Решете 1500/x-1500/x+250=1/2

$$\frac { 1500 } { x } - \frac { 1500 } { x + 250 } = \frac { 1 } { 2 }$$

Решаване за x

$$x=-1000$$

$$x=750$$

Стъпки с разлагане на множители чрез групиране

Променливата x не може да бъде равна на никоя от стойностите -250,0, тъй като делението на нула не е дефинирано. Умножете и двете страни на уравнението с 2x\left(x+250\right) – най-малкия общ множител на x,x+250,2.

$$\left(2x+500\right)\times 1500-2x\times 1500=x\left(x+250\right)$$

Използвайте дистрибутивното свойство, за да умножите 2x+500 по 1500.

$$3000x+750000-2x\times 1500=x\left(x+250\right)$$

Умножете 2 по 1500, за да получите 3000.

$$3000x+750000-3000x=x\left(x+250\right)$$

Използвайте дистрибутивното свойство, за да умножите x по x+250.

$$3000x+750000-3000x=x^{2}+250x$$

Извадете x^{2} и от двете страни.

$$3000x+750000-3000x-x^{2}=250x$$

Извадете 250x и от двете страни.

$$3000x+750000-3000x-x^{2}-250x=0$$

Групирайте 3000x и -250x, за да получите 2750x.

$$2750x+750000-3000x-x^{2}=0$$

Групирайте 2750x и -3000x, за да получите -250x.

$$-250x+750000-x^{2}=0$$

Преобразувайте полинома в стандартна форма. Поставете членовете в ред от най-висока до най-ниска степен.

$$-x^{2}-250x+750000=0$$

За да се реши уравнението, коефициентът е от лявата страна по групи. Първо, лявата страна трябва да бъде пренаписана като -x^{2}+ax+bx+750000. За да намерите a и b, настройте система, която да бъде решена.

$$a+b=-250 ab=-750000=-750000$$

Тъй като ab е отрицателен, a и b имат противоположни знаци. Тъй като a+b е отрицателно, отрицателното число има по-голяма абсолютна стойност от положителното. Изброяване на всички тези целочислени двойки, които придават -750000 на продукта.

$$1,-750000 2,-375000 3,-250000 4,-187500 5,-150000 6,-125000 8,-93750 10,-75000 12,-62500 15,-50000 16,-46875 20,-37500 24,-31250 25,-30000 30,-25000 40,-18750 48,-15625 50,-15000 60,-12500 75,-10000 80,-9375 100,-7500 120,-6250 125,-6000 150,-5000 200,-3750 240,-3125 250,-3000 300,-2500 375,-2000 400,-1875 500,-1500 600,-1250 625,-1200 750,-1000$$

Изчислете сумата за всяка двойка.

$$1-750000=-749999 2-375000=-374998 3-250000=-249997 4-187500=-187496 5-150000=-149995 6-125000=-124994 8-93750=-93742 10-75000=-74990 12-62500=-62488 15-50000=-49985 16-46875=-46859 20-37500=-37480 24-31250=-31226 25-30000=-29975 30-25000=-24970 40-18750=-18710 48-15625=-15577 50-15000=-14950 60-12500=-12440 75-10000=-9925 80-9375=-9295 100-7500=-7400 120-6250=-6130 125-6000=-5875 150-5000=-4850 200-3750=-3550 240-3125=-2885 250-3000=-2750 300-2500=-2200 375-2000=-1625 400-1875=-1475 500-1500=-1000 600-1250=-650 625-1200=-575 750-1000=-250$$

Решението е двойката, която дава сума 250.

$$a=-750 b=1000$$

Напишете -x^{2}-250x+750000 като \left(-x^{2}-750x\right)+\left(1000x+750000\right).

$$\left(-x^{2}-750x\right)+\left(1000x+750000\right)$$

Фактор, x в първата и 1000 във втората група.

$$x\left(x-750\right)+1000\left(x-750\right)$$

Разложете на множители общия член x-750, като използвате разпределителното свойство.

$$\left(x-750\right)\left(x+1000\right)$$

За да намерите решения за уравнение, решете x-750=0 и x+1000=0.

$$x=750 x=-1000$$

Стъпки с използване на формулата за квадратно уравнение

Променливата x не може да бъде равна на никоя от стойностите -250,0, тъй като делението на нула не е дефинирано. Умножете и двете страни на уравнението с 2x\left(x+250\right) – най-малкия общ множител на x,x+250,2.

$$\left(2x+500\right)\times 1500-2x\times 1500=x\left(x+250\right)$$

Използвайте дистрибутивното свойство, за да умножите 2x+500 по 1500.

$$3000x+750000-2x\times 1500=x\left(x+250\right)$$

Умножете 2 по 1500, за да получите 3000.

$$3000x+750000-3000x=x\left(x+250\right)$$

Използвайте дистрибутивното свойство, за да умножите x по x+250.

$$3000x+750000-3000x=x^{2}+250x$$

Извадете x^{2} и от двете страни.

$$3000x+750000-3000x-x^{2}=250x$$

Извадете 250x и от двете страни.

$$3000x+750000-3000x-x^{2}-250x=0$$

Групирайте 3000x и -250x, за да получите 2750x.

