Решете 2/x^2-3x+2+1/x^2+3x+2=4/x^2-4

$$\frac { 2 } { x ^ { 2 } - 3 x + 2 } + \frac { 1 } { x ^ { 2 } + 3 x + 2 } = \frac { 4 } { x ^ { 2 } - 4 }$$

Решаване за x

$$x=5$$

Стъпки с разлагане на множители чрез групиране

Променливата x не може да бъде равна на никоя от стойностите -2,-1,1,2, тъй като делението на нула не е дефинирано. Умножете и двете страни на уравнението с \left(x-2\right)\left(x-1\right)\left(x+1\right)\left(x+2\right) – най-малкия общ множител на x^{2}-3x+2,x^{2}+3x+2,x^{2}-4.

$$\left(x+2\right)\left(x+1\right)\times 2+\left(x-2\right)\left(x-1\right)=\left(x^{2}-1\right)\times 4$$

Използвайте дистрибутивното свойство, за да умножите x+2 по x+1 и да групирате подобните членове.

$$\left(x^{2}+3x+2\right)\times 2+\left(x-2\right)\left(x-1\right)=\left(x^{2}-1\right)\times 4$$

Използвайте дистрибутивното свойство, за да умножите x^{2}+3x+2 по 2.

$$2x^{2}+6x+4+\left(x-2\right)\left(x-1\right)=\left(x^{2}-1\right)\times 4$$

Използвайте дистрибутивното свойство, за да умножите x-2 по x-1 и да групирате подобните членове.

$$2x^{2}+6x+4+x^{2}-3x+2=\left(x^{2}-1\right)\times 4$$

Групирайте 2x^{2} и x^{2}, за да получите 3x^{2}.

$$3x^{2}+6x+4-3x+2=\left(x^{2}-1\right)\times 4$$

Групирайте 6x и -3x, за да получите 3x.

$$3x^{2}+3x+4+2=\left(x^{2}-1\right)\times 4$$

Съберете 4 и 2, за да се получи 6.

$$3x^{2}+3x+6=\left(x^{2}-1\right)\times 4$$

Използвайте дистрибутивното свойство, за да умножите x^{2}-1 по 4.

$$3x^{2}+3x+6=4x^{2}-4$$

Извадете 4x^{2} и от двете страни.

$$3x^{2}+3x+6-4x^{2}=-4$$

Групирайте 3x^{2} и -4x^{2}, за да получите -x^{2}.

$$-x^{2}+3x+6=-4$$

Добавете 4 от двете страни.

$$-x^{2}+3x+6+4=0$$

Съберете 6 и 4, за да се получи 10.

$$-x^{2}+3x+10=0$$

За да се реши уравнението, коефициентът е от лявата страна по групи. Първо, лявата страна трябва да бъде пренаписана като -x^{2}+ax+bx+10. За да намерите a и b, настройте система, която да бъде решена.

$$a+b=3 ab=-10=-10$$

Тъй като ab е отрицателен, a и b имат противоположни знаци. Тъй като a+b е положително, положителното число има по-голяма абсолютна стойност от отрицателното. Изброяване на всички тези целочислени двойки, които придават -10 на продукта.

$$-1,10 -2,5$$

Изчислете сумата за всяка двойка.

$$-1+10=9 -2+5=3$$

Решението е двойката, която дава сума 3.

$$a=5 b=-2$$

Напишете -x^{2}+3x+10 като \left(-x^{2}+5x\right)+\left(-2x+10\right).

$$\left(-x^{2}+5x\right)+\left(-2x+10\right)$$

Фактор, -x в първата и -2 във втората група.

$$-x\left(x-5\right)-2\left(x-5\right)$$

Разложете на множители общия член x-5, като използвате разпределителното свойство.

$$\left(x-5\right)\left(-x-2\right)$$

За да намерите решения за уравнение, решете x-5=0 и -x-2=0.

