^{2}=0$$

Всички формули във форма ax^{2}+bx+c=0 може да се решат чрез използване на формулата за корени на квадратното уравнение: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Формулата за корени на квадратното уравнение дава две решения, когато ± е събиране, и едно, когато е изваждане.

$$-x^{2}+11x+12=0$$

Това уравнение е в стандартна форма: ax^{2}+bx+c=0. Заместете -1 вместо a, 11 вместо b и 12 вместо c във формулата на квадратното уравнение, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-11±\sqrt{11^{2}-4\left(-1\right)\times 12}}{2\left(-1\right)}$$

Повдигане на квадрат на 11.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121-4\left(-1\right)\times 12}}{2\left(-1\right)}$$

Умножете -4 по -1.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121+4\times 12}}{2\left(-1\right)}$$

Умножете 4 по 12.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121+48}}{2\left(-1\right)}$$

Съберете 121 с 48.

$$x=\frac{-11±\sqrt{169}}{2\left(-1\right)}$$

Получете корен квадратен от 169.

$$x=\frac{-11±13}{2\left(-1\right)}$$

Умножете 2 по -1.

$$x=\frac{-11±13}{-2}$$

Сега решете уравнението x=\frac{-11±13}{-2}, когато ± е плюс. Съберете -11 с 13.

$$x=\frac{2}{-2}$$

Разделете 2 на -2.

$$x=-1$$

Сега решете уравнението x=\frac{-11±13}{-2}, когато ± е минус. Извадете 13 от -11.

$$x=-\frac{24}{-2}$$

Разделете -24 на -2.

$$x=12$$

Уравнението сега е решено.

$$x=-1 x=12$$

Стъпки за допълване до пълен квадрат

Променливата x не може да бъде равна на никоя от стойностите -6,0, тъй като делението на нула не е дефинирано. Умножете и двете страни на уравнението с x\left(x+6\right) – най-малкия общ множител на x,x+6.

$$\left(x+6\right)\times 2+x\times 15=x\left(x+6\right)$$

Използвайте дистрибутивното свойство, за да умножите x+6 по 2.

$$2x+12+x\times 15=x\left(x+6\right)$$

Групирайте 2x и x\times 15, за да получите 17x.

$$17x+12=x\left(x+6\right)$$

Използвайте дистрибутивното свойство, за да умножите x по x+6.

$$17x+12=x^{2}+6x$$

Извадете x^{2} и от двете страни.

$$17x+12-x^{2}=6x$$

Извадете 6x и от двете страни.

$$17x+12-x^{2}-6x=0$$

Групирайте 17x и -6x, за да получите 11x.

$$11x+12-x^{2}=0$$

Извадете 12 и от двете страни. Нещо, извадено от нула, дава отрицателната му стойност.

$$11x-x^{2}=-12$$

Квадратни уравнения като това могат да бъде решени чрез допълване до пълен квадрат. За да допълните до пълен квадрат, уравнението трябва първо да бъде във форма x^{2}+bx=c.

$$-x^{2}+11x=-12$$

Разделете двете страни на -1.

$$\frac{-x^{2}+11x}{-1}=-\frac{12}{-1}$$

Делението на -1 отменя умножението по -1.

$$x^{2}+\frac{11}{-1}x=-\frac{12}{-1}$$

Разделете 11 на -1.

$$x^{2}-11x=-\frac{12}{-1}$$

Разделете -12 на -1.

$$x^{2}-11x=12$$

Разделете -11 – коефициента на члена на x – на 2, за да получите -\frac{11}{2}. След това съберете квадрата на -\frac{11}{2} с двете страни на уравнението. С тази стъпка лявата страна на уравнението става точен квадрат.

$$x^{2}-11x+\left(-\frac{11}{2}\right)^{2}=12+\left(-\frac{11}{2}\right)^{2}$$

Повдигнете на квадрат -\frac{11}{2}, като повдигнете на квадрат и числителя, и знаменателя на дробта.

$$x^{2}-11x+\frac{121}{4}=12+\frac{121}{4}$$

Съберете 12 с \frac{121}{4}.

$$x^{2}-11x+\frac{121}{4}=\frac{169}{4}$$

Разложете на множител x^{2}-11x+\frac{121}{4}. Като цяло, когато x^{2}+bx+c е точен квадрат, той винаги може да бъде разложен на множител като \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{11}{2}\right)^{2}=\frac{169}{4}$$

Получете корен квадратен от двете страни на равенството.

$$\sqrt{\left(x-\frac{11}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{4}}$$

Опростявайте.

$$x-\frac{11}{2}=\frac{13}{2} x-\frac{11}{2}=-\frac{13}{2}$$

Съберете \frac{11}{2} към двете страни на уравнението.

$$x=12 x=-1$$