Решете 1/x-1+1/x-4=5/4

$$\frac { 1 } { x - 1 } + \frac { 1 } { x - 4 } = \frac { 5 } { 4 }$$

Решаване за x

$$x=5$$

$$x = \frac{8}{5} = 1\frac{3}{5} = 1,6$$

Стъпки с използване на формулата за квадратно уравнение

Променливата x не може да бъде равна на никоя от стойностите 1,4, тъй като делението на нула не е дефинирано. Умножете и двете страни на уравнението с 4\left(x-4\right)\left(x-1\right) – най-малкия общ множител на x-1,x-4,4.

$$4x-16+4x-4=5\left(x-4\right)\left(x-1\right)$$

Групирайте 4x и 4x, за да получите 8x.

$$8x-16-4=5\left(x-4\right)\left(x-1\right)$$

Извадете 4 от -16, за да получите -20.

$$8x-20=5\left(x-4\right)\left(x-1\right)$$

Използвайте дистрибутивното свойство, за да умножите 5 по x-4.

$$8x-20=\left(5x-20\right)\left(x-1\right)$$

Използвайте дистрибутивното свойство, за да умножите 5x-20 по x-1 и да групирате подобните членове.

$$8x-20=5x^{2}-25x+20$$

Извадете 5x^{2} и от двете страни.

$$8x-20-5x^{2}=-25x+20$$

Добавете 25x от двете страни.

$$8x-20-5x^{2}+25x=20$$

Групирайте 8x и 25x, за да получите 33x.

$$33x-20-5x^{2}=20$$

Извадете 20 и от двете страни.

$$33x-20-5x^{2}-20=0$$

Извадете 20 от -20, за да получите -40.

$$33x-40-5x^{2}=0$$

Всички формули във форма ax^{2}+bx+c=0 може да се решат чрез използване на формулата за корени на квадратното уравнение: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Формулата за корени на квадратното уравнение дава две решения, когато ± е събиране, и едно, когато е изваждане.

$$-5x^{2}+33x-40=0$$

Това уравнение е в стандартна форма: ax^{2}+bx+c=0. Заместете -5 вместо a, 33 вместо b и -40 вместо c във формулата на квадратното уравнение, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-33±\sqrt{33^{2}-4\left(-5\right)\left(-40\right)}}{2\left(-5\right)}$$

Повдигане на квадрат на 33.

$$x=\frac{-33±\sqrt{1089-4\left(-5\right)\left(-40\right)}}{2\left(-5\right)}$$

Умножете -4 по -5.

$$x=\frac{-33±\sqrt{1089+20\left(-40\right)}}{2\left(-5\right)}$$

Умножете 20 по -40.

$$x=\frac{-33±\sqrt{1089-800}}{2\left(-5\right)}$$

Съберете 1089 с -800.

$$x=\frac{-33±\sqrt{289}}{2\left(-5\right)}$$

Получете корен квадратен от 289.

$$x=\frac{-33±17}{2\left(-5\right)}$$

Умножете 2 по -5.

$$x=\frac{-33±17}{-10}$$

Сега решете уравнението x=\frac{-33±17}{-10}, когато ± е плюс. Съберете -33 с 17.

$$x=-\frac{16}{-10}$$

Намаляване на дробта \frac{-16}{-10} до най-малките членове чрез извличане на корен и съкращаване на 2.

$$x=\frac{8}{5}$$

Сега решете уравнението x=\frac{-33±17}{-10}, когато ± е минус. Извадете 17 от -33.

$$x=-\frac{50}{-10}$$

Разделете -50 на -10.

$$x=5$$

Уравнението сега е решено.

$$x=\frac{8}{5} x=5$$

Стъпки за допълване до пълен квадрат

Променливата x не може да бъде равна на никоя от стойностите 1,4, тъй като делението на нула не е дефинирано. Умножете и двете страни на уравнението с 4\left(x-4\right)\left(x-1\right) – най-малкия общ множител на x-1,x-4,4.

$$4x-16+4x-4=5\left(x-4\right)\left(x-1\right)$$

Групирайте 4x и 4x, за да получите 8x.

$$8x-16-4=5\left(x-4\right)\left(x-1\right)$$

Извадете 4 от -16, за да получите -20.

$$8x-20=5\left(x-4\right)\left(x-1\right)$$

Използвайте дистрибутивното свойство, за да умножите 5 по x-4.

$$8x-20=\left(5x-20\right)\left(x-1\right)$$

Използвайте дистрибутивното свойство, за да умножите 5x-20 по x-1 и да групирате подобните членове.

$$8x-20=5x^{2}-25x+20$$

Извадете 5x^{2} и от двете страни.

$$8x-20-5x^{2}=-25x+20$$

Добавете 25x от двете страни.

$$8x-20-5x^{2}+25x=20$$

Групирайте 8x и 25x, за да получите 33x.

$$33x-20-5x^{2}=20$$

Добавете 20 от двете страни.

$$33x-5x^{2}=20+20$$

Съберете 20 и 20, за да се получи 40.

$$33x-5x^{2}=40$$

Квадратни уравнения като това могат да бъде решени чрез допълване до пълен квадрат. За да допълните до пълен квадрат, уравнението трябва първо да бъде във форма x^{2}+bx=c.

$$-5x^{2}+33x=40$$

Разделете двете страни на -5.

$$\frac{-5x^{2}+33x}{-5}=\frac{40}{-5}$$

Делението на -5 отменя умножението по -5.

$$x^{2}+\frac{33}{-5}x=\frac{40}{-5}$$

Разделете 33 на -5.

$$x^{2}-\frac{33}{5}x=\frac{40}{-5}$$

Разделете 40 на -5.

$$x^{2}-\frac{33}{5}x=-8$$

Разделете -\frac{33}{5} – коефициента на члена на x – на 2, за да получите -\frac{33}{10}. След това съберете квадрата на -\frac{33}{10} с двете страни на уравнението. С тази стъпка лявата страна на уравнението става точен квадрат.

$$x^{2}-\frac{33}{5}x+\left(-\frac{33}{10}\right)^{2}=-8+\left(-\frac{33}{10}\right)^{2}$$

Повдигнете на квадрат -\frac{33}{10}, като повдигнете на квадрат и числителя, и знаменателя на дробта.

$$x^{2}-\frac{33}{5}x+\frac{1089}{100}=-8+\frac{1089}{100}$$

Съберете -8 с \frac{1089}{100}.

$$x^{2}-\frac{33}{5}x+\frac{1089}{100}=\frac{289}{100}$$

Разложете на множител x^{2}-\frac{33}{5}x+\frac{1089}{100}. Като цяло, когато x^{2}+bx+c е точен квадрат, той винаги може да бъде разложен на множител като \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{33}{10}\right)^{2}=\frac{289}{100}$$

Получете корен квадратен от двете страни на равенството.

$$\sqrt{\left(x-\frac{33}{10}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{289}{100}}$$

Опростявайте.

$$x-\frac{33}{10}=\frac{17}{10} x-\frac{33}{10}=-\frac{17}{10}$$

Съберете \frac{33}{10} към двете страни на уравнението.

$$x=5 x=\frac{8}{5}$$