$$x=5 x=-2$$

Променливата x не може да бъде равна на -2.

$$x=5$$

Стъпки с използване на формулата за квадратно уравнение

Променливата x не може да бъде равна на никоя от стойностите -2,-1,1,2, тъй като делението на нула не е дефинирано. Умножете и двете страни на уравнението с \left(x-2\right)\left(x-1\right)\left(x+1\right)\left(x+2\right) – най-малкия общ множител на x^{2}-3x+2,x^{2}+3x+2,x^{2}-4.

$$\left(x+2\right)\left(x+1\right)\times 2+\left(x-2\right)\left(x-1\right)=\left(x^{2}-1\right)\times 4$$

Използвайте дистрибутивното свойство, за да умножите x+2 по x+1 и да групирате подобните членове.

$$\left(x^{2}+3x+2\right)\times 2+\left(x-2\right)\left(x-1\right)=\left(x^{2}-1\right)\times 4$$

Използвайте дистрибутивното свойство, за да умножите x^{2}+3x+2 по 2.

$$2x^{2}+6x+4+\left(x-2\right)\left(x-1\right)=\left(x^{2}-1\right)\times 4$$

Използвайте дистрибутивното свойство, за да умножите x-2 по x-1 и да групирате подобните членове.

$$2x^{2}+6x+4+x^{2}-3x+2=\left(x^{2}-1\right)\times 4$$

Групирайте 2x^{2} и x^{2}, за да получите 3x^{2}.

$$3x^{2}+6x+4-3x+2=\left(x^{2}-1\right)\times 4$$

Групирайте 6x и -3x, за да получите 3x.

$$3x^{2}+3x+4+2=\left(x^{2}-1\right)\times 4$$

Съберете 4 и 2, за да се получи 6.

$$3x^{2}+3x+6=\left(x^{2}-1\right)\times 4$$

Използвайте дистрибутивното свойство, за да умножите x^{2}-1 по 4.

$$3x^{2}+3x+6=4x^{2}-4$$

Извадете 4x^{2} и от двете страни.

$$3x^{2}+3x+6-4x^{2}=-4$$

Групирайте 3x^{2} и -4x^{2}, за да получите -x^{2}.

$$-x^{2}+3x+6=-4$$

Добавете 4 от двете страни.

$$-x^{2}+3x+6+4=0$$

Съберете 6 и 4, за да се получи 10.

$$-x^{2}+3x+10=0$$

Това уравнение е в стандартна форма: ax^{2}+bx+c=0. Заместете -1 вместо a, 3 вместо b и 10 вместо c във формулата на квадратното уравнение, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4\left(-1\right)\times 10}}{2\left(-1\right)}$$

Повдигане на квадрат на 3.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-4\left(-1\right)\times 10}}{2\left(-1\right)}$$

Умножете -4 по -1.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9+4\times 10}}{2\left(-1\right)}$$

Умножете 4 по 10.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9+40}}{2\left(-1\right)}$$

Съберете 9 с 40.

$$x=\frac{-3±\sqrt{49}}{2\left(-1\right)}$$

Получете корен квадратен от 49.

$$x=\frac{-3±7}{2\left(-1\right)}$$

Умножете 2 по -1.

$$x=\frac{-3±7}{-2}$$

Сега решете уравнението x=\frac{-3±7}{-2}, когато ± е плюс. Съберете -3 с 7.

$$x=\frac{4}{-2}$$

Разделете 4 на -2.

$$x=-2$$

Сега решете уравнението x=\frac{-3±7}{-2}, когато ± е минус. Извадете 7 от -3.

$$x=-\frac{10}{-2}$$

Разделете -10 на -2.

$$x=5$$

Уравнението сега е решено.

$$x=-2 x=5$$

Променливата x не може да бъде равна на -2.

