Решете 168/x-168/x+14=1

$$\frac { 168 } { x } - \frac { 168 } { x + 14 } = 1$$

Решаване за x

$$x=-56$$

$$x=42$$

Стъпки с разлагане на множители чрез групиране

Променливата x не може да бъде равна на никоя от стойностите -14,0, тъй като делението на нула не е дефинирано. Умножете и двете страни на уравнението с x\left(x+14\right) – най-малкия общ множител на x,x+14.

$$\left(x+14\right)\times 168-x\times 168=x\left(x+14\right)$$

Използвайте дистрибутивното свойство, за да умножите x+14 по 168.

$$168x+2352-x\times 168=x\left(x+14\right)$$

Използвайте дистрибутивното свойство, за да умножите x по x+14.

$$168x+2352-x\times 168=x^{2}+14x$$

Извадете x^{2} и от двете страни.

$$168x+2352-x\times 168-x^{2}=14x$$

Извадете 14x и от двете страни.

$$168x+2352-x\times 168-x^{2}-14x=0$$

Групирайте 168x и -14x, за да получите 154x.

$$154x+2352-x\times 168-x^{2}=0$$

Умножете -1 по 168, за да получите -168.

$$154x+2352-168x-x^{2}=0$$

Групирайте 154x и -168x, за да получите -14x.

$$-14x+2352-x^{2}=0$$

Преобразувайте полинома в стандартна форма. Поставете членовете в ред от най-висока до най-ниска степен.

$$-x^{2}-14x+2352=0$$

За да се реши уравнението, коефициентът е от лявата страна по групи. Първо, лявата страна трябва да бъде пренаписана като -x^{2}+ax+bx+2352. За да намерите a и b, настройте система, която да бъде решена.

$$a+b=-14 ab=-2352=-2352$$

Тъй като ab е отрицателен, a и b имат противоположни знаци. Тъй като a+b е отрицателно, отрицателното число има по-голяма абсолютна стойност от положителното. Изброяване на всички тези целочислени двойки, които придават -2352 на продукта.

$$1,-2352 2,-1176 3,-784 4,-588 6,-392 7,-336 8,-294 12,-196 14,-168 16,-147 21,-112 24,-98 28,-84 42,-56 48,-49$$

Изчислете сумата за всяка двойка.

$$1-2352=-2351 2-1176=-1174 3-784=-781 4-588=-584 6-392=-386 7-336=-329 8-294=-286 12-196=-184 14-168=-154 16-147=-131 21-112=-91 24-98=-74 28-84=-56 42-56=-14 48-49=-1$$

Решението е двойката, която дава сума -14.

$$a=42 b=-56$$

Напишете -x^{2}-14x+2352 като \left(-x^{2}+42x\right)+\left(-56x+2352\right).

$$\left(-x^{2}+42x\right)+\left(-56x+2352\right)$$

Фактор, x в първата и 56 във втората група.

$$x\left(-x+42\right)+56\left(-x+42\right)$$

Разложете на множители общия член -x+42, като използвате разпределителното свойство.

$$\left(-x+42\right)\left(x+56\right)$$

За да намерите решения за уравнение, решете -x+42=0 и x+56=0.

$$x=42 x=-56$$

Стъпки с използване на формулата за квадратно уравнение

Променливата x не може да бъде равна на никоя от стойностите -14,0, тъй като делението на нула не е дефинирано. Умножете и двете страни на уравнението с x\left(x+14\right) – най-малкия общ множител на x,x+14.

$$\left(x+14\right)\times 168-x\times 168=x\left(x+14\right)$$

Използвайте дистрибутивното свойство, за да умножите x+14 по 168.

$$168x+2352-x\times 168=x\left(x+14\right)$$

Използвайте дистрибутивното свойство, за да умножите x по x+14.

$$168x+2352-x\times 168=x^{2}+14x$$

Извадете x^{2} и от двете страни.

$$168x+2352-x\times 168-x^{2}=14x$$

Извадете 14x и от двете страни.

$$168x+2352-x\times 168-x^{2}-14x=0$$

Групирайте 168x и -14x, за да получите 154x.

$$154x+2352-x\times 168-x^{2}=0$$

Умножете -1 по 168, за да получите -168.

$$154x+2352-168x-x^{2}=0$$

Групирайте 154x и -168x, за да получите -14x.

$$-14x+2352-x^{2}=0$$

Всички формули във форма ax^{2}+bx+c=0 може да се решат чрез използване на формулата за корени на квадратното уравнение: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Формулата за корени на квадратното уравнение дава две решения, когато ± е събиране, и едно, когато е изваждане.

