Решете frac{2+sqrt{5}}{2-sqrt{5}}

$$\frac { 2 + \sqrt { 5 } } { 2 - \sqrt { 5 } }$$

Изчисляване

$$-4\sqrt{5}-9\approx -17,94427191$$

Стъпки на решението

Рационализиране на знаменателя на \frac{2+\sqrt{5}}{2-\sqrt{5}}, като се умножи числител и знаменател по 2+\sqrt{5}.

$$\frac{\left(2+\sqrt{5}\right)\left(2+\sqrt{5}\right)}{\left(2-\sqrt{5}\right)\left(2+\sqrt{5}\right)}$$

Сметнете \left(2-\sqrt{5}\right)\left(2+\sqrt{5}\right). Умножението може да бъде преобразувано в разлика на квадрати с помощта на правилото: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$\frac{\left(2+\sqrt{5}\right)\left(2+\sqrt{5}\right)}{2^{2}-\left(\sqrt{5}\right)^{2}}$$

Повдигане на квадрат на 2. Повдигане на квадрат на \sqrt{5}.

$$\frac{\left(2+\sqrt{5}\right)\left(2+\sqrt{5}\right)}{4-5}$$

Извадете 5 от 4, за да получите -1.

$$\frac{\left(2+\sqrt{5}\right)\left(2+\sqrt{5}\right)}{-1}$$

Умножете 2+\sqrt{5} по 2+\sqrt{5}, за да получите \left(2+\sqrt{5}\right)^{2}.

$$\frac{\left(2+\sqrt{5}\right)^{2}}{-1}$$

Използвайте Нютоновия бином \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}, за да разложите \left(2+\sqrt{5}\right)^{2}.

$$\frac{4+4\sqrt{5}+\left(\sqrt{5}\right)^{2}}{-1}$$

Квадратът на \sqrt{5} е 5.

$$\frac{4+4\sqrt{5}+5}{-1}$$

Съберете 4 и 5, за да се получи 9.

$$\frac{9+4\sqrt{5}}{-1}$$

Всяко число, разделено на -1, е равно на неговото противоположно число. За да намерите противоположната стойност на 9+4\sqrt{5}, намерете противоположната стойност на всеки член.

$$-9-4\sqrt{5}$$