$$x=5$$

Стъпки за допълване до пълен квадрат

Променливата x не може да бъде равна на никоя от стойностите -2,-1,1,2, тъй като делението на нула не е дефинирано. Умножете и двете страни на уравнението с \left(x-2\right)\left(x-1\right)\left(x+1\right)\left(x+2\right) – най-малкия общ множител на x^{2}-3x+2,x^{2}+3x+2,x^{2}-4.

$$\left(x+2\right)\left(x+1\right)\times 2+\left(x-2\right)\left(x-1\right)=\left(x^{2}-1\right)\times 4$$

Използвайте дистрибутивното свойство, за да умножите x+2 по x+1 и да групирате подобните членове.

$$\left(x^{2}+3x+2\right)\times 2+\left(x-2\right)\left(x-1\right)=\left(x^{2}-1\right)\times 4$$

Използвайте дистрибутивното свойство, за да умножите x^{2}+3x+2 по 2.

$$2x^{2}+6x+4+\left(x-2\right)\left(x-1\right)=\left(x^{2}-1\right)\times 4$$

Използвайте дистрибутивното свойство, за да умножите x-2 по x-1 и да групирате подобните членове.

$$2x^{2}+6x+4+x^{2}-3x+2=\left(x^{2}-1\right)\times 4$$

Групирайте 2x^{2} и x^{2}, за да получите 3x^{2}.

$$3x^{2}+6x+4-3x+2=\left(x^{2}-1\right)\times 4$$

Групирайте 6x и -3x, за да получите 3x.

$$3x^{2}+3x+4+2=\left(x^{2}-1\right)\times 4$$

Съберете 4 и 2, за да се получи 6.

$$3x^{2}+3x+6=\left(x^{2}-1\right)\times 4$$

Използвайте дистрибутивното свойство, за да умножите x^{2}-1 по 4.

$$3x^{2}+3x+6=4x^{2}-4$$

Извадете 4x^{2} и от двете страни.

$$3x^{2}+3x+6-4x^{2}=-4$$

Групирайте 3x^{2} и -4x^{2}, за да получите -x^{2}.

$$-x^{2}+3x+6=-4$$

Извадете 6 и от двете страни.

$$-x^{2}+3x=-4-6$$

Извадете 6 от -4, за да получите -10.

$$-x^{2}+3x=-10$$

Разделете двете страни на -1.

$$\frac{-x^{2}+3x}{-1}=-\frac{10}{-1}$$

Делението на -1 отменя умножението по -1.

$$x^{2}+\frac{3}{-1}x=-\frac{10}{-1}$$

Разделете 3 на -1.

$$x^{2}-3x=-\frac{10}{-1}$$

Разделете -10 на -1.

$$x^{2}-3x=10$$

Разделете -3 – коефициента на члена на x – на 2, за да получите -\frac{3}{2}. След това съберете квадрата на -\frac{3}{2} с двете страни на уравнението. С тази стъпка лявата страна на уравнението става точен квадрат.

$$x^{2}-3x+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}=10+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}$$

Повдигнете на квадрат -\frac{3}{2}, като повдигнете на квадрат и числителя, и знаменателя на дробта.

$$x^{2}-3x+\frac{9}{4}=10+\frac{9}{4}$$

Съберете 10 с \frac{9}{4}.

$$x^{2}-3x+\frac{9}{4}=\frac{49}{4}$$

Разложете на множител x^{2}-3x+\frac{9}{4}. Като цяло, когато x^{2}+bx+c е точен квадрат, той винаги може да бъде разложен на множител като \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{49}{4}$$

Получете корен квадратен от двете страни на равенството.

$$\sqrt{\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{4}}$$

Опростявайте.

$$x-\frac{3}{2}=\frac{7}{2} x-\frac{3}{2}=-\frac{7}{2}$$

Съберете \frac{3}{2} към двете страни на уравнението.

$$x=5 x=-2$$

Променливата x не може да бъде равна на -2.

$$x=5$$