$$-x^{2}-14x+2352=0$$

Това уравнение е в стандартна форма: ax^{2}+bx+c=0. Заместете -1 вместо a, -14 вместо b и 2352 вместо c във формулата на квадратното уравнение, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{\left(-14\right)^{2}-4\left(-1\right)\times 2352}}{2\left(-1\right)}$$

Повдигане на квадрат на -14.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-4\left(-1\right)\times 2352}}{2\left(-1\right)}$$

Умножете -4 по -1.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196+4\times 2352}}{2\left(-1\right)}$$

Умножете 4 по 2352.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196+9408}}{2\left(-1\right)}$$

Съберете 196 с 9408.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{9604}}{2\left(-1\right)}$$

Получете корен квадратен от 9604.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±98}{2\left(-1\right)}$$

Противоположното на -14 е 14.

$$x=\frac{14±98}{2\left(-1\right)}$$

Умножете 2 по -1.

$$x=\frac{14±98}{-2}$$

Сега решете уравнението x=\frac{14±98}{-2}, когато ± е плюс. Съберете 14 с 98.

$$x=\frac{112}{-2}$$

Разделете 112 на -2.

$$x=-56$$

Сега решете уравнението x=\frac{14±98}{-2}, когато ± е минус. Извадете 98 от 14.

$$x=-\frac{84}{-2}$$

Разделете -84 на -2.

$$x=42$$

Уравнението сега е решено.

$$x=-56 x=42$$

Стъпки за допълване до пълен квадрат

Променливата x не може да бъде равна на никоя от стойностите -14,0, тъй като делението на нула не е дефинирано. Умножете и двете страни на уравнението с x\left(x+14\right) – най-малкия общ множител на x,x+14.

$$\left(x+14\right)\times 168-x\times 168=x\left(x+14\right)$$

Използвайте дистрибутивното свойство, за да умножите x+14 по 168.

$$168x+2352-x\times 168=x\left(x+14\right)$$

Използвайте дистрибутивното свойство, за да умножите x по x+14.

$$168x+2352-x\times 168=x^{2}+14x$$

Извадете x^{2} и от двете страни.

$$168x+2352-x\times 168-x^{2}=14x$$

Извадете 14x и от двете страни.

$$168x+2352-x\times 168-x^{2}-14x=0$$

Групирайте 168x и -14x, за да получите 154x.

$$154x+2352-x\times 168-x^{2}=0$$

Извадете 2352 и от двете страни. Нещо, извадено от нула, дава отрицателната му стойност.

$$154x-x\times 168-x^{2}=-2352$$

Умножете -1 по 168, за да получите -168.

$$154x-168x-x^{2}=-2352$$

Групирайте 154x и -168x, за да получите -14x.

$$-14x-x^{2}=-2352$$

Квадратни уравнения като това могат да бъде решени чрез допълване до пълен квадрат. За да допълните до пълен квадрат, уравнението трябва първо да бъде във форма x^{2}+bx=c.

$$-x^{2}-14x=-2352$$

Разделете двете страни на -1.

$$\frac{-x^{2}-14x}{-1}=-\frac{2352}{-1}$$

Делението на -1 отменя умножението по -1.

$$x^{2}+\left(-\frac{14}{-1}\right)x=-\frac{2352}{-1}$$

Разделете -14 на -1.

$$x^{2}+14x=-\frac{2352}{-1}$$

Разделете -2352 на -1.

$$x^{2}+14x=2352$$

Разделете 14 – коефициента на члена на x – на 2, за да получите 7. След това съберете квадрата на 7 с двете страни на уравнението. С тази стъпка лявата страна на уравнението става точен квадрат.

$$x^{2}+14x+7^{2}=2352+7^{2}$$

Повдигане на квадрат на 7.

$$x^{2}+14x+49=2352+49$$

Съберете 2352 с 49.

$$x^{2}+14x+49=2401$$

Разложете на множител x^{2}+14x+49. Като цяло, когато x^{2}+bx+c е точен квадрат, той винаги може да бъде разложен на множител като \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+7\right)^{2}=2401$$

Получете корен квадратен от двете страни на равенството.

$$\sqrt{\left(x+7\right)^{2}}=\sqrt{2401}$$

Опростявайте.

$$x+7=49 x+7=-49$$

Извадете 7 и от двете страни на уравнението.

$$x=42 x=-56$$