Решете 140/x-1-144/x=2

$$\frac { 140 } { x - 1 } - \frac { 144 } { x } = 2$$

Решаване за x

$$x=-9$$

$$x=8$$

Стъпки с разлагане на множители чрез групиране

Променливата x не може да бъде равна на никоя от стойностите 0,1, тъй като делението на нула не е дефинирано. Умножете и двете страни на уравнението с x\left(x-1\right) – най-малкия общ множител на x-1,x.

$$x\times 140-\left(x-1\right)\times 144=2x\left(x-1\right)$$

Използвайте дистрибутивното свойство, за да умножите x-1 по 144.

$$x\times 140-\left(144x-144\right)=2x\left(x-1\right)$$

За да намерите противоположната стойност на 144x-144, намерете противоположната стойност на всеки член.

$$x\times 140-144x+144=2x\left(x-1\right)$$

Групирайте x\times 140 и -144x, за да получите -4x.

$$-4x+144=2x\left(x-1\right)$$

Използвайте дистрибутивното свойство, за да умножите 2x по x-1.

$$-4x+144=2x^{2}-2x$$

Извадете 2x^{2} и от двете страни.

$$-4x+144-2x^{2}=-2x$$

Добавете 2x от двете страни.

$$-4x+144-2x^{2}+2x=0$$

Групирайте -4x и 2x, за да получите -2x.

$$-2x+144-2x^{2}=0$$

Разделете двете страни на 2.

$$-x+72-x^{2}=0$$

Преобразувайте полинома в стандартна форма. Поставете членовете в ред от най-висока до най-ниска степен.

$$-x^{2}-x+72=0$$

За да се реши уравнението, коефициентът е от лявата страна по групи. Първо, лявата страна трябва да бъде пренаписана като -x^{2}+ax+bx+72. За да намерите a и b, настройте система, която да бъде решена.

$$a+b=-1 ab=-72=-72$$

Тъй като ab е отрицателен, a и b имат противоположни знаци. Тъй като a+b е отрицателно, отрицателното число има по-голяма абсолютна стойност от положителното. Изброяване на всички тези целочислени двойки, които придават -72 на продукта.

$$1,-72 2,-36 3,-24 4,-18 6,-12 8,-9$$

Изчислете сумата за всяка двойка.

$$1-72=-71 2-36=-34 3-24=-21 4-18=-14 6-12=-6 8-9=-1$$

Решението е двойката, която дава сума -1.

$$a=8 b=-9$$

Напишете -x^{2}-x+72 като \left(-x^{2}+8x\right)+\left(-9x+72\right).

$$\left(-x^{2}+8x\right)+\left(-9x+72\right)$$

Фактор, x в първата и 9 във втората група.

$$x\left(-x+8\right)+9\left(-x+8\right)$$

Разложете на множители общия член -x+8, като използвате разпределителното свойство.

$$\left(-x+8\right)\left(x+9\right)$$

За да намерите решения за уравнение, решете -x+8=0 и x+9=0.

$$x=8 x=-9$$

Стъпки с използване на формулата за квадратно уравнение

Променливата x не може да бъде равна на никоя от стойностите 0,1, тъй като делението на нула не е дефинирано. Умножете и двете страни на уравнението с x\left(x-1\right) – най-малкия общ множител на x-1,x.

$$x\times 140-\left(x-1\right)\times 144=2x\left(x-1\right)$$

Използвайте дистрибутивното свойство, за да умножите x-1 по 144.

$$x\times 140-\left(144x-144\right)=2x\left(x-1\right)$$

За да намерите противоположната стойност на 144x-144, намерете противоположната стойност на всеки член.

$$x\times 140-144x+144=2x\left(x-1\right)$$

Групирайте x\times 140 и -144x, за да получите -4x.

$$-4x+144=2x\left(x-1\right)$$

Използвайте дистрибутивното свойство, за да умножите 2x по x-1.

$$-4x+144=2x^{2}-2x$$

Извадете 2x^{2} и от двете страни.

$$-4x+144-2x^{2}=-2x$$

Добавете 2x от двете страни.

$$-4x+144-2x^{2}+2x=0$$

Групирайте -4x и 2x, за да получите -2x.

$$-2x+144-2x^{2}=0$$

Всички формули във форма ax^{2}+bx+c=0 може да се решат чрез използване на формулата за корени на квадратното уравнение: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Формулата за корени на квадратното уравнение дава две решения, когато ± е събиране, и едно, когато е изваждане.