$$2750x+750000-3000x-x^{2}=0$$

Групирайте 2750x и -3000x, за да получите -250x.

$$-250x+750000-x^{2}=0$$

Всички формули във форма ax^{2}+bx+c=0 може да се решат чрез използване на формулата за корени на квадратното уравнение: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Формулата за корени на квадратното уравнение дава две решения, когато ± е събиране, и едно, когато е изваждане.

$$-x^{2}-250x+750000=0$$

Това уравнение е в стандартна форма: ax^{2}+bx+c=0. Заместете -1 вместо a, -250 вместо b и 750000 вместо c във формулата на квадратното уравнение, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-250\right)±\sqrt{\left(-250\right)^{2}-4\left(-1\right)\times 750000}}{2\left(-1\right)}$$

Повдигане на квадрат на -250.

$$x=\frac{-\left(-250\right)±\sqrt{62500-4\left(-1\right)\times 750000}}{2\left(-1\right)}$$

Умножете -4 по -1.

$$x=\frac{-\left(-250\right)±\sqrt{62500+4\times 750000}}{2\left(-1\right)}$$

Умножете 4 по 750000.

$$x=\frac{-\left(-250\right)±\sqrt{62500+3000000}}{2\left(-1\right)}$$

Съберете 62500 с 3000000.

$$x=\frac{-\left(-250\right)±\sqrt{3062500}}{2\left(-1\right)}$$

Получете корен квадратен от 3062500.

$$x=\frac{-\left(-250\right)±1750}{2\left(-1\right)}$$

Противоположното на -250 е 250.

$$x=\frac{250±1750}{2\left(-1\right)}$$

Умножете 2 по -1.

$$x=\frac{250±1750}{-2}$$

Сега решете уравнението x=\frac{250±1750}{-2}, когато ± е плюс. Съберете 250 с 1750.

$$x=\frac{2000}{-2}$$

Разделете 2000 на -2.

$$x=-1000$$

Сега решете уравнението x=\frac{250±1750}{-2}, когато ± е минус. Извадете 1750 от 250.

$$x=-\frac{1500}{-2}$$

Разделете -1500 на -2.

$$x=750$$

Уравнението сега е решено.

$$x=-1000 x=750$$

Стъпки за допълване до пълен квадрат

Променливата x не може да бъде равна на никоя от стойностите -250,0, тъй като делението на нула не е дефинирано. Умножете и двете страни на уравнението с 2x\left(x+250\right) – най-малкия общ множител на x,x+250,2.

$$\left(2x+500\right)\times 1500-2x\times 1500=x\left(x+250\right)$$

Използвайте дистрибутивното свойство, за да умножите 2x+500 по 1500.

$$3000x+750000-2x\times 1500=x\left(x+250\right)$$

Умножете 2 по 1500, за да получите 3000.

$$3000x+750000-3000x=x\left(x+250\right)$$

Използвайте дистрибутивното свойство, за да умножите x по x+250.

$$3000x+750000-3000x=x^{2}+250x$$

Извадете x^{2} и от двете страни.

$$3000x+750000-3000x-x^{2}=250x$$

Извадете 250x и от двете страни.

$$3000x+750000-3000x-x^{2}-250x=0$$

Групирайте 3000x и -250x, за да получите 2750x.

$$2750x+750000-3000x-x^{2}=0$$

Извадете 750000 и от двете страни. Нещо, извадено от нула, дава отрицателната му стойност.

$$2750x-3000x-x^{2}=-750000$$

Групирайте 2750x и -3000x, за да получите -250x.

$$-250x-x^{2}=-750000$$

Квадратни уравнения като това могат да бъде решени чрез допълване до пълен квадрат. За да допълните до пълен квадрат, уравнението трябва първо да бъде във форма x^{2}+bx=c.

$$-x^{2}-250x=-750000$$

Разделете двете страни на -1.

$$\frac{-x^{2}-250x}{-1}=-\frac{750000}{-1}$$

Делението на -1 отменя умножението по -1.

$$x^{2}+\left(-\frac{250}{-1}\right)x=-\frac{750000}{-1}$$

Разделете -250 на -1.

$$x^{2}+250x=-\frac{750000}{-1}$$

Разделете -750000 на -1.

$$x^{2}+250x=750000$$

Разделете 250 – коефициента на члена на x – на 2, за да получите 125. След това съберете квадрата на 125 с двете страни на уравнението. С тази стъпка лявата страна на уравнението става точен квадрат.

$$x^{2}+250x+125^{2}=750000+125^{2}$$

Повдигане на квадрат на 125.

$$x^{2}+250x+15625=750000+15625$$

Съберете 750000 с 15625.

$$x^{2}+250x+15625=765625$$

Разложете на множител x^{2}+250x+15625. Като цяло, когато x^{2}+bx+c е точен квадрат, той винаги може да бъде разложен на множител като \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+125\right)^{2}=765625$$

Получете корен квадратен от двете страни на равенството.

$$\sqrt{\left(x+125\right)^{2}}=\sqrt{765625}$$

Опростявайте.

$$x+125=875 x+125=-875$$

Извадете 125 и от двете страни на уравнението.

$$x=750 x=-1000$$