$$-2x^{2}-2x+144=0$$

Това уравнение е в стандартна форма: ax^{2}+bx+c=0. Заместете -2 вместо a, -2 вместо b и 144 вместо c във формулата на квадратното уравнение, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\left(-2\right)\times 144}}{2\left(-2\right)}$$

Повдигане на квадрат на -2.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-4\left(-2\right)\times 144}}{2\left(-2\right)}$$

Умножете -4 по -2.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4+8\times 144}}{2\left(-2\right)}$$

Умножете 8 по 144.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4+1152}}{2\left(-2\right)}$$

Съберете 4 с 1152.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{1156}}{2\left(-2\right)}$$

Получете корен квадратен от 1156.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±34}{2\left(-2\right)}$$

Противоположното на -2 е 2.

$$x=\frac{2±34}{2\left(-2\right)}$$

Умножете 2 по -2.

$$x=\frac{2±34}{-4}$$

Сега решете уравнението x=\frac{2±34}{-4}, когато ± е плюс. Съберете 2 с 34.

$$x=\frac{36}{-4}$$

Разделете 36 на -4.

$$x=-9$$

Сега решете уравнението x=\frac{2±34}{-4}, когато ± е минус. Извадете 34 от 2.

$$x=-\frac{32}{-4}$$

Разделете -32 на -4.

$$x=8$$

Уравнението сега е решено.

$$x=-9 x=8$$

Стъпки за допълване до пълен квадрат

Променливата x не може да бъде равна на никоя от стойностите 0,1, тъй като делението на нула не е дефинирано. Умножете и двете страни на уравнението с x\left(x-1\right) – най-малкия общ множител на x-1,x.

$$x\times 140-\left(x-1\right)\times 144=2x\left(x-1\right)$$

Използвайте дистрибутивното свойство, за да умножите x-1 по 144.

$$x\times 140-\left(144x-144\right)=2x\left(x-1\right)$$

За да намерите противоположната стойност на 144x-144, намерете противоположната стойност на всеки член.

$$x\times 140-144x+144=2x\left(x-1\right)$$

Групирайте x\times 140 и -144x, за да получите -4x.

$$-4x+144=2x\left(x-1\right)$$

Използвайте дистрибутивното свойство, за да умножите 2x по x-1.

$$-4x+144=2x^{2}-2x$$

Извадете 2x^{2} и от двете страни.

$$-4x+144-2x^{2}=-2x$$

Добавете 2x от двете страни.

$$-4x+144-2x^{2}+2x=0$$

Групирайте -4x и 2x, за да получите -2x.

$$-2x+144-2x^{2}=0$$

Извадете 144 и от двете страни. Нещо, извадено от нула, дава отрицателната му стойност.

$$-2x-2x^{2}=-144$$

Квадратни уравнения като това могат да бъде решени чрез допълване до пълен квадрат. За да допълните до пълен квадрат, уравнението трябва първо да бъде във форма x^{2}+bx=c.

$$-2x^{2}-2x=-144$$

Разделете двете страни на -2.

$$\frac{-2x^{2}-2x}{-2}=-\frac{144}{-2}$$

Делението на -2 отменя умножението по -2.

$$x^{2}+\left(-\frac{2}{-2}\right)x=-\frac{144}{-2}$$

Разделете -2 на -2.

$$x^{2}+x=-\frac{144}{-2}$$

Разделете -144 на -2.

$$x^{2}+x=72$$

Разделете 1 – коефициента на члена на x – на 2, за да получите \frac{1}{2}. След това съберете квадрата на \frac{1}{2} с двете страни на уравнението. С тази стъпка лявата страна на уравнението става точен квадрат.

$$x^{2}+x+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=72+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Повдигнете на квадрат \frac{1}{2}, като повдигнете на квадрат и числителя, и знаменателя на дробта.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=72+\frac{1}{4}$$

Съберете 72 с \frac{1}{4}.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=\frac{289}{4}$$

Разложете на множител x^{2}+x+\frac{1}{4}. Като цяло, когато x^{2}+bx+c е точен квадрат, той винаги може да бъде разложен на множител като \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{289}{4}$$

Получете корен квадратен от двете страни на равенството.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{289}{4}}$$

Опростявайте.

$$x+\frac{1}{2}=\frac{17}{2} x+\frac{1}{2}=-\frac{17}{2}$$

Извадете \frac{1}{2} и от двете страни на уравнението.

$$x=8 x=